王華奎,陳 峰,王 彪

(1.水聲對抗技術(shù)重點實驗室,廣東 湛江 524022;2.江蘇科技大學(xué)電子信息學(xué)院,江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

一直以來,高分辨DOA估計都是陣列信號處理的熱點問題,許多專家學(xué)者都對此進行了深入研究[1-3]。DOA估計算法大體可以分為以下兩類:一類是以常規(guī)的CBF(波束形成)和MVDR[4](最小方差無畸變算法)等為代表的傳統(tǒng)算法;一類是以MUSIC[5-6](多重子空間分類算法)、ESPRIT(旋轉(zhuǎn)不變子空間算法)為代表的超分辨算法。相比于傳統(tǒng)的波束形成算法,超分辨算法擁有更高的分辨率以及更精準(zhǔn)的估計性能,但在低信噪比、小快拍條件下,此類算法的估計性能急劇下降甚至失效。為此文獻[7-9]對MUSIC算法進行深入研究,文獻[7]將加權(quán)之后的信號子空間引入傳統(tǒng)MUSIC算法之中,充分利用信號子空間的抗噪性,提高了算法在低信噪比、小快拍下的穩(wěn)健性。文獻[8]提出一種利用加權(quán)偽噪聲投影的MUSIC算法,利用偽噪聲子空間的投影對基于噪聲子空間投影的MUSIC空間譜進行加權(quán)處理,使得算法在小快拍和弱信號條件下的估計性能大幅提升。文獻[9]利用峰值處符號的變化提出了一種基于二階導(dǎo)數(shù)的空間譜函數(shù),此方法在小角度差、低信噪比條件下依然可以得到了比較尖銳譜峰,在一定程度上提高了算法的分辨率。

以上這些算法,雖然都在一定程度上提高了算法的性能,但是卻都沒有充分利用數(shù)據(jù)矩陣的特征信息。因此,本文提出一種充分利用數(shù)據(jù)特征信息的加權(quán)MUSIC算法。算法首先利用噪聲特征值對噪聲子空間投影進行加權(quán),然后結(jié)合加權(quán)子空間投影算法,形成一種新的空間譜算法。此算法既保留了MUSIC算法的高分辨特性,同時引入了信號子空的抗噪性,使得此算法更加適用于低信噪比、小快拍的條件。最后文章對所提算法聯(lián)合MVDR進行估計,經(jīng)過計算機仿真實驗說明了所提算法的優(yōu)越性。

1 MUSIC算法信號模型

假設(shè)遠(yuǎn)場波導(dǎo)條件下有k個窄帶信號源入射到M個水聽器組成的均勻線陣上,其入射角度為θ,θ={θ1,θ2,…θk},每個陣元之間的距離為d,故其陣元接收數(shù)據(jù)模型如下:

X(t)=A(θ)S(t)+N(t)

(1)

式中,

A(θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θk)]

(2)

a(θk)=[1,e-j2πdsin(θk)/λ,…,e-j2π(M-1)dsin(θk)/λ]T

(3)

(4)

N(t)=[n1(t),n2(t),…nM(t)]T

(5)

假設(shè)每個陣元上的噪聲均為零均值的高斯白噪聲,且相互獨立,接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣用R表示,則R可由下面表達式求得

R=E[X(t)XH(t)]

=E[A(θ)S(t)SH(t)AH(θ)+N(t)NH(t)]

=A(θ)RSSAH(θ)+σ2I

(6)

其中,符號H表示共軛轉(zhuǎn)置運算。由式(6)知,可將R看作是由信號子空間和噪聲子空間構(gòu)成,其表達式:

(7)

其中,ΛS=diag(λ1,λ2,…,λk)是由較大的特征值構(gòu)成的信號特征值矩陣,ΛN=diag(λk+1,λk+2,…,λM)是由較小的特征值構(gòu)成的噪聲特征值矩陣,在理想的情況下認(rèn)為λk+1=λk+2=…=λM,但是實際情況下,由于快拍數(shù)有限,噪聲特征值不可能相等,即λk+1>λk+2>…>λM。US=[e1,e2,…,ek],span(US)=span(A)稱為信號子空間,UN=[ek+1,ek+2,…,eM],span(UN)稱為噪聲子空間。由于span(US)⊥span(UN),所以可以得到span(A)⊥span(UN),故而AHUN=0,R. Schmidt利用這個性質(zhì)構(gòu)建了經(jīng)典MUSIC算法空間譜:

