廣東省珠海市斗門區(qū)第一中學(519000)李 凱 黎躍友

研究背景全國卷高考數(shù)學第22題考查的是選修4-4《極坐標與參數(shù)方程》的內(nèi)容,對于不少問題,是直接用極坐標方程求解還是化成直角坐標方程求解,一直是學生很疑惑的事情,有時自己通過化成直角坐標方程后需要算很久才能得到答案,而參考答案中直接用極坐標方程很快就得到答案;可是有時直接用極坐標方程求解又出錯或根本得不到答案,在一線教學中不少教師對極坐標系的講解往往只強調(diào)會轉(zhuǎn)化為直角坐標系中的問題來求解.廣東步入全國卷已進入第三個年頭,以前廣東卷對4-4《極坐標與參數(shù)方程》的考查是一道填空題,而現(xiàn)在全國卷變?yōu)榱艘坏澜獯痤},以前基本會進行方程之間的互相轉(zhuǎn)化即可應付考試,而現(xiàn)在在解答題中不僅考轉(zhuǎn)化,而且還考查應用,在不少題目中直接用極坐標方程解題也許能簡化計算,在教學中發(fā)現(xiàn)不少教師還是延續(xù)了備考以前廣東卷的思想,沒有挖掘極坐標知識的內(nèi)涵,在教學中只強調(diào)讓學生轉(zhuǎn)化為直角坐標方程求解.

一、由一道考題學生作答情況引發(fā)思考

題目(2017年全國II卷第22題)在平面直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρcosθ=4．M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且滿足|OM|·|OP|=16,求點P的軌跡C2的直角坐標方程;(2)從略.

解法1(1)設P的極坐標為(ρ,θ)ρ＞0,M的極坐標為(ρ1,θ).由題設知|OP|=ρ,|OM|=由|OM|·|OP|=16,得C2的極坐標方程ρ=4cosθ(ρ＞0).因此,C2的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4(x/=0).

解法2(1)設P的直角坐標為(x,y),曲線C1的直角坐標方程為x=4;可設M的坐標為(4,t),因為O,P,M三點共線,向量xt-4y=0,而P在線段OM上,顯然P與原點不重合,故

而|OM|·|OP|=16,故

在某次模擬考試題中,我們把這道題選到試卷里作為檢測題.解法1是原參考答案.發(fā)現(xiàn)大部分學生都用的是解法2的思路,把它當作解析幾何里求軌跡來解決;而因為原本就懼怕解析幾何中的計算,得到最終結(jié)果的很少,或者得到了最終答案的,也花費了很多時間,事實上本題直接用極坐標來解,即方法1,方便很多.

二、分析原因與尋找對策

高考考情分析筆者對比近三年的考試說明,發(fā)現(xiàn)有關(guān)對極坐標的考查說明幾乎沒有變化,在2018年的考試說明中對極坐標的考查主要有兩點：(1)了解極坐標的基本概念,會在極坐標中用極坐標刻畫點的位置,能進行極坐標和直角坐標的互化;(2)能在在極坐標系中給出簡單圖形表示的極坐標方程.從考試說明來看,一方面我們要會轉(zhuǎn)化,我們也要會應用“簡單圖形表示的極坐標方程”.

學生學習誤區(qū)由于在考題中碰到的極坐標方程都是我們熟悉的直線,圓,圓錐曲線,全部化為直角坐標方程當作一個解析幾何問題是肯定能解出來的,不少學生以為全部轉(zhuǎn)化為直角坐標方程解題就是解題的萬能鑰匙,事實上這把萬能鑰匙也只是應對了考試說明中“能進行極坐標和直角坐標互化”這一內(nèi)容.

