周小華

數(shù)學(xué)解題課是高中數(shù)學(xué)被普遍重視的一種課型，是以學(xué)生進(jìn)行“解決問(wèn)題學(xué)習(xí)”為主的課，解題課的教學(xué)過(guò)程應(yīng)著力展現(xiàn)解題思維的全過(guò)程，注意對(duì)解題策略、思維方法、解題技巧等進(jìn)行分析歸納與評(píng)價(jià)，這其中蘊(yùn)含著多種數(shù)學(xué)思想方法的滲透教學(xué)。

引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體的數(shù)學(xué)思想方法，是使學(xué)生提高思維水平，懂得數(shù)學(xué)價(jià)值，建立科學(xué)的數(shù)學(xué)觀念，從而發(fā)展數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)的重要保證，也是現(xiàn)代教學(xué)思想的重要方向。以下通過(guò)案例研究高中數(shù)學(xué)解題課如何進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)及提煉有效的教學(xué)策略。

一、解題課中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的案例研究：圓錐曲線的綜合問(wèn)題

例：如圖，橢圓 + =1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F2的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且PQ⊥PF1，（1）若|PF1|=2+ ，|PF2|=2- ，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若|PQ|=λ|PF1|，且 ≤λ< ，試確定橢圓離心率e的取值范圍。

評(píng)析：可根據(jù)橢圓定義，利用數(shù)形結(jié)合找到各線段長(zhǎng)度的表達(dá)式，再用構(gòu)建函數(shù)法，抓住變量λ構(gòu)建以待求量e為因變量的函數(shù)，再根據(jù)變量范圍求其值域。過(guò)程涉及整體代換、轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值的數(shù)學(xué)思想。

本課研究圓錐曲線的綜合問(wèn)題只涉及探索性和最值兩大問(wèn)題，這些試題解答往往要綜合應(yīng)用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等多種思想方法，對(duì)計(jì)算能力也有較高要求，難度較大，要求學(xué)生仔細(xì)回顧本課的學(xué)習(xí)內(nèi)容并進(jìn)行自我評(píng)價(jià)。

二、高中數(shù)學(xué)解題課中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的策略

1. 活動(dòng)積累策略

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是構(gòu)成數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基本元素，指的是對(duì)具體數(shù)學(xué)理論或數(shù)學(xué)技能的應(yīng)用背景和條件的概括，如本課用到的換元法，學(xué)生掌握了換元法這類(lèi)技能，而在什么條件下應(yīng)用技能更為有效，則是一種活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累。另外，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)也包括對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)中一般活動(dòng)方式、方法的概括，例如本課解決存在性問(wèn)題的步驟也是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的核心始終還是數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)解題課上，常常倡導(dǎo)“做一題會(huì)一類(lèi)”，實(shí)質(zhì)上被高度關(guān)注的就是各類(lèi)問(wèn)題的內(nèi)涵與外在相結(jié)合應(yīng)用，各種數(shù)學(xué)思想方法的積累和升華。數(shù)學(xué)思想方法具有隱喻性，很多都是高度抽象、觀念性的，潛在于解決問(wèn)題的脈絡(luò)內(nèi)，解題課上，教師精心設(shè)計(jì)課堂活動(dòng)方案，讓學(xué)生充分經(jīng)歷分析、判斷、探索、表述、回顧等階段，教師必須結(jié)合練習(xí)目標(biāo)使學(xué)生在反復(fù)實(shí)踐訓(xùn)練中應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法，感悟問(wèn)題解決過(guò)程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，逐漸實(shí)現(xiàn)個(gè)性化理解升華為應(yīng)用自如。但是，過(guò)分強(qiáng)調(diào)問(wèn)題的歸類(lèi)對(duì)于提高學(xué)生的解題能力是很不利的，因而我們應(yīng)該更加注意教學(xué)活動(dòng)的設(shè)置，將數(shù)學(xué)思想方法有效滲透在問(wèn)題解決的環(huán)節(jié)中，努力幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思維方法。

