福建省惠安第三中學(362100) 江志杰 莊銀泉

《關(guān)于普通高中數(shù)學課程標準修訂》的專題報告,提出中國學生在數(shù)學學習中應(yīng)培養(yǎng)好數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng).其中直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用圖形理解和解決數(shù)學問題的過程.主要包括:借助空間認識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學問題;建立數(shù)與形的聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學問題的直觀模型,探索解決問題的思路.另外,直觀想象也是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題、分析和解決數(shù)學問題的重要手段,是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).因此,在直觀想象核心素養(yǎng)的形成過程中,學生能夠進一步發(fā)展幾何直觀和空間想象能力,增強運用圖形和空間想象思考問題的意識,提升數(shù)形結(jié)合的能力,感悟事物的本質(zhì),培養(yǎng)創(chuàng)新思維.如何落實以知識為載體、以素養(yǎng)為目標的學科教學呢?下面筆者根據(jù)中學階段圓的若干定義,談?wù)勅绾螛?gòu)造圓的軌跡直觀簡捷地化解相關(guān)數(shù)學問題,并且在分析和解決問題中體驗直觀想象核心素養(yǎng)的形成及其意義!

一、從原始定義構(gòu)造圓

中學階段圓的最基本定義:平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓,其中定點和定長分別為該圓的圓心和半徑.據(jù)此,我們經(jīng)常借助“距離”模型來形象看待有關(guān)含向量(或復數(shù))模的方程,進而構(gòu)成圓的軌跡雛形.比如復數(shù)z滿足|z|=1,則復數(shù)z對應(yīng)的點落在單位圓上;又如向量滿足則向量的長度為2,當其中點B的位置固定時,點A落在以點B為圓心、半徑為2的圓上…….我們平時就要有這樣數(shù)形結(jié)合、動靜相輔的眼光以及直觀想象的素養(yǎng),來觀察、理解、分析各類不同方式表達的數(shù)學問題,增強直觀轉(zhuǎn)化、形象化解的能力!

另外還有EW向和近SN向斷裂組：為區(qū)內(nèi)早期斷裂，規(guī)模小，數(shù)量少，個別地段密集出現(xiàn)，被后期斷裂組所切穿。

例1 已知a,b是單位向量,a·b=0,若向量c滿足|c?a?b|=1,則|c|的取值范圍是____.

解析本題|c?a?b|=1即|c?(a+b)|=1,可理解為動向量c的終點P與定向量a+b的終點M的距離為1(兩向量的起點均為原點O),由單位正方形模型易得不妨將向量a+b的終點M固定在點則點P在以點M為圓心、半徑為1的圓上運動,易得從而使得本題在直觀形象的模型中輕易地化解,具備直觀想象這一核心素養(yǎng)其實就是我們構(gòu)建合理數(shù)學模型的思維基礎(chǔ)!

例2 直線l:y=kx+4?3k(k∈R)與函數(shù)的圖像交于A,B兩點,點P(x,y)是坐標平面上的點,滿足則x2+y2的取值范圍是____.

解析由于函數(shù)表示對稱中心為O′(3,4)的雙曲線,直線l:y=kx+4?3k(k∈R)即y?4=k(x?3)恰好恒過點O′(3,4),故A,B兩點關(guān)于點O′對稱,從而可化為說明點P在以點O′為圓心、半徑為1的圓上運動,所以本題關(guān)鍵點O′(3,4)是一大核心樞紐,使得直線方程、雙曲線解析式、向量模的關(guān)系式三者之間一脈相承,最終由圓的定義匯聚于圓這一常見模型!可見發(fā)揮直觀想象這一核心素養(yǎng),要求我們善于通過數(shù)學運算、變形變式、直覺猜想、數(shù)學抽象等過程,從數(shù)學問題中挖掘、捕捉有用的數(shù)學信息,才能將抽象費解的數(shù)學問題置換于形象直觀的幾何背景下解決!

例3 (2018年寧德市高三質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)=|x2?2x?1|,若a＞b≥1,f(a)=f(b),則對任意的實數(shù)c,(a?c)2+(b+c)2的最小值為___.

