北京市第十二中學(xué)高中部(100071)劉 剛

1 試題

江西省南昌市2017屆高三一模試題：如圖1,已知橢圓C:=1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為點(diǎn)B(4,0),F2為線段A1B的中點(diǎn).

(I)求橢圓C的方程;

(II)若過(guò)點(diǎn)B且斜率不為0的直線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),已知直線A1M與A2N相交于點(diǎn)G,試判斷點(diǎn)G是否在定直線上?若是,請(qǐng)求出定直線的方程;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1

試題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、直線和橢圓的位置關(guān)系以及動(dòng)點(diǎn)所在定直線問(wèn)題,考查了設(shè)而不求、整體替換等數(shù)學(xué)方法,檢驗(yàn)了運(yùn)算求解、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.試題解法多樣,內(nèi)涵豐富,為不同學(xué)生搭建施展才能的舞臺(tái),是一道好題.

2 解法探究

(II)思路1結(jié)合圖形特點(diǎn),從直線l與橢圓C相切時(shí)入手,判斷出點(diǎn)G在直線x=1上,然后轉(zhuǎn)化為一般性的證明.

解法1顯然l與x軸不垂直,設(shè)直線l的方程為y=k(x-4),與橢圓C的方程=1聯(lián)立,得

當(dāng)直線l與橢圓C相切時(shí),則有

由①得

代入②,只需證

即證16k2-3-20k2+3+4k2=0,此式顯然成立,所以點(diǎn)G在定直線x=1上.

點(diǎn)評(píng)由于動(dòng)點(diǎn)G所在定直線并沒(méi)有給出,這給解答增添了難度,如果事先能知道這條定直線,無(wú)疑給前進(jìn)的道路指明了方向,將會(huì)柳暗花明.因此,在解決這種問(wèn)題時(shí),先通過(guò)特殊位置(如直線與坐標(biāo)軸垂直、與曲線相切等)找出定直線,再轉(zhuǎn)化為一般性的證明,這是常用的解題思路.

思路2先設(shè)出點(diǎn)G,M,N的坐標(biāo),然后利用點(diǎn)B,M,N;點(diǎn)A1,M,G;點(diǎn)A2,N,G等三組共線關(guān)系,列出坐標(biāo)之間的方程,采取整體替換的方法進(jìn)行求解.

解法2設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),G(x3,y3),則x1,x2,x3兩兩不等,因?yàn)锽,M,N三點(diǎn)共線,所以

整理,得2x1x2-5(x1+x2)+8=0.因?yàn)锳1,M,G三點(diǎn)共線,所以

因?yàn)锳2,N,G三點(diǎn)共線,所以

由2x1x2-5(x1+x2)+8=0,得代入③,得解得x3=4(舍去)或x3=1,所以點(diǎn)G在定直線x=1上.

思路3利用曲線系方程進(jìn)行求解.

解法3設(shè)G(x0,y0),則直線A1G,A2G的方程分別為y0x-(x0+2)y+2y0=0,y0x-(x0-2)y-2y0=0.設(shè)直線MN的方程為x-ty-4=0,又直線A1A2的方程為y=0,所以過(guò)A1,M,N,A2四點(diǎn)的曲線系方程為

整理,得

得x0=1,所以點(diǎn)G在定直線x=1上.

點(diǎn)評(píng)設(shè)直線AB,CD的方程分別為lAB(x,y)=0,lCD(x,y)=0,直線AC,BD的方程分別為lAC(x,y)=0,lBD(x,y)=0,則過(guò)A,B,C,D四點(diǎn)的二次曲線系方程可以設(shè)成lAB(x,y)·lCD(x,y)+λlAC(x,y)·lBD(x,y)=0,然后化成一般式方程再與已知曲線方程進(jìn)行系數(shù)比較求解,體現(xiàn)了變換的思想和整體處理的解題策略,提高了解題效率.

思路4由于橢圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)伸縮變換可以變?yōu)閳A,而圓有著很多幾何性質(zhì),因此借助圓利用平面幾何知識(shí)進(jìn)行解決,可以避免繁瑣的代數(shù)運(yùn)算,使解題過(guò)程得到簡(jiǎn)化.

