安徽省滁州中學(xué)(239000)郭守靜

安徽省滁州二中(239000)耿曉紅

射影命題指的是僅與點(diǎn)和直線的關(guān)聯(lián)關(guān)系以及順序關(guān)系有關(guān)的命題.本文提出并且證明兩條具有公共焦點(diǎn)的圓錐曲線相交的一個射影性質(zhì),即：

性質(zhì)已知圓錐曲線Γ,?！湎嘟?焦點(diǎn)均在直線l上,且有一個公共的焦點(diǎn)F,過焦點(diǎn)F的任一條直線l′,且Γ交于點(diǎn)M,?！浣挥邳c(diǎn)M′(點(diǎn)M,M′在直線l的同一側(cè)),m為Γ在點(diǎn)M處的切線,m′為?！湓邳c(diǎn)M′處的切線,那么直線m,m′交點(diǎn)在曲線Γ,?！浣稽c(diǎn)連線上.

證明圓錐曲線Γ,Γ′的另外兩個焦點(diǎn)與共同焦點(diǎn)F的位置關(guān)系如下：

圖1

圖2

(1)另外兩個焦點(diǎn)在焦點(diǎn)F兩側(cè)時(shí),過焦點(diǎn)F,且與準(zhǔn)線垂直的直線為x軸,點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系.圓錐曲線：

其中e為離心率,p為焦準(zhǔn)距;圓錐曲線：

其中e′為離心率,p′為焦準(zhǔn)距.

設(shè)直線l′的傾斜角為θ,點(diǎn)M、M′的橫坐標(biāo)分別為t、t′,根據(jù)圓錐曲線第二定義知|MF|=e(t+p),所以M(t,e(t+p)sinθ);同理M′(t′,e′(p′-t′)sinθ).因?yàn)辄c(diǎn)F、M、M′在一條直線上,所以

過M的切線方程為：

過M′的切線方程為

聯(lián)立②、③,消去y,并且代入①得到：

設(shè)曲線Γ,?！浣稽c(diǎn)K(u,v),根據(jù)圓錐曲線的第二定義,|KF|=(u+p)e=(p′-u)e′,所以可以推出結(jié)合圖形的對稱性,交點(diǎn)K、K′的連線即為所以直線m,m′交點(diǎn)在曲線Γ,?！浣稽c(diǎn)連線上.

(2)當(dāng)另外兩個焦點(diǎn)在焦點(diǎn)F一側(cè)時(shí),證明過程與(1)過程類似(略去),證畢.

注解下面交待本文所提的這一射影命題的發(fā)現(xiàn)過程,這一發(fā)現(xiàn)源于對王伯龍老師在文[2]中所提的一個命題的探究,文[2]所提的命題概括如下：

如圖3,經(jīng)過圓錐曲線E的焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線交圓錐曲線E于A,B為圓錐曲線上不同于點(diǎn)A的任意一點(diǎn),點(diǎn)B在x軸上的正投影為點(diǎn)M,圓錐曲線E在點(diǎn)A處的切線交直線BM于點(diǎn)C,則|CM|=|BF|.

圖3

該命題的等價(jià)表述是：

經(jīng)過圓錐曲線E的焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線交圓錐曲線E于A,B為圓錐曲線上不同于點(diǎn)A的任意一點(diǎn),過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線l′交以點(diǎn)F為圓心,|BF|為半徑的圓于點(diǎn)N(點(diǎn)A,N在x軸的同一側(cè)),則點(diǎn)A,N處的切線的交點(diǎn)在圓錐曲線E和圓F的交點(diǎn)連線上.

對這一等價(jià)表述作兩步合理推測,第一步是：將“圓錐曲線Γ的一個焦點(diǎn)與圓F的圓心重合”替換為“有一個公共的焦點(diǎn)F的圓錐曲線Γ,Γ′”,用幾何畫板檢驗(yàn)之后,發(fā)現(xiàn)結(jié)論成立;第二步是：建立在第一步基礎(chǔ)之上,將“與x軸垂直的直線l′”替換為“過點(diǎn)F的任意一條直線l′”,再次用幾何畫板檢驗(yàn)之后,發(fā)現(xiàn)命題仍然成立,即為本文所提的射影命題.這就是發(fā)現(xiàn)這一命題的全過程.