圖1

解析本題目標“(a?c)2+(b+c)2”給我們最直觀的印象–表示點(a,b)與點(c,?c)之間距離的平方,注意到實數(shù)c的任意性,進而理解為動點(a,b)到定直線y=?x的距離平方,這是順利解決本題的首要具備的基本素養(yǎng)所在!結(jié)合函數(shù)f(x)的圖像,由a＞b≥ 1,f(a)=f(b)化簡得a2?2a?1=?(b2?2b?1),整理配方得到:(a?1)2+(b?1)2=4(其中其表示點(a,b)位于圓心為(1,1)、半徑為2的一段圓弧上—這又是成功解決本題的一大關(guān)鍵模型!如圖易得點(3,1)到直線y=?x的距離最小,當然在本題解法中,圓的模型畢竟較為隱蔽深邃,可見直觀想象的素養(yǎng)形成有利于我們借助幾何圖形的形象關(guān)系去描述相對復雜、抽象的問題,也就是將研究問題圖形化,促進對數(shù)量關(guān)系的直觀感知和宏觀把握!

二、從垂直關(guān)系構(gòu)造圓

值得一提的是上述基本定義并非構(gòu)成圓的唯一方式,還有如下的常見表達:

平面內(nèi)對兩個定點的張角為直角的點的軌跡是以這兩個定點連線為直徑端點的圓(不含這兩個定點).注意該定義又有以下的等價變式:

平面內(nèi),若動點P與兩個定點A,B連線的斜率之積為?1,則動點P的軌跡是以AB為直徑的圓(不含定點A,B和斜率為零時的點);

平面內(nèi),若動點P與兩個定點A,B滿足則動點P的軌跡是以AB為直徑的圓;

取100 μL鏈霉親和素修飾的微球(直徑為15.4 μm)于0.5 mL的滅菌離心管中,用100 μL的親和洗脫液(pH 7.5,20 mmol/L Tris-HCl,1 M NaCl,1 mmol/L EDTA,0.0005% Triton X-100)洗滌兩次,3 500 r/min離心分離后去上層清液。向微球中加入47 μL的親和洗脫液以及3 μL的Hg2+捕獲探針(10μM),混合均勻并37 ℃搖床孵育1 h。通過離心洗滌除去未結(jié)合的探針,加入100 μL親和洗脫液于4 ℃下保存?zhèn)溆谩?/p>

例8 已知等腰三角形腰上的中線長為2,則該三角形的面積最大值是___.

上述從垂直關(guān)系構(gòu)造圓的軌跡,還可以進行一般化的推廣和補充.我們知道圓具有這樣的性質(zhì):在圓內(nèi),同弧(或同弦)所對的圓周角相等.反之,平面內(nèi)對兩個定點的張角為定值的點落在以兩個定點連線為弦的一側(cè)圓弧上,于是即有:

解析本題入手首要在于從兩個含參的直線方程中發(fā)現(xiàn)l1⊥l2,意味著點M在以定點A(0,0),B(1,3)為直徑端點的圓上運動,而|MA|·|MB|的幾何意義表示Rt△MAB面積的2倍,因此借助幾何直觀有:|MA|·|MB|=|AB|·dM?AB≤ 2r2=5.這就說明垂直關(guān)系往往蘊含著圓的模型,其就是我們構(gòu)造圓解題的重要依據(jù)!

例5 已知兩點A(?m,0)和B(m+2,0)(m＞0),若在直線l:上存在點P,使得PA⊥PB,則實數(shù)m的取值范圍是()

變式在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且則△ABC面積的最大值是____.(答案:2)

解析若能注意到點P落在以AB為直徑的圓(x?1)2+y2=(m+1)2上,則問題轉(zhuǎn)為直線l:與該圓存在公共點,由得m≥3.故選C.可見構(gòu)造圓這一經(jīng)典模型有助于化解問題的抽象性、提升數(shù)形結(jié)合的直觀性.類似地,本題還有如下變式:

變式已知圓C:(x?3)2+(y?4)2=1和兩點A(?m,0),B(m,0)(m＞0),若圓上存在點P,使得∠APB=90°,則m的取值范圍是____.(答案:[4,6])

三、從性質(zhì)定理構(gòu)造圓

摘 要：高中有一種教育方法是陶冶教育法?！疤找薄钡母拍顬槎铀岢?，陶冶教育法從此正式形成。什么是陶冶教育法？陶冶教育法即是對學生進行潛移默化教育的方式，教育內(nèi)容與學生的社會經(jīng)驗、在學校的生活和其家庭生活有密切聯(lián)系，與學生的綜合素質(zhì)也緊密結(jié)合。