解法4如圖2,在坐標(biāo)伸縮變換φ:下,橢圓C:=1變成了單位圓x′2+y′2=1,點(diǎn)O,A1,A2,B,M,N,G分別變?yōu)辄c(diǎn)G′,則的坐標(biāo)分別為(-1,0),(1,0),(2,0).因?yàn)橹本€B′M′交的三邊(或所在直線)分別為M′,B′,N′,所以由梅涅勞斯定理,得1.又接為圓O′的直徑,所以所以H是的垂心.連接G′H交x′軸于點(diǎn)T,則G′T⊥x′軸,由塞瓦定理,得即xT+1=3(1-xT),解得所以xG=1,所以點(diǎn)G在直線x=1上.

圖2

3 拓展

對(duì)本題一般化得到：

性質(zhì)1已知橢圓C:的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,過(guò)點(diǎn)(m/=±a,且m/=0)且斜率不為0的直線l與C交于M,N兩點(diǎn),若直線A1M與A2N相交于點(diǎn)G,則點(diǎn)G在定直線x=m上.

證明設(shè)G(x0,y0),因?yàn)锳1(-a,0),A2(a,0),所以直線A1G,A2G的方程分別為y0x-(x0+a)y+ay0=0,y0x-(x0-a)y-ay0=0.設(shè)直線MN的方程為又直線A1A2的方程為y=0,所以過(guò)A1,M,N,A2四點(diǎn)的曲線系方程為

整理,得

與b2x2+a2y2-a2b2=0比較系數(shù),得解得x0=m,所以點(diǎn)G在定直線x=m上.

由橢圓類比雙曲線、拋物線有：

性質(zhì)2已知雙曲線C:的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,過(guò)點(diǎn)m/=0)且斜率不為0的直線l與C交于M,N兩點(diǎn),若直線A1M與A2N相交于點(diǎn)G,則點(diǎn)G在定直線x=m上.

性質(zhì)3已知拋物線C:y2=2px(p＞0)的頂點(diǎn)為O,過(guò)點(diǎn)B(m,0)(m/=0)的直線與C交于M,N兩點(diǎn),若過(guò)點(diǎn)N與x軸平行的直線與直線MO相交于點(diǎn)G,則點(diǎn)G在定直線x=-m上.

經(jīng)過(guò)深入探究,以上三個(gè)性質(zhì)的逆命題也成立.

性質(zhì)4已知橢圓C:=1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,G為直線x=m(m/=±a,且m/=0)上一點(diǎn),且點(diǎn)G不在C上,直線A1G與A2G與C分別交于另一點(diǎn)M,N,則直線MN過(guò)定點(diǎn)

證明設(shè)G(m,n),因?yàn)锳1(-a,0),A2(a,0),所以直線A1G,A2G的方程分別為nx-(m+a)y+an=0,nx-(m-a)y-an=0.設(shè)直線MN的方程為x-ty-s=0,又直線A1A2的方程為y=0,所以過(guò)A1,M,N,A2四點(diǎn)的曲線系方程為

整理,得

與b2x2+a2y2-a2b2=0比較系數(shù),得解得所以直線MN過(guò)定點(diǎn)B

性質(zhì)5已知雙曲線C:=1(a＞0,b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,G為直線x=m(m/=±a,且m/=0)上一點(diǎn),且點(diǎn)G不在C上,直線A1G與A2G與C分別交于另一點(diǎn)M,N,則直線MN過(guò)定點(diǎn)

性質(zhì)6已知拋物線C:y2=2px(p＞0)的頂點(diǎn)為O,G為直線x=m(m/=0)上一點(diǎn),且點(diǎn)G不在C上,直線GO與C交于另一點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)G作與x軸平行的直線交C于點(diǎn)N,則直線MN過(guò)定點(diǎn)B(-m,0).

性質(zhì)2,3,5,6的證明留給讀者,限于篇幅此處從略.

在解題教學(xué)中,教師要多引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考,提倡一題多解并嘗試將問(wèn)題一般化.考慮到圓錐曲線家族的特殊性,還要運(yùn)用類比的方法由此及彼,這樣可以將試題價(jià)值發(fā)揮最大化,從而培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.