(8)

2 改進算法描述

眾所周知,經(jīng)典MUSIC算法是基于信號相互獨立的前提下提出,然而在實際的聲場環(huán)境下,相干源的存在是一個不可避免的問題,在相干源條件下的MUSIC算法性能急劇下降甚至失效。為獲得目標(biāo)方位角,實現(xiàn)解相干,涌現(xiàn)出了許多解相干方法。其中SSMUSIC、FBSS、MMUSIC是幾種最常用的解相干方法,前兩種方法都屬于降維方法,它們都以損失陣列的有效孔徑為代價來實現(xiàn)解相干,相對于MMUSIC來說，估計性能略差。MMUSIC算法具體步驟如下。

假設(shè)對式(1)進行變形:

Y=JX(t)*

(9)

其中X*(t)表示為X(t)的復(fù)共軛,J為M×M維置換矩陣,其副對角線上元素均為1,其余各元素均為0的矩陣,表達式如下:

(10)

由此可求得樣本Y的協(xié)方差矩陣Ry=E[Y(t)YH(t)]=JR*J,令RR=R+Ry=R+JR*J,用RR來取代原算法中R進行MUSIC算法運算,便可實現(xiàn)對兩個相干源的分辨。MMUSIC實質(zhì)是FBSS的一種特殊形式,它以本身作為一個子陣進行前后平滑,保證了陣列的有效孔徑不會減小,使得算法的分辨率優(yōu)于FBSS算法。為了進一步提升MUSIC算法的解相干能力,本文提出了一個新的平滑方式：

Rxy=E[X(t)YH(t)]+Jconj(E[X(t)YH(t)])J

(11)

Rxx=E[X(t)XH(t)]+Jconj(E[X(t)YH(t)])J

(12)

Ryy=E[Y(t)YH(t)]+Jconj(E[X(t)YH(t)])J

(13)

=RR+E[X(t)YH(t)]+3Jconj(E[X(t)YH(t)])J

(14)

假若式(8)是一個理想的空間譜,理論上是可以進行對任何小角度差的信源進行估計,然而實際中,由于快拍數(shù)的有限使得UN并不能獲得精確值,因此算法估計性能有所下降,為此文獻[10]算法利用噪聲特征值的冪數(shù)級對相應(yīng)的UN加以修正:

(15)

(16)

雖然此算法可以在一定程度上提高算法的分辨率,但是卻沒有給出效果最好時的n值。通過查閱文獻和大量的仿真實驗,得知0<|n|≤1時,此算法的分辨率較高。n過大,整體空間譜值會變小,可能產(chǎn)生欠估計問題。式(16)的算法在一定程度上提高了算法的分辨率,但是依然沒有擺脫MUSIC算法的局限性,算法的實質(zhì)依舊是利用噪聲子空間在導(dǎo)向矢量上的投影來構(gòu)造空間譜,沒有考慮信號子空間的信息,在低信噪比條件下,估計性能依舊不佳。這是由于噪聲子空間在小快拍、低信噪比的條件下受影響起伏較大,而信號子空間在此種條件下受影響較小,為此,本文選取一種加權(quán)信號子空間的投影方式:

(17)

由上式可得,當(dāng)m取不同值時,所對應(yīng)的物理意義不一樣,當(dāng)m=-1時,表示采用主特征值的倒數(shù)對信號子空間的投影進行加權(quán),其實質(zhì)是弱化了最大特征向量的投影,使得其他方向信號的特征向量投影得以加強,從而提高小角度下的信源分辨性能。與之相反,當(dāng)m=1時,表示采用主特征值對信號子空間的投影進行加權(quán),其實質(zhì)是放大了最大特征向量的投影,從而使得此方向上的空間譜值更加突出。當(dāng)m=0時,表示對直接采用信號子空間在A(θ)上的投影,對每個信號的特征向量均用1進行加權(quán)。為了獲得更加明顯的空間譜值,本文選取m=1來構(gòu)建式(17),然后結(jié)合式(16)來構(gòu)建一種新的空間譜函數(shù)

