陜西省漢中市龍崗學(xué)校(723000)楊雨融

筆者利用幾何畫板,通過測算-演示-猜想-證明,發(fā)現(xiàn)圓錐曲線焦點(diǎn)弦端點(diǎn)處的切線具有如下一個(gè)新性質(zhì).

性質(zhì)1(如圖1)橢圓b2x2+a2y2=a2b2的弦PQ經(jīng)過左焦點(diǎn)F,點(diǎn)P,Q處的切線相交于T,A是橢圓的右頂點(diǎn),直線AP,AQ交左準(zhǔn)線l于M,N,則

(1)T是MN的中點(diǎn);

(2)記 △PTQ,△PMT,△QNT的面積分別為S1,S2,S3,則=e(e為離心率).

圖1

證明當(dāng)PQ與x軸垂直時(shí),命題顯然成立;下證PQ與x軸不垂直時(shí)的情況.

(1)設(shè)P(acos2α,bsin2α),Q(acos2β,bsin2β),則 點(diǎn)P,Q處的切線分別為bcos2α·x+asin2α·y=ab,bcos2β ·x+asin2β ·y=ab.兩切線交點(diǎn)T(xT,yT)為

又因?yàn)镻,F,Q三點(diǎn)共線,有

從而T是MN的中點(diǎn).

(2)因?yàn)?/p>

從而|MN|=2|TF|,即以T為圓心,以|MN|為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F.又因?yàn)?/p>

故TF⊥PQ.這表明以T為圓心,以|MN|為直徑的圓與直線PQ相切于F.記△PTQ,△PMT,△QNT的面積分別為S1,S2,S3,點(diǎn)P,Q到準(zhǔn)線的距離為Pl,Ql,設(shè)|MN|=2r.則

性質(zhì)2(如圖2)雙曲線b2x2-a2y2=a2b2的弦PQ在雙曲線左半支且經(jīng)過左焦點(diǎn)F,點(diǎn)P,Q處的切線相交于T,A是雙曲線的右頂點(diǎn),直線AP,AQ交左準(zhǔn)線l于M,N,則

圖2

(1)T是MN的中點(diǎn);

(2)記△PTQ,△PMT,△QNT的面積分別為S1,S2,S3,則

注當(dāng)PQ與x軸垂直時(shí),命題顯然成立;當(dāng)PQ與x軸不垂直時(shí),PQ斜率存在,可設(shè)P(asec2α,btan2α),Q(asec2β,btan2β),證明過程與命題1相似,此處略.

對(duì)于拋物線,可視另一頂點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處,從而由該點(diǎn)引出的直線PM,PN應(yīng)分別平行于x軸,基于這種考慮,我們進(jìn)一步得到：

性質(zhì)3(如圖3)拋物線y2=2px的弦PQ經(jīng)過焦點(diǎn)F,點(diǎn)P,Q處的切線相交于T,直線PM,PN分別平行于x軸且交l于M,N則

圖3

(1)T是MN的中點(diǎn);

(2)記△PTQ,△PMT,△QNT的面積分別為S1,S2,S3,則

證明(1)設(shè)根據(jù)題意有因?yàn)閽佄锞€y2=2px上任一點(diǎn)(m,n)處的切線方程為my=p(x+n),則點(diǎn)P,Q處的切線分別為注意到拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)y1y2=-p2,則兩切線交點(diǎn)T(xT,yT)為這表明點(diǎn)T在準(zhǔn)線上且是MN的中點(diǎn).

(2)

即以T為圓心,以|MN|為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F.

這表明以T為圓心,以|MN|為直徑的圓與直線PQ相切于F.記△PTQ,△PMT,△QNT的面積分別為S1,S2,S3,點(diǎn)P,Q到準(zhǔn)線l:x=的距離為Pl,Ql,設(shè)|MN|=2r.則從而證畢.