應對策略在高考題中碰到曲線的極坐標方程都是非常簡單的,比如直線,極點為圓心的圓,經(jīng)過極點的圓,還有圓錐曲線等都比較容易把曲線化為ρ=f(θ)或其它比較簡單的形式.當求解一些可由點的極徑表達的長度和用極徑極角表達的面積問題時,直接用極坐標方程參與計算會方便很多.而轉(zhuǎn)化為直角坐標方程還需聯(lián)立方程和用到弦長公式以及點到直線的距離公式,計算量更大;另外還有一些與求曲線的軌跡方程有關(guān)的問題,比如幾何特征比較明顯或者一條曲線繞極點旋轉(zhuǎn)得另一條曲線,直接尋找曲線上任意一點的極角與極徑的關(guān)系式來求軌跡更容易.

三、分類剖析常見適用于直接用極坐標方程來解題的試題

類型1通過極徑的運算來求弦長和面積.

例1(廣西2017屆聯(lián)合檢測)在直角坐標系xOy中,圓C的方程為以O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.

解(1)2y-5=0,故其極坐標方程為0.(2)將得 ρ2-2ρ-5=0,由于 ρ1+ρ2=2,ρ1ρ2=-5,所以|MN|=|ρ1-ρ2|=

類型2通過極徑來求一些與長度和面積有關(guān)的最值問題.

例2(2015年全國II卷第23題)在直角坐標系xOy中,曲線C1:(t為參數(shù),t/=0),其中0≤α＜π,在以O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:ρ=2sinθ,曲線C3:ρ=

(1)求C2與C3交點的直角坐標;(2)若C1與C2相交于點A,C1與C3相交于點B,求|AB|的最大值.

解(1)聯(lián)立曲線C2和C3的直角坐標方程,有解得C2與C3交點的直角坐標為(0,0)和

(2)曲線C1的極坐標方程為θ=α(ρ∈R,ρ/=0,其中0≤ α＜ π.因此A的極坐標為(2sinα,α),B的極坐標為時,|AB|取得最大值,最大值為4.

類型3幾何特征比較明顯或與繞極點的旋轉(zhuǎn)有關(guān)的軌跡問題.

例3(石家莊市2017屆第二次模擬考試)在直角坐標系xOy中,以O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為ρcosθ=a(a＞0),Q為l上一點,以OQ為邊作等邊三角形OPQ,且O,P,Q三點按逆時針方向排列.

(I)當點Q在l上運動時,求點P運動軌跡的直角坐標方程;(II)略.

解(I)設點P的坐標為(ρ,θ),則由題意可得點Q的坐標為再由點Q的橫坐標等于a(a＞0),可得故當點Q在l上運動時點P的直角坐標方程為

類型4聯(lián)立兩個方程求交點極坐標或已知兩個極坐標方程交點滿足的條件求參數(shù)值.

例4(2013年全國I卷理科)已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ-2sinθ.

(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程；

(2)求C1與C2交點的極坐標(ρ≥0,0≤θ＜2π).

解(1)C1的極坐標方程為ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.

(2)顯然曲線C1不經(jīng)過極點,即極點不是它們的交點,這樣曲線C1和C2的交點的極坐標滿足方程組

把C2的方程代入C1的方程,整理得16cos2θ-16sinθ cosθ=0,即16cosθ(cosθ-sinθ)=0,故cosθ=0或cosθ=sinθ,再結(jié)合0≤ θ＜2π,得 θ=分別代入C2的方程可得再結(jié)合條件ρ≥0,得C1與C2交點的極坐標分別為

例5(2016年全國I卷理科)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù),a＞0).在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:ρ=4cosθ.

(1)說明C1是哪種曲線,并將C1的方程化為極坐標方程；

(2)直線C3的極坐標方程為θ=a0,其中a0滿足tana0=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a.

解(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2.即C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓.將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標方程為ρ2-2ρsinθ+1-a2=0.

(2)曲線C1與C2的公共點的極坐標滿足方程組若ρ/=0,由方程組得16cos2θ-8sinθ cosθ+1-a2=0,由已知條件tanθ=2,可得16cos2θ-8sinθ cosθ=0,從而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.而a=1時,極點也為C1與C2的公共點,在C3上.所以a=1.

四、鞏固練習

1(安徽省江淮十校2018屆高聯(lián)考理科試題)平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),以坐標原點O為極點,以x軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為

(1)寫出曲線C1的極坐標方程和曲線C2的直角坐標方程;

(2)若射線OM:θ=a0(ρ≥0)平分曲線C2,且與曲線C1交于點A,曲線C1上的點B滿足求|AB|.

