廣東省佛山市樂從中學(xué)(528315)林國紅

拋物線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,特別是直線與拋物線相切的題型,因其內(nèi)涵豐富,變化多,解題的靈活性大,已成為高考中的重要考點(diǎn),倍受命題者所推崇.本文對(duì)一道與拋物線的切線相關(guān)的高三模考題進(jìn)行探究,并對(duì)題目的問題進(jìn)行一般化的推廣,與讀者分享.

一、原題呈現(xiàn)與解答

過點(diǎn)A(-2,3)作拋物線y2=4x的兩條切線l1,l2,設(shè)l1,l2與y軸分別交于點(diǎn)B,C,則△ABC的外接圓方程為()

A.x2+y2-3x-4=0

B.x2+y2-2x-3y+1=0

C.x2+y2+x-3y-2=0

D.x2+y2-3x-2y+1=0

考慮到本題與拋物線的切線有關(guān),可以用拋物線的切線方程與切點(diǎn)弦方程來解決.

引理1過拋物線y2=2px(p＞0)上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線的方程為y0y=p(x+x0).

引理2設(shè)拋物線外一點(diǎn)M(x0,y0)作拋物線y2=2px(p＞0)的兩條切線MA,MB,切點(diǎn)分別為A,B,則切點(diǎn)弦AB所在直線的方程為y0y=p(x+x0).

解設(shè)切線l1,l2分別切于點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),l1,l2與y軸分別交于點(diǎn)B,C.由引理2,可得切點(diǎn)弦MN的方程3y=2(x-2),聯(lián)立消去x可得y2-6y-8=0,由韋達(dá)定理,有又由引理1可得切線l1的方程為y1y2=2(x1+x2),令x=0,有

設(shè)△ABC的外接圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,令x=0,得到y(tǒng)2+Ey+F=0,則是此方程的兩個(gè)根,于是有

解得D=1,E=-3,F=-2.所以△ABC的外接圓方程為x2+y2+x-3y-2=0,故選C.

圖1

圖2

圖3

二、探究(1)

在解決問題的過程中,發(fā)現(xiàn)點(diǎn)F在△ABC的外接圓上,且AF為外接圓的直徑(如圖1),是數(shù)據(jù)湊巧?還是具有一般性呢?利用數(shù)學(xué)軟件GeoGebra,發(fā)現(xiàn)變換點(diǎn)A的位置時(shí),A,B,C,F四點(diǎn)共圓,且圓的直徑仍為AF(如圖2),也就是說上述題目可推廣.

定理1設(shè)拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F,過拋物線外一點(diǎn)A(x0,y0)作拋物線的兩條切線l1,l2,若l1,l2與y軸分別交于點(diǎn)B,C,則A,B,C,F四點(diǎn)共圓,且此圓的直徑為|AF|.

證明當(dāng)點(diǎn)A在y軸上時(shí)(如圖3),A,B重合,切點(diǎn)N與C及坐標(biāo)原點(diǎn)重合,此時(shí)結(jié)論明顯成立.

當(dāng)點(diǎn)A不在y軸上時(shí)(如圖2),設(shè)切線l1,l2分別切于點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),l1,l2與y軸分別交于點(diǎn)B,C.由引理2,可得切點(diǎn)弦MN的方程y0y=p(x+x0),聯(lián)立消去x可得y2-2y0y+2px0=0,由韋達(dá)定理,有又由引理1可得切線l1的方程為y1y2=2(x1+x2),令x=0,有y=所以

設(shè)△ABC的外接圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,令x=0,得到y(tǒng)2+Ey+F=0,則是此方程的兩個(gè)根,于是有

三、探究(2)

利用GeoGebra進(jìn)一步探究,發(fā)現(xiàn)了更一般的性質(zhì)：

定理2已知拋物線焦點(diǎn)為F,拋物線的三條切線圍成△ABC,則A,B,C,F四點(diǎn)共圓(如圖4).

圖4

圖5

本定理可用解析法來證明,但過程較為繁瑣,運(yùn)算量大,考慮到問題與拋物線的切線有關(guān),可以用拋物線的光學(xué)性質(zhì)來證明.

先給出拋物線的光學(xué)性質(zhì)及一個(gè)引理：

拋物線的光學(xué)性質(zhì)從拋物線的焦點(diǎn)處發(fā)出的光線照射到拋物線上,經(jīng)拋物線反射后,反射光線平行于拋物線的軸,且經(jīng)過反射點(diǎn)的鏡面所在的直線為拋物線的切線.

引理3已知拋物線的焦點(diǎn)為F,過拋物線外的一點(diǎn)A作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別為M,N,則有(1)∠FAM=∠FNA;(2)△FAM∽△FNA.

