馮向東 黃現(xiàn)蓮

(①寧夏工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程系，寧夏 銀川 750021；②北方民族大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，寧夏 銀川 750021)

高精度數(shù)控機(jī)床是制造航空航天和船舶關(guān)鍵零部件的大型加工設(shè)備，其加工精度是衡量國(guó)家制造能力的重要指標(biāo)，也是國(guó)家綜合國(guó)力的重要體現(xiàn)。關(guān)鍵零件如船舶葉輪和飛機(jī)渦輪等的加工精度對(duì)軍事戰(zhàn)略物資具有重要影響，因此提高數(shù)控機(jī)床加工精度意義重大，也是目前學(xué)術(shù)研究的熱點(diǎn)[1-2]。

數(shù)控加工精度是速度規(guī)劃、數(shù)控系統(tǒng)和伺服機(jī)械平臺(tái)共同作用的結(jié)果，其中良好的伺服機(jī)械動(dòng)態(tài)特性是工件加工質(zhì)量的重要保障。在數(shù)控加工中，針對(duì)復(fù)雜軌跡指令，易引起單軸伺服系統(tǒng)頻繁加減速或變向，使機(jī)床在加工過(guò)程中出現(xiàn)振動(dòng)，影響工件的加工精度，惡化工件表明質(zhì)量[3]。以典型圓弧指令軌跡為例，軌跡的輪廓誤差不僅與單軸伺服的跟蹤能力有關(guān)，也與單軸運(yùn)動(dòng)過(guò)程中變換方向所引起的過(guò)象限摩擦有重要關(guān)系。對(duì)于伺服單元的單軸跟蹤誤差，可將伺服系統(tǒng)簡(jiǎn)化為線性系統(tǒng)并利用經(jīng)典控制理論對(duì)其預(yù)測(cè)和補(bǔ)償，或通過(guò)速度規(guī)劃時(shí)引入跟蹤誤差約束對(duì)其進(jìn)行限制。但是對(duì)于過(guò)象限摩擦，其受到加工過(guò)程的工況條件、指令軌跡及伺服系統(tǒng)增益系數(shù)的影響，不能利用經(jīng)典控制理論對(duì)其準(zhǔn)確描述。吳子英等提出了一種基于Stribeck的改進(jìn)型摩擦力模型，為重型車(chē)床的橫向伺服進(jìn)給系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論支持[4]，周玉清等針對(duì)電動(dòng)機(jī)加滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)，提出基于Stribeck摩擦力模型的伺服機(jī)械平臺(tái)潤(rùn)滑狀態(tài)的快速識(shí)別和評(píng)估方法，能夠?qū)ζ淠Σ亮顟B(tài)進(jìn)行在線監(jiān)測(cè)[5]。為實(shí)現(xiàn)單軸換向摩擦力的補(bǔ)償，向紅標(biāo)等提出一種基于LuGre模型的自適應(yīng)摩擦力補(bǔ)償方法，能夠有效抑制摩擦力干擾對(duì)軌跡跟蹤性能的影響[6]。上述方法能夠針對(duì)特定的工況環(huán)境，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)或補(bǔ)償過(guò)象限摩擦，有效提高軌跡單軸跟蹤精度和輪廓誤差。但是針對(duì)不同的工況條件如工作臺(tái)隨時(shí)間特性變化、加工速度、指令軌跡的曲率等，摩擦力特性不完全相同，上述方法不再適用，所以未能廣泛應(yīng)用于工業(yè)控制領(lǐng)域[7]。

為抑制零件加工過(guò)程中過(guò)象限摩擦對(duì)軌跡執(zhí)行精度的影響，方晨曦等通過(guò)正交實(shí)驗(yàn)法預(yù)測(cè)過(guò)象限摩擦的數(shù)學(xué)模型，并將過(guò)象限摩擦所引起的軌跡輪廓誤差引入速度規(guī)劃，利用上層指令規(guī)劃抑制過(guò)象限摩擦對(duì)軌跡輪廓精度的影響，有效提高軌跡精度，優(yōu)化零件表面加工質(zhì)量[8]。然而，此方法在加工前需大量實(shí)驗(yàn)獲取過(guò)象限摩擦模型，嚴(yán)重影響加工效率。聶建華針對(duì)數(shù)控伺服系統(tǒng)跟蹤誤差引起加工幾何精度下降的問(wèn)題，提出一種基于已知軌跡特點(diǎn)的自適應(yīng)濾波前饋控制方案，通過(guò)前饋補(bǔ)償實(shí)現(xiàn)軌跡輪廓精度提高[9]。馮斌等將指令軌跡分段，確定適用于不同指令軌跡段的摩擦力模型，并利用廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)摩擦力模型進(jìn)行擬合及補(bǔ)償，有效提高軌跡輪廓精度[10- 11]，但是上述方法適用于特定機(jī)械平臺(tái)工況條件或重復(fù)指令軌跡，不能廣泛應(yīng)用于工業(yè)控制領(lǐng)域。