在耳鼻喉科中,較為常見的一種急診是食管異物,如果處理不及時,將會引發(fā)多種并發(fā)癥,甚至對患者的生命安全造成嚴重威脅。在以往的檢查過程中,通常采用電子胃鏡、胸片、碘水造影或者食管吞鋇[1]。在科學技術(shù)飛速發(fā)展的背景下,胸部CT三維重建技術(shù)得到廣泛使用,其可以從客觀方面判斷食管并發(fā)癥[2]。本次研究主要針對食管異物患者采用胸部CT三維重建與食管吞鋇診治效果進行分析,現(xiàn)將探究內(nèi)容以如下報告形式呈現(xiàn)。

綜上所述，在心肌梗死致心力衰竭急救過程中進行舒適護理有利于患者心功能的恢復，改善患者的心力衰竭程度，提高患者的滿意度。

這實際上告訴我們可以此逆用圓的性質(zhì)定理來構(gòu)造圓的模型,并用之輔助解題!

夏季外界炎熱潮濕，很容易導致牛出現(xiàn)熱應(yīng)激，養(yǎng)殖戶應(yīng)該高度重視夏季牛熱應(yīng)激防護，采取綜合防控措施，有效降低牛體表溫度，控制養(yǎng)殖環(huán)境，降低不良因素對牛身體造成的刺激，提高養(yǎng)殖效益。

例6 如圖2在△ABC中,∠ACB=60°,點D在AB的延長線上,則CD長的最小值為___.

圖2

圖3

解析本題中抓住∠ACB=60°和的不變性,視頂點C在△ABC的外接圓O(半徑為2)上運動,求得圓心O到邊AB的距離為1,故從而有

例7 設(shè)向量a,b,c滿足:〈a?c,b?c〉=60°,則|c|的最大值等于()

本文在建立房價模型時，假設(shè)住房的基本面可以由一系列經(jīng)濟社會變量構(gòu)成，且每個城市在每個時期都對應(yīng)一個反映這些經(jīng)濟社會變量的住房基本面價格。參考李永友(2014)[12]的模型設(shè)定，結(jié)合長三角地區(qū)的實際情況，選擇人均可支配收入(hp)、年末貸款余額占GDP比重(loan)、人口規(guī)模(pop)、住房建設(shè)成本(cost)、城鎮(zhèn)化率(urban)、土地價格(lp)和城市綠化覆蓋率(green)作為基本面價格解釋變量。每個城市在每個時期的住房基本面價格可通過估算模型的擬合值得出，其與同期實際房價的差值即為房價偏離。

圖4

解析本題良好的解題素養(yǎng)體現(xiàn)于將相關(guān)的向量元素巧妙地整合在同一個圓的模型中:如圖4,設(shè)則故頂點C、O在△ABC的外接圓上(其中外接圓的半徑R=1.從而本題表面上雖為平面向量背景,但借助數(shù)學直觀想象,便可發(fā)現(xiàn)其與上述例6有著異曲同工之妙!

2.親蝦越冬及培育 親蝦暫養(yǎng)于土池中，搭建加溫大棚越冬，通過環(huán)保鍋爐加熱，期間水溫保持15～18℃。至3月上旬，親蝦移入加溫苗池進行產(chǎn)卵培育，逐漸升高水溫至26～28℃，促進親蝦性腺進一步成熟。加強親蝦營養(yǎng)直接關(guān)系到卵和幼體質(zhì)量。日常投喂羅氏沼蝦專用配合飼料外，同時搭配投喂切碎的胡蘿卜、南瓜等新鮮蔬菜和冰鮮魚塊，確保營養(yǎng)豐富、全面。日投喂量一般在4%～5%左右，投喂新鮮飼料時適當增加投喂量，越冬期間視情況適量投喂。培育期間保持環(huán)境安靜，水質(zhì)清新，溶氧豐富，必要時換水。池內(nèi)放置PVC管和網(wǎng)衣作為隱蔽物，減少殘殺。