2(湖南省衡陽市2018屆聯(lián)考)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)).以坐標原點為極點,以x軸正半軸為極軸,建立極坐標系,A,B為曲線C上兩點,且OA⊥OB,設射線OA:θ=a,其中

(1)求曲線C的極坐標方程;(2)求|OA|·|OB|的最小值.

3(張掖市民樂縣第一中學2018屆月考試題)在直角坐標系xOy中,已知圓C:(θ為參數(shù)),點P在直線l:x+y-4=0上,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系．

(1)求圓C和直線l的極坐標方程;(2)射線OP交圓C于R,點Q在射線OP上,且滿足|OP|2=|OR|·|OQ|,求Q點軌跡的極坐標方程．

解析與提示1.(1)C1:

五、2018年全國卷高考第22題回顧與分析

在剛剛結(jié)束的2018年高考中,全I卷(文理)第22題考查的是轉(zhuǎn)化圓的極坐標方程為直角坐標方程后,已知直線與圓的交點個數(shù),求參數(shù)的值;全國II卷和III卷(文理)均考的是參數(shù)方程的概念和應用.從全國三套卷來看,2018年并沒有重點考查極坐標的應用.筆者認為這是一種考查知識點的正常輪換,因為在前三年(前面的例題可見)試題中有強調(diào)對極坐標知識的重點考查,今年對參數(shù)方程的考查更多一點,我們不能掉以輕心,不可弱化對這一知識的研究和教學.

六、教學建議與2019年高考展望

由于在高考試題中碰到的極坐標方程都是可以化成直角坐標方程的,以上所有的題目都可以轉(zhuǎn)化成直角坐標方程來求解,當然如果都這樣來處理,那么這道題就變成一個解析幾何的附屬品.而解析幾何是高中階段公認的難點,這對于學生來說是難以承受的.對于上面歸納的這些類型的題,在極坐標系下,學生只需運用三角函數(shù)運算即可解題,而三角屬于高中階段比較基本的知識,學生一般都較為熟練,這樣解題就避免了很大的計算量,學生易于接受,這種解題方法與思想非常值得我們教學中教給學生.而且從知識的完備性和后續(xù)知識的學習的角度來看,學生理解極坐標系下解決某些問題的優(yōu)越性是非常有必要的,比如螺旋線(注：不在高考考察范圍內(nèi))的方程為ρ=θ,轉(zhuǎn)化為直角坐標方程后形式較為復雜,也就是說極坐標系有助于拓展我們認識曲線的功能.

除了研究教材和高考真題外,每年的考試說明中的題型示例以及參考答案也能指導我們教學和備考.在2018年版的考試說明中有關(guān)22題的題型示例共兩道,其中一道的參考答案就是直接用極坐標方程來解題的,現(xiàn)摘錄如下：

2018年版考試說明中的選考內(nèi)容題型示例2在直角坐標系xOy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25.

(1)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求C的極坐標方程;(2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),l與C交于A,B兩點,|AB|=10,求l的斜率．

解(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得圓C的極坐標方程為 ρ2+12ρcosθ+11=0.

(2)在(1)中建立的極坐標系中,直線l的極坐標方程為θ=α,(ρ∈R).設A,B所對應的極徑分別為ρ1,ρ2,將l的極坐標方程代入圓C的極坐標方程得ρ2+12ρcosθ+11=0,于是ρ1+ρ2=-12cosθ,ρ1ρ2=11,所以|AB|=|ρ1-ρ2|=

2018年高考中側(cè)重考查的是參數(shù)方程,展望2019年,我們要對這一命題方向要更加重視.從2016年高考開始,全國大部分地方都并入了全國卷,在以前各省命題時,有關(guān)極坐標的考查多數(shù)是只考一道填空題,而現(xiàn)在全國卷對這一知識的考察是一道解答題,知識的深度廣度都有增強.因此,需要我們對知識進行深層次的挖掘.