證明當(dāng)A與拋物線在其準(zhǔn)線f異側(cè)時(shí),如圖5所示.過M,N作準(zhǔn)線f的垂線,垂足分別為U,G,AM與AN分別交準(zhǔn)線于I,K,連結(jié)AU,AG.由拋物線的光學(xué)性質(zhì),可知AM是∠FMU的角平分線,由拋物線的定義有MF=MU,所以有△AMU～=△AMF,于是AU=AF且 ∠AFM=∠AUM,同理有△ANG～=△ANF,于是AG=AF且∠AFN=∠AGN,所以有AU=AG,即得∠AUG=∠AGU,而∠AUM=∠AUG+90°,∠AGN=∠AGU+90°,所以∠AUM=∠AGN=∠AFM=∠AFN.在△AUG中,∠AUG+∠AGU+∠UAM+∠FAM+∠GAN+∠FAN=180°,由△AMU～=△AMF,得∠UAM=∠FAM;由△ANG～=△ANF,得 ∠GAN=∠FAN.所以 ∠AGU+∠GAN+∠FAM=90°,即∠GKN+∠FAM=90°,而 ∠GNK+∠GKN=90°,故 ∠FAM=∠GNK,又有 ∠GNK=∠FNA.所以∠FAM=∠FNA,于是△FAM∽△FNA.

當(dāng)A與拋物線在其準(zhǔn)線同側(cè)時(shí)可類似地證明;A在準(zhǔn)線上時(shí)顯然是成立的.所以命題得證.

評(píng)注①由引理3,易知∠FAN=∠FMA.

②引理3的證明,實(shí)際上已經(jīng)證明了2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽湖北省預(yù)賽題：過拋物線y2=2px(p＞0)外一點(diǎn)P向拋物線作兩條切線,切點(diǎn)為M,N,F為拋物線的焦點(diǎn).證明：(1)|PF|2=|MF|·|NF|;(2)∠PMF=∠FPN.

圖6

圖7

利用引理3,是很容易證明定理2的,證明過程如下.

證明如圖6.設(shè)拋物線的三條切線分別為AM,AN,BC;三個(gè)切點(diǎn)分別為M,N,P,連結(jié)FA,FB,FC,FM,FN,FP.因?yàn)锳M,AN是拋物線的兩條切線,由引理3,得∠FAN=∠AMF;因?yàn)锽M,BC是拋物線的兩條切線,由引理3,得∠FBP=∠AMF;所以有∠FAN=∠FBP,即得A,B,C,F四點(diǎn)共圓.

由定理2,還可以得到其推論：

定理2的推論已知拋物線焦點(diǎn)為F,拋物線的三條切線圍成△ABC,若BC與拋物線相切于拋物線的頂點(diǎn),則AF是△ABC外接圓的直徑.

證明如圖7,設(shè)拋物線的三條切線分別為AM,AN,BC;三個(gè)切點(diǎn)分別為M,N,P,且P是拋物線的頂點(diǎn),連結(jié)FA,FB,FC,FM,FN,FP.由定理2,有A,B,C,F四點(diǎn)共圓.因?yàn)锽M,BC是拋物線的兩條切線,由引理3,得∠FBM=∠FPB,又因?yàn)锽C與拋物線相切于拋物線的頂點(diǎn)P,得 ∠FPB=90°,所以有∠FBM=90°=∠FBA.即AF是△ABC外接圓的直徑.

評(píng)注原題及定理1其實(shí)就是定理2的推論.

四、探究的啟示

數(shù)學(xué)家波利亞曾說：“解題就象采蘑菇一樣,當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)蘑菇時(shí),它的周圍可能有一個(gè)蘑菇圈.”所以教師在教學(xué)過程中要重視“研究”,對(duì)數(shù)學(xué)研究的實(shí)踐與體驗(yàn),能夠在教學(xué)中提出問題,找到問題的關(guān)鍵.

教師以研究者的思維與邏輯組織教學(xué),學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中也將收獲“研究”,從而使學(xué)生對(duì)解決數(shù)學(xué)問題的思維方法的一般性有更清晰的理解與掌握,養(yǎng)成對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論背后邏輯關(guān)系的分析與思考習(xí)慣.

同時(shí)應(yīng)該明白,問題探究的直接目的是為了尋求問題的解答,但是尋求解答卻不是問題探究的唯一目的.數(shù)學(xué)解題是思維的訓(xùn)練,教師要多動(dòng)腦筋,引導(dǎo)學(xué)生探研題目的一題多解,多題一解,并從中體會(huì)數(shù)學(xué)問題的探研方式與方法.使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)技能的同時(shí),感受數(shù)學(xué)本質(zhì),從而積累良好的數(shù)學(xué)思維和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn),形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

解析幾何題型一直是高考的必考內(nèi)容,其解答過程中往往伴有較大的運(yùn)算,以致于學(xué)生害怕解析幾何的考題.其實(shí)解析幾何問題本質(zhì)是幾何問題,它們本身就包含一些重要的幾何性質(zhì),例如圓錐曲線的定義及其光學(xué)性質(zhì)本身就是極其重要的幾何性質(zhì).如果我們可以充分利用這些幾何性質(zhì),往往可以避開繁瑣的代數(shù)運(yùn)算,使解決問題的過程得到簡化,而且解法簡潔優(yōu)美,更好地揭示這些問題的幾何本質(zhì).因此對(duì)于解析幾何問題,要緊扣其中關(guān)鍵幾何要素,將解析法與平面幾何方法相結(jié)合,從而得到解決問題的最優(yōu)解法,這不僅是解決解析幾何問題的法寶,還是減少解析幾何運(yùn)算量的法寶,同時(shí)可以更好地提高解題能力.