為實(shí)現(xiàn)不同工況條件或執(zhí)行軌跡下的摩擦力識(shí)別和補(bǔ)償，本文提出一種基于脈沖響應(yīng)矩陣的摩擦估計(jì)和補(bǔ)償方法，此方法能夠離線估計(jì)過(guò)象限摩擦對(duì)輪廓誤差的影響。本文通過(guò)Matlab/Simulink仿真驗(yàn)證所提方法的可行性，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了對(duì)過(guò)象限摩擦力的估計(jì)和補(bǔ)償。

1 伺服系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

典型的數(shù)控機(jī)床伺服進(jìn)給系統(tǒng)包括伺服電動(dòng)機(jī)、伺服驅(qū)動(dòng)器和滾珠絲杠機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)。根據(jù)經(jīng)典控制理論，此典型系統(tǒng)的方塊圖如圖1所示。其中伺服驅(qū)動(dòng)器包括位置環(huán)、速度環(huán)和電流環(huán)控制器，為實(shí)現(xiàn)無(wú)靜差跟蹤任意速度指令，通常速度環(huán)控制采用比例加積分控制器。為確定機(jī)械伺服平臺(tái)摩擦力與單軸跟蹤誤差的關(guān)系，首先針對(duì)伺服驅(qū)動(dòng)器位置環(huán)速度環(huán)和電流環(huán)建立數(shù)學(xué)模型，此過(guò)程中忽略電動(dòng)機(jī)電感和機(jī)械阻尼。

(1)

式中：Kp為位置環(huán)比例增益；Kvp和Kvi分別為速度環(huán)比例增益和速度環(huán)積分增益；Kc為電流環(huán)比例增益；Ke為電動(dòng)機(jī)反電動(dòng)勢(shì)系數(shù)；R為電動(dòng)機(jī)繞組阻值；r和y分別為參數(shù)軌跡位置指令和系統(tǒng)實(shí)際位置輸出；θ為電動(dòng)機(jī)軸角度。

(2)

式中：Kt為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)；J為電動(dòng)機(jī)軸端轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ym為絲杠螺母位置；K為電動(dòng)機(jī)輸出端與絲杠螺母間聯(lián)軸器的連接剛度；Kbs為旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)與直線運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)換系數(shù)。

(3)

式中：M為工件臺(tái)的負(fù)載質(zhì)量；B為工件臺(tái)直線運(yùn)動(dòng)的阻尼系數(shù)；Ff為運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的摩擦力。聯(lián)立式(1～3)，過(guò)象限誤差可表示為：

(4)

對(duì)于在XY平面運(yùn)動(dòng)的指令參數(shù)軌跡曲線R(u)，以角速度ω通過(guò)曲率半徑為r的X軸換向處，即，則在換向處附近有：

(5)

將式(5)中的參數(shù)代入式(4)可以得到指令參數(shù)曲線為R(u)時(shí)的過(guò)象限摩擦引起的伺服系統(tǒng)動(dòng)態(tài)跟蹤誤差表達(dá)式(6)。

(6)

2 基于脈沖響應(yīng)矩陣的摩擦估計(jì)方法

對(duì)于圖1所示的典型機(jī)床伺服進(jìn)給系統(tǒng)方塊圖，若將機(jī)械平臺(tái)運(yùn)行過(guò)程中的摩擦力視為系統(tǒng)擾動(dòng)，則可將典型進(jìn)給系統(tǒng)視為線性時(shí)不變系統(tǒng)。因此根據(jù)現(xiàn)代控制理論，可利用狀態(tài)空間方程將被控對(duì)象離散化描述為：

(7)

式中：x(n)為系統(tǒng)狀態(tài)量；u(n)為系統(tǒng)輸入；y(n)為系統(tǒng)輸出；A、B、C、D分別為系統(tǒng)狀態(tài)、控制、輸出和輸出控制系數(shù)矩陣。當(dāng)系統(tǒng)處于零初始條件時(shí)，系統(tǒng)的輸出可確定為：

(8)

將式(8)表示為矩陣形式描述如下：

(9)

其中：

(10)

由此可見(jiàn)，對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，可根據(jù)系統(tǒng)指定輸入點(diǎn)的輸入指令和相應(yīng)輸出點(diǎn)的輸出響應(yīng)，利用式(9)獲取系統(tǒng)信息，即表征系統(tǒng)模型的相關(guān)參數(shù)。再根據(jù)模型信息，利用式(11)和已知其他輸入點(diǎn)的輸入指令或輸出點(diǎn)的輸出響應(yīng)預(yù)測(cè)輸出點(diǎn)的輸出響應(yīng)或輸入點(diǎn)的輸入指令。

(11)

其中：

(12)

以圖2所示的線性時(shí)不變系統(tǒng)為例，為獲取系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的摩擦力模型，首先通過(guò)單位脈沖位置指令和系統(tǒng)位置響應(yīng)獲取式(10)所示的系統(tǒng)模型先驗(yàn)信息(由于采用單位脈沖指令忽略靜摩擦力影響)，然后根據(jù)指令軌跡跟蹤過(guò)程中的位置響應(yīng)和線性系統(tǒng)疊加原理，可根據(jù)式(11)確定具有任意形式的摩擦力模型即模型中的待定系數(shù)。

