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        點到直線、兩平行線間的距離公式

        2018-08-10 08:06:26劉彥江趙欣慶張文斌丁冬彥
        新課程(下) 2018年5期
        關(guān)鍵詞:垂線平行線直角坐標

        劉彥江 趙欣慶 張文斌 丁冬彥

        (甘肅省蘭州市永登縣連鋁學(xué)校,甘肅 蘭州)

        筆者基于幾何畫板軟件探究出了“點到直線、兩平行線間的距離公式”一課.以下為課堂實錄,僅供參考.

        一、點到直線的距離公式

        幾何畫板展示構(gòu)圖:

        1.新建畫板,建立平面直角坐標系.在x軸上任取點H;在y軸上任取點I.過H作x軸的垂線與過I作y軸的垂線交于P0.作線段HP0、線段HP0.隱藏垂線.

        2.在x軸上任取點J;在y軸上任取點K.構(gòu)造過J、K兩點的直線l.在直線l上任取點E,過點E作直線l的垂線,在垂線上任取點F(在直線l的右側(cè)),構(gòu)造直線的法向量構(gòu)造射線EF,隱藏垂線.

        3.在直線l上任意取一點P,構(gòu)造向量圖形如右:

        4.拖動點J、K,使直線l在點P0的左側(cè).過點P0作射線EF的垂線交EF于點G,構(gòu)造向量的投影EG.

        5.拖動點P0,觀察投影EG的變化.

        新建文件夾,將“未命名1”存入.

        板書:點到直線的距離公式:

        在平面直角坐標系中,如果已知某點P0的坐標為(x0,y0),直線l的方程為Ax+By+C=0(A>0,B≠0),求點P0到直線的距離.

        解:如上圖,設(shè)直線l的一個法向量為不妨設(shè)為設(shè)P(x,y)是直線l上的任意一點,則

        點到直線l的距離d為向量在上的投影的絕對值.

        所以得到點到直線的距離公式

        若A=0,直線l和x軸平行,直線l的方程為By+C=0,點到直線的距離公式為

        若B=0,直線l和y軸平行,直線l的方程為Ax+C=0,點到直線的距離公式為

        因此,若A=0或B=0,上式仍成立.

        二、兩條平行直線的距離公式

        幾何畫板展示構(gòu)圖,其“腳本”如下:

        1.新建畫板,建立平面直角坐標系.在x軸上任取點H;在y軸上任取點I.構(gòu)造過H、I兩點的直線l′.

        2.在y軸上任取點K,過點K作直線l′的平行線l″,在直線l′上任取點E,過E作直線l′的垂線,在垂線上任取點F(在直線l″的右側(cè)),構(gòu)造直線的法向量構(gòu)造射線EF,構(gòu)造EF與直線l″的交點G.

        3.在直線l′上任取點P1,直線l″上任取點P2,構(gòu)造向量.構(gòu)造向量的投影EG.

        4.鼠標拖動點P1、P2,觀察投影EG的大小變化情況.如右圖:

        另存為“兩條平行直線的距離公式”.

        板書:兩條平行直線的距離公式:

        在平面直角坐標系中,兩條平行直線l′與l″的方程分別為Ax+By+C1=0,Ax+By+C2=0,(A>0,B≠0).

        求平行直線l′與l″的距離.

        兩平行直線l′與l″的距離d就是向量在上的投影的絕對值.

        得到兩平行直線間的距離公式.(板書)

        本節(jié)課是向量思想方法與幾何畫板軟件的聯(lián)袂,用此法求點到直線、兩平行線間的距離,直觀、準確地展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識與軟件教學(xué)的交叉滲透,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美.

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