(18)

由式(18)可知,新的空間譜函數(shù)是利用功率譜對式(16)的整體加權(quán)。式(17)取m=1其物理意義就是信號的功率譜。因此式(17)在m=1可被用來做功率估計。

依據(jù)MVDR的本質(zhì)是在整體功率最小的情況下,讓信號處的增益最大,為了讓式(18)優(yōu)勢更加明顯,穩(wěn)健性更強,本文使用MVDR空間譜函數(shù)和式(18)進行聯(lián)合估計。為此得到式(19)：

(19)

由上式的物理意義知,相比于式(18)利用式(19)進行DOA估計時信號增益方向?qū)⒈贿M一步增強,峰值將會更加尖銳,而旁瓣將會被進一步壓制,說明此方法的穩(wěn)健性更強。仿真實驗對算法優(yōu)越性進行了驗證。

3 算法復(fù)雜度分析

本文將所提的基于子空間投影加權(quán)的加權(quán)MUSIC算法式(18)稱為算法1、它的聯(lián)合估計譜式(19)稱為算法2,對三種算法復(fù)雜度進行分析。

MMUSIC算法復(fù)雜度:計算協(xié)方差矩陣RR=R+Ry=R+JR*J其運算復(fù)雜度為O(L(M2+2M))其中L代表快拍數(shù),計算R復(fù)雜度為O(LM2)對其進行特征值分解其運算量為O(M3),故而其總運算量為O(M3+LM2+2LM)。

所提算法2,較之于算法1增加了一個矩陣求逆過程,算法2復(fù)雜度增加O(M3),故而算法2的總復(fù)雜度可以表示為O(2M3+2LM2+2LM)。

4 仿真實驗

4.1 三種算法的對比實驗

假設(shè)3個等強度的信源入射到12元均勻線陣上,三個信源入射角度分別為0°、30°、60°,其中0°和60°是兩個相干源,本文取信噪比為0 dB,快拍數(shù)為100、n=1,陣元間距為半波長,進行三種算法空間譜對比實驗,其結(jié)果如圖1所示。從圖1中可以看出三種算法均可在波達角方向形成尖銳的譜峰,但是,與算法1相比,算法2譜峰更加尖銳,增益更大,從而說明算法2較之算法1有更好的DOA估計性能,旁瓣壓制更低,說明所提的方法擁有更好的魯棒性。而MMUSIC算法相比于另外兩種算法增益較小,說明MMUSIC在無論是相干源的估計還是獨立信號的估計上,估計性能整體弱于另外兩種算法。

4.2 三種算法的成功率分析

實驗條件:3個等強度的信源入射到12元均勻線陣上,三個信源入射角度分別為0°、30°、60°,其中0°和60°是兩個相干源,本文取信噪比從-10 dB按2 dB的間隔增加至10 dB,快拍數(shù)為100、n=1,陣元間距為半波長,進行100次獨立計算機仿真實驗,當(dāng)偏差在1°內(nèi)認(rèn)定算法成功,得到三種算法在不同信噪比下的成功率,其結(jié)果如圖2所示。從圖2中可以得出,三種算法在信噪比等于-10 dB時,成功率都為0,但是隨著信噪比的提升,三種算法的成功概率也隨之提升,但是在除-10 dB外的任何一個信噪比條件下,算法2的成功率均高于其他兩種算法。由此說明算法2性能最優(yōu)、算法1性能次之,側(cè)面說明所提兩種算法更加適用于低信噪比條件下。

