葉 松，許明坤，張自鋒

（巢湖學(xué)院 機(jī)械與電子工程學(xué)院，安徽 合肥 238000）

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是研究剛體運(yùn)動(dòng)所必需的基本物理量之一.勻質(zhì)三角薄板是重要的平面結(jié)構(gòu)，它可以和弓形等結(jié)構(gòu)構(gòu)成工程中常用的復(fù)雜剛體結(jié)構(gòu)[1,2].由于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的可疊加性，討論勻質(zhì)三角薄板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)分析復(fù)雜剛體結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量非常有用.文獻(xiàn)[3]給出勻質(zhì)三角薄板對(duì)經(jīng)過質(zhì)心的任意轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，但計(jì)算過程繁瑣.文獻(xiàn)[4-7]推導(dǎo)了三角形框剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，但是該結(jié)論不能直接推廣到勻質(zhì)三角薄板剛體.在工程實(shí)踐中平面剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的Z轉(zhuǎn)軸一般都是垂直剛體平面，因此得到適用勻質(zhì)三角薄板質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的簡(jiǎn)潔公式是有必要的.本文基于平行軸定理和垂直軸定理簡(jiǎn)捷地推導(dǎo)出勻質(zhì)三角薄板剛體的質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式.

1 勻質(zhì)三角薄板對(duì)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

已知垂直軸定理對(duì)給定Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與在薄剛體平面的X軸和Y軸選取無關(guān).因此為了使討論過程簡(jiǎn)潔，設(shè)勻質(zhì)三角薄板底邊AB在X軸，高OC在Y軸，頂點(diǎn)A、B和C的坐標(biāo)如圖1所示.

圖1 計(jì)算勻質(zhì)三角薄板對(duì)X軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)的質(zhì)量微元示意

首先討論勻質(zhì)三角薄板對(duì)X軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.取細(xì)桿微元位于[h',h'+dh']，長(zhǎng)為L(zhǎng)'，其對(duì)X軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量微元是：

(1)式中σ是勻質(zhì)三角薄板的面密度，其中：

式(2)和(3)中L和h是AB和OC的長(zhǎng)度.

圖2 計(jì)算勻質(zhì)三角薄板對(duì)Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)的質(zhì)量微元示意

其次討論勻質(zhì)三角薄板對(duì)Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.如圖2所示是勻質(zhì)三角薄板的A、B頂點(diǎn)X軸坐標(biāo)值滿足x1x2≤0和x1x2＞0的兩類情形.勻質(zhì)三角薄板對(duì)Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，對(duì)圖2(a)所示情形，等于△AOC和△BOC對(duì)Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和；對(duì)圖2(b)所示情形，等于△BOC和△AOC對(duì)Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之差.由公式（3）得到圖2(a)和2(b)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均為：

最后由垂直軸定理可以得到勻質(zhì)三角薄板對(duì)Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：

2 勻質(zhì)三角薄板對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

勻質(zhì)三角薄板對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以運(yùn)用平行軸定理計(jì)算.如圖3所示，G是勻質(zhì)三角薄板的質(zhì)心，其坐標(biāo)為和 GZ'是勻質(zhì)三角薄板質(zhì)心G的主軸，分別平行X軸、Y軸和Z軸.

圖3 計(jì)算勻質(zhì)三角薄板過質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的示意

（8）式中是質(zhì)心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離.

在工程實(shí)踐中，三角形剛體的邊長(zhǎng)是易于測(cè)量的，因此得到用邊長(zhǎng)表示的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是有必要的.記三角形邊長(zhǎng)分別為a、b、L，(6)-(8)式可以表示為：

(9)式中

（11）式與文獻(xiàn)[3]的推論一致.

3 結(jié)論

通過求解特定坐標(biāo)系中勻質(zhì)三角薄板對(duì)邊長(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，結(jié)合平行軸定理和垂直軸定理，推導(dǎo)了勻質(zhì)三角薄板對(duì)質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式.求解思路清晰，過程簡(jiǎn)捷，有助于提高學(xué)生對(duì)平行軸定理和轉(zhuǎn)動(dòng)軸定理的理解和應(yīng)用，對(duì)拓寬學(xué)生計(jì)算剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的數(shù)理思路有一定引導(dǎo)作用.