文/ 王嘉穎

在中考試題中，多解問(wèn)題是一類(lèi)常見(jiàn)而重要的問(wèn)題.這類(lèi)問(wèn)題不一定最難，卻容易失分.解決這類(lèi)問(wèn)題要多角度、全方位、深層次地思考，找到解題的突破口.

一、絕對(duì)值、參數(shù)方程、不等式中的多解

例 1 已知|a|=3，|b|=5，且ab＜0，那么a+b的值等于（ ）

A．8． B．-2. C．8或-8. D．2或-2.

解析：已知|a|=3，|b|=5，則a=±3，b=±5，

因ab＜0，即a，b的符號(hào)相反，

當(dāng)a=3時(shí)，b=-5，a+b=3-5=-2；

當(dāng)a=-3時(shí)，b=5，a+b=-3+5=2．

選D．

例2若關(guān)于x的分式方程無(wú)解，則實(shí)數(shù)m=_____．

解析：分式方程無(wú)解，則去分母后所得整式方程無(wú)解，或整式方程的解使分式方程的分母等于0，即增根．

方程去分母得7+3（x-1）=mx，

整理，得（m-3）x=4，

當(dāng)整式方程無(wú)解時(shí)，m-3=0，即m=3；

當(dāng)整式方程的解為分式方程的增根時(shí)，x=1，

∴m-3=4，即m=7，

∴m的值為3或7．

二、由函數(shù)的增減性產(chǎn)生的多解

例 3 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=kx+b（k≠0）與的圖象相交于點(diǎn)A（2，3），B（-6，-1），則不等式kx+的解集為（ ）

圖1

A.x＜-6. B.-6＜x＜0或x＞2.

C.x＞2. D.x＜-6或0＜x＜2.

例4 已知二次函數(shù)y=x2-2mx（m為常數(shù)），當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，函數(shù)值y的最小值為-2，則m的值是（ ）

解析：y=x2-2mx=（x-m）2-m2，

①若m＜-1，當(dāng)x=-1時(shí)，y=1+2m=-2，解得

②若m＞2，當(dāng)x=2時(shí)，y=4-4m=-2，解得（舍去）；

③若-1≤m≤2，當(dāng)x=m時(shí)，y=-m2=-2，解得（舍去）.

∴m的值為或選D．

A.-2或3. B.-2或-3. C.1或-2或3. D.1或-2或-3.

解析：當(dāng)m=1時(shí)，是一次函數(shù)，圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)m≠1時(shí)，它為二次函數(shù)，

解得m=-2或3.

∴m的值為1或-2或3.選C．

三、等腰三角形中，腰、頂角、高的不確定性產(chǎn)生多解

例6在等腰△ABC中，AD⊥BC交直線(xiàn)BC于點(diǎn)D，若，則△ABC的頂角的度數(shù)為_(kāi)_____．

解析：①B為底，設(shè)AC=BC，

∵AD⊥BC于點(diǎn)

如圖2，AD在△ABC內(nèi)部時(shí)，頂角∠C=30°，

如圖3，AD在△ABC外部時(shí)，頂角∠ACB=180°-30°=150°，

圖2

圖3

圖4

②BC為底，如圖4，

∵AD⊥BC于點(diǎn)D，

∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，

∴頂角∠BAC=90°，

綜上所述，等腰△ABC的頂角為30°或150°或90°．

四、在直角三角形中，直角、斜邊的不確定性產(chǎn)生多解

例7已知直角三角形有兩條邊的長(zhǎng)分別是3cm，4cm，那么第三條邊的長(zhǎng)是（ ）

五、相似三角形中，對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)位置的不確定性產(chǎn)生多解

例 8 在△ABC中，AB=6，AC=5，點(diǎn)D在邊AB上，且AD=2，點(diǎn)E在邊AC上，當(dāng)AE=_____時(shí)，以A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

解析：以A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC有一個(gè)公共角∠A，因此，只需∠A的夾邊對(duì)應(yīng)成比例時(shí)，兩個(gè)三角形相似.

∴AE的長(zhǎng)為或

x+1與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，

令x=0可得y=1，令y=0可得x=-3，

∴ 點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為（-3，0），（0，1），

∵△BOC與△B′O′C′是以點(diǎn)A為位似中心的位似圖形，且相似比為1∶2，

∴ 當(dāng)點(diǎn)B′在第一象限時(shí)，B′的坐標(biāo)為（3，2）；當(dāng)點(diǎn)B′在第三象限時(shí)，B′的坐標(biāo)為（-9，-2）．

∴B′的坐標(biāo)為（-9，-2）或（3，2）．

圖5

六、特殊四邊形中，對(duì)邊、鄰邊、高的不確定性產(chǎn)生多解

例10 在菱形ABCD中，AE為BC邊上的高，若AB=5，AE=4，則線(xiàn)段CE的長(zhǎng)為_(kāi)_____．

解析：當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖6，

∵AB=5，AE=4，

∴BE=3，CE=BC+BE=8；

當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，如圖7，

∵AB=5，AE=4，

∴BE=3，CE=BC-BE=2．

∴CE的長(zhǎng)是2或8．

圖6

圖7

七、弦與弦、弧與弧、點(diǎn)與圓、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的不確定性產(chǎn)生多解

例11 已知AB，CD是⊙O的兩條平行弦，AB=6，CD=8，⊙O的半徑為5，則弦AB與CD的距離為（ ）

A.1. B.7. C.4或3. D.7或1.

解析：①當(dāng)AB和CD在O的同側(cè)時(shí)，如圖8，

過(guò)O作OE⊥AB于E，交CD于F，連接OA，OC，

圖8

圖9

∵AB∥CD，∴OF⊥CD，

在Rt△OAE中，

同理可得OF=3cm，EF=4cm-3cm=1cm；

②當(dāng)AB和CD在O的兩側(cè)時(shí)，如圖9，可得OE=4cm，OF=3cm，

則EF=4cm+3cm=7cm.

∴AB與CD的距離是1cm或7cm.選D．

八、圖形位置關(guān)系不確定產(chǎn)生多解

圖10

圖11

圖12

例 12 如圖10，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，點(diǎn)M是射線(xiàn)CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠AOC=60°，則當(dāng)△ABM為直角三角形時(shí)，AM的長(zhǎng)為_(kāi)____．

解析：如圖10，當(dāng)∠AMB=90°時(shí)，

∵O是AB的中點(diǎn)，AB=8，∴OM=OB=4，

又∵∠AOC=∠BOM=60°，

∴△BOM是等邊三角形，

∴BM=BO=4，

在Rt△ABM中

如圖11，當(dāng)∠AMB=90°時(shí)，

∵O是AB的中點(diǎn)，AB=8，∴OM=OA=4，

又∵∠AOC=60°，

∴△AOM是等邊三角形，

∴AM=AO=4；

如圖12，當(dāng)∠ABM=90°時(shí)，

∵∠BOM=∠AOC=60°，∴∠BMO=30°，

∴MO=2BO=2×4=8，

在Rt△BOM中

在Rt△ABM中

綜上所述，AM的長(zhǎng)為或或4．