3 仿真分析

為驗(yàn)證所提出的基于脈沖響應(yīng)矩陣的摩擦力估計(jì)方法，利用Matlab/Simulink針對(duì)式(13)中的被控對(duì)象進(jìn)行仿真驗(yàn)證，其中伺服單元位置控制器的比例增益為0.25，位置控制器積分增益為5，速度控制器比例增益為2。

(13)

考慮伺服進(jìn)給平臺(tái)的摩擦力為圖3所示，此摩擦力模型包括機(jī)械平臺(tái)在臨界運(yùn)動(dòng)時(shí)的庫(kù)倫摩擦力和運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的粘滯摩擦力，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為式(14)。

其中摩擦力模型的系數(shù)Fe、Fs、vs分別為3 N、1.5 N、0.01 m/s。

(14)

針對(duì)上述伺服進(jìn)給系統(tǒng)，首先在指令位置輸入點(diǎn)施加單位脈沖指令，根據(jù)采集的系統(tǒng)位置響應(yīng)和式(9)可確定系統(tǒng)模型信息；再在指令位置輸入點(diǎn)施加其他位置指令(正弦指令、點(diǎn)位指令等)；最后根據(jù)獲取的系統(tǒng)位置響應(yīng)和確定的系統(tǒng)模型信息可計(jì)算得到估計(jì)的摩擦力模型相關(guān)參數(shù)。通過(guò)此方法估計(jì)的摩擦力模型和理論摩擦力模型的對(duì)比如圖4，估計(jì)值和理論值的均方根誤差為0.236。此方法中估計(jì)值和理論值的誤差源于利用單位脈沖響應(yīng)實(shí)驗(yàn)獲取模型先驗(yàn)信息時(shí)，忽略摩擦力的影響，導(dǎo)致模型先驗(yàn)信息存在一定誤差，考慮到在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中進(jìn)給平臺(tái)位移小，因此在獲取模型先驗(yàn)信息時(shí)忽略摩擦力的影響。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證所提方法在工業(yè)控制領(lǐng)域應(yīng)用的有效性，利用自主搭建的X-Y實(shí)驗(yàn)平臺(tái)執(zhí)行式(15)所確定的半徑為10 mm圓弧軌跡指令。平臺(tái)通過(guò)聯(lián)軸器將400 W安川旋轉(zhuǎn)伺服電機(jī)與滾珠絲杠連接，XY方向安裝1 μm分辨率的海德漢光柵尺，實(shí)驗(yàn)采用自主開(kāi)發(fā)的基于串口通訊的數(shù)控板卡，其中數(shù)控插補(bǔ)周期為1 ms，能夠?qū)崿F(xiàn)光柵位置信號(hào)的實(shí)時(shí)采集。

(15)

圖5為無(wú)過(guò)象限摩擦補(bǔ)償時(shí)的軌跡輪廓誤差，輪廓誤差的均方根為13.6 μm。由圖5可知在X軸或Y軸轉(zhuǎn)換方向時(shí)，由于滾珠絲杠伺服機(jī)械平臺(tái)換向時(shí)存在摩擦力，換向過(guò)程中的軌跡輪廓誤差明顯增大，對(duì)于保證軌跡輪廓誤差精度存在影響。

為此，在上述實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，利用本文所提的基于脈沖響應(yīng)矩陣的摩擦力估計(jì)方法對(duì)伺服機(jī)械平臺(tái)在換向時(shí)的摩擦力進(jìn)行估計(jì)，并在軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行過(guò)象限摩擦力補(bǔ)償。圖6為基于過(guò)象限摩擦補(bǔ)償?shù)能壽E輪廓誤差，其均方根為9.8 μm。由此可見(jiàn)，基于過(guò)象限摩擦補(bǔ)償?shù)姆椒梢杂行岣哕壽E的跟蹤質(zhì)量，且在伺服機(jī)械平臺(tái)換向過(guò)程中，過(guò)象限摩擦所引起的輪廓誤差明顯減小。

5 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)XY實(shí)驗(yàn)平臺(tái)在跟蹤圓弧軌跡換向存在的過(guò)象限摩擦問(wèn)題，提出了一種基于脈沖響應(yīng)矩陣的摩擦力估計(jì)方法，能夠?qū)⒛Σ亮ψ鳛橄到y(tǒng)干擾進(jìn)行有效估計(jì)，并在軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行補(bǔ)償。本文利用仿真驗(yàn)證說(shuō)明所提方法能夠較準(zhǔn)確估計(jì)摩擦力模型的相關(guān)參數(shù)，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)說(shuō)明估計(jì)和補(bǔ)償方法能夠有效提高軌跡的輪廓誤差，改善工件加工質(zhì)量，為解決由伺服機(jī)械平臺(tái)換向所引起的軌跡輪廓誤差提供解決方案。