保持上述實驗條件不變,取快拍數(shù)從10按20的間隔增加至200,設(shè)置信噪比為0 dB進行100次獨立計算機仿真實驗,其結(jié)果如圖3所示。從圖3可以得出,在小快拍條件下三種算法的成功率都隨著快拍數(shù)的增加而增加,在快拍數(shù)200時三種算法成功率大致相同。但是在其他快拍數(shù)時,三種算法中算法2的成功率最高,MMUSIC算法成功率最低,說明所提兩種算法更加適用于小快拍的條件下。

接下來分析陣元數(shù)對三種算法的影響,取快拍數(shù)為100,信噪比為0 dB,陣元數(shù)由4個每次增加2個陣元一直增加到16個陣元,其他實驗條件保持不變,對其進行分析,其結(jié)果如圖4所示。由圖4可知,隨著陣元數(shù)目的增加,三種算法的成功率也隨之增加,但是明顯可知,算法2的成功率明顯高于MMUSIC算法,說明算法2性能是優(yōu)于MMUSIC,從而說明所提兩種算法有一定優(yōu)越性。

4.3 三種算法的偏差分析

實驗條件:3個等強度的信源入射到12元均勻線陣上,三個信源入射角度分辨為0°、30°、60°,其中0°和60°是兩個相干源,取信噪比從-10 dB按2 dB的間隔增加到0 dB,快拍數(shù)為100、n=1,陣元間距為半波長,進行100次獨立計算機仿真實驗,其結(jié)果如表1所示。由表1可知三種算法的標(biāo)準(zhǔn)差都隨著信噪比的增大而減小,其中算法2在三種算法中標(biāo)準(zhǔn)差是最小的,MMUSIC是最大的,說明所提兩種算法優(yōu)于MMUSIC。

表1 三種算法在不同信噪比下的標(biāo)準(zhǔn)差

保持上述條件不變,將信噪比設(shè)置為0 dB,快拍數(shù)由120按20的間隔增加到220,其結(jié)果如表2所示。

表2 三種算法在不同快拍下的標(biāo)準(zhǔn)差

4.4 三種算法的復(fù)雜度分析

假設(shè)M=12,快拍數(shù)L從1開始每次增加50至301時,三種算法復(fù)雜度其復(fù)雜如圖5所示。從圖中可以算法1和算法2運算量相當(dāng),隨著快拍數(shù)的增加算法1和算法2的計算量間的差值將會越來越大。

假設(shè)快拍數(shù)L=100,陣元數(shù)由8變化到20時,三種算法的運算量如圖6所示,算法1和算法2運算量相當(dāng),對比圖6和圖5可知,陣元數(shù)對計算量的大小是起決定性作用,因為陣元數(shù)和復(fù)雜度是呈立方關(guān)系。雖然本文所提的兩種算法的復(fù)雜度都隨著快拍數(shù)和陣元數(shù)的增加而增加,但是結(jié)合圖3、4、5、6可知在陣元數(shù)14,快拍數(shù)140時,算法1、2性能遠(yuǎn)高于MMUSIC,而此時本文所提兩種算法的復(fù)雜度和MMUSIC算法相當(dāng)。側(cè)面反映了相較于MMUSIC算法,本文所提算法在陣元14、快拍140時能取得最優(yōu)工作狀態(tài)。

5 結(jié)束語

為了解決傳統(tǒng)的MUSIC算法在小快拍、低信噪比的條件下估計性能急劇惡化的問題,本文利用噪聲所對應(yīng)的特征值對噪聲子空間進行加權(quán),并將利用主特征值加權(quán)信號子空投影和加權(quán)后的噪聲子空間投影進行結(jié)合,構(gòu)造一種新的空間譜函數(shù),利用MVDR算法對信號有最大增益的特點,對所提算法與MVDR空間譜進行聯(lián)合DOA估計。為了使算法能夠適用于相干源條件下,進而提出一種新的解相干方法,將這種解相干方式與所提的兩種算法相結(jié)合,有助于提高解相干性能。最后通過計算機仿真實驗證明:本文所提兩種算法信噪比在-10 dB至4 dB時,性能是優(yōu)于MMUSIC; 本文所提兩種算法陣元數(shù)在6至16時,性能是優(yōu)于MMUSIC。