綜上所述，長株潭創(chuàng)客空間仍處于自發(fā)發(fā)展階段，優(yōu)化布局和資源共享的局面遠未形成，一方面，創(chuàng)客空間與本地重點產(chǎn)業(yè)對接不足，主業(yè)特色欠缺，未能有效發(fā)揮支撐地方產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級的創(chuàng)新驅(qū)動作用；另一方面，三座城市創(chuàng)新資源分布不僅不平衡，而且不平衡狀況在加大，增加了劣勢城市創(chuàng)客空間取得和使用創(chuàng)新資源的交易成本。上述局面從根本上導致了同質(zhì)化競爭、資源使用低效、服務(wù)地方經(jīng)濟能力不強等突出問題。

四、從定比關(guān)系構(gòu)造圓

平面內(nèi),若動點P到兩個定點A,B距離之比為常數(shù)λ(λ?=1),則動點P的軌跡是一個圓.而且這是以定比λ內(nèi)分和外分線段AB的兩個分點的連線為直徑的圓,這種軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的,因此這種圓也稱為阿波羅尼斯圓,簡稱阿氏圓;有關(guān)阿氏圓的定義應(yīng)用一直層出無窮、經(jīng)久不衰!

根據(jù)視覺航標維護質(zhì)量的總體要求，燈質(zhì)正常就要求我們航標管理人員時刻保持燈器的正常發(fā)光，即便在惡劣天氣的情況下出現(xiàn)異常情況就要緊急處理，確保視覺航標的正常工作，增加了航標巡檢維護工作的危險性。

例4 已知m∈R,若點M為直線l1:my=?x和l2:mx=y+m?3的交點,l1和l2分別過定點A和B,則|MA|·|MB|的最大值為____.

圖5

解析如圖5在等腰△ABC中,設(shè)點D為腰AC的中點,注意到AB=AC=2AD,且中線BD=2.不妨暫時固定D,B兩點,且以點D為原點,直線BD為x軸,則由|AB|=2|AD|可求得動點A的軌跡方程為:即點A在以為圓心、半徑為的圓上運動,顯然當點A到直線BD的最大距離為時,

本題之所以如此建系設(shè)點,緣于由|AB|=2|AD|發(fā)現(xiàn)點A在某一定圓上運動,說明通過兩線段的定比關(guān)系是我們構(gòu)造圓的又一重要來源,也是形成直觀想象素養(yǎng)的知識基礎(chǔ)!

A.(0,3) B.(0,4) C.[3,+∞) D.[4,+∞)

平面內(nèi),若動點P和兩個定點A,B滿足∠APB=則動點P的軌跡是弦AB一側(cè)的圓弧(不含這兩個定點);

解析首先由注意到動點C在以定比內(nèi)分和外分線段AB的兩個分點的連線為直徑的圓上運動,以此求得AB邊上高的最大值為無疑比用正、余弦定理入手解三角形更為直截了當、更為直觀形象,問題本質(zhì)更為鮮明清晰!

例9 在三棱錐P?ABC中,AB⊥BC,AB= 6,為AC的中點,過C作BO的垂線,交BO,AB分別于R,D.若∠DPR= ∠CPR,則三棱錐P?ABC體積的最大值為____.

圖6

解析憑借感官直覺,要求三棱錐P?ABC體積的最大值,關(guān)鍵求點P到平面ABC的最大距離d,這就要求平面PCD⊥平面PBC,且點P到直線CD的距離最大.在含30°的Rt△ABC中,易得CR=3,DR=1.在△PCD中,由PR平分∠DPC得到:根據(jù)阿氏圓的定義說明:點P在以定比3內(nèi)分和外分線段CD的兩個分點R,R′(RR′=3)的連線為直徑的圓上運動,故于是有:

近年，材料價格波動較大，為避免由此造成承包人管理費、利潤等的“水漲船高”，帶動工程造價的“虛漲”，在概（估）算中對主要材料進行限價計費有一定的必要性和合理性。但對由此產(chǎn)生的價差處理方式，國家或行業(yè)主管部門未作統(tǒng)一規(guī)定，造成計價不一。有的?。ㄊ校┮?guī)定列入工程單價稅金之前，有的審查部門則要求列入獨立費用。

點評本例充分體現(xiàn):只有在充分熟知圓的各種定義、具備一定直觀想象核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)上,方能在動態(tài)變幻的幾何體發(fā)現(xiàn)或感受圓的軌跡存在.

例10 已知點P在邊長為2的等邊三角形ABC的內(nèi)切圓上運動,則AP+2PB的最小值是____.

圖7

解析根據(jù)阿氏圓定義,等邊三