2. 系統(tǒng)提能策略

高中數(shù)學(xué)解題課的主要任務(wù)是幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決某一類(lèi)型的高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的綜合能力，根據(jù)心理學(xué)中問(wèn)題解決的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，解決此主要任務(wù)最重要的是給學(xué)生創(chuàng)造問(wèn)題解決的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生經(jīng)歷綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)與技能分析和解決問(wèn)題的過(guò)程，從而形成解決問(wèn)題的一般方法，及后學(xué)會(huì)運(yùn)用新習(xí)得的規(guī)則解決相似類(lèi)型問(wèn)題。但在實(shí)際的解決問(wèn)題過(guò)程中，由于學(xué)生掌握的知識(shí)內(nèi)容深淺程度不同，在解題過(guò)程中就會(huì)產(chǎn)生解題的清醒與盲目、簡(jiǎn)潔與復(fù)雜的差別，原因就是他們對(duì)數(shù)學(xué)思想方法有理解深淺上的差異和溝通寬窄上不同所致，要縮小這些差距，教師在數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)與明確知識(shí)的教學(xué)一樣，要形成具有一定結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，才能使學(xué)生更好地理解與掌握，更好地發(fā)揮其整體提升功能。

本課多次涉及的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸思想，指的是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得到解決的一種方法。簡(jiǎn)言之就是將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將未解決的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題。教師在課堂環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)中，不斷實(shí)施轉(zhuǎn)化的實(shí)踐與探索，在引導(dǎo)解決問(wèn)題的過(guò)程中，帶領(lǐng)學(xué)生把碎片化印象梳理妥當(dāng)，形成一類(lèi)思想的系統(tǒng)化認(rèn)識(shí)，這對(duì)于學(xué)生自如應(yīng)用此類(lèi)數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題有重大意義。

3. 過(guò)程性變式策略

在數(shù)學(xué)解題課上，進(jìn)行過(guò)程性變式教學(xué)有利于學(xué)生有層次推進(jìn)數(shù)學(xué)研究，建立知識(shí)的合理聯(lián)系。在問(wèn)題解決過(guò)程中，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的多層次的變式，幫助學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的演變與發(fā)展，懂得運(yùn)用它們，有效突破難點(diǎn)。本文案例的環(huán)節(jié)二設(shè)計(jì)通過(guò)變式的探究，完善解決存在性問(wèn)題的步驟，學(xué)生在經(jīng)歷化繁為簡(jiǎn)的運(yùn)算過(guò)程后進(jìn)一步體會(huì)解決問(wèn)題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提升，學(xué)生在探究的過(guò)程中不斷積累方法、實(shí)踐方法，最終在解決問(wèn)題的體驗(yàn)中提升信心。

4. 講練滲透策略

解題課上講練滲透最為常見(jiàn)，教師通過(guò)“精講”“講在關(guān)鍵處”呈現(xiàn)重要的數(shù)學(xué)思想方法，只有反復(fù)、明確地將數(shù)學(xué)思想方法呈現(xiàn)在講練結(jié)合的過(guò)程中，才能使學(xué)生既懂得各種數(shù)學(xué)思想方法的名詞表述與意思，又感悟到其使用路徑，使之成為學(xué)生思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的思維引領(lǐng)。數(shù)學(xué)解題課上，教師心懷主線，掌握講練適度和關(guān)鍵處點(diǎn)評(píng)是數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的重要策略。

高中數(shù)學(xué)解題課主要目標(biāo)是提升學(xué)生解決問(wèn)題能力，用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)解決問(wèn)題就是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想審視數(shù)學(xué)問(wèn)題，揭示題目題設(shè)內(nèi)容與求解方法所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，自覺(jué)從數(shù)學(xué)思想方法的高度去理解題意和尋找思路、去優(yōu)化過(guò)程和延續(xù)解題成果。教師需在將數(shù)學(xué)思想方法合理地內(nèi)化在解題活動(dòng)過(guò)程的同時(shí)幫助學(xué)生樹(shù)立正確的數(shù)學(xué)觀，促使數(shù)學(xué)方法的普及、形成，提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)。

責(zé)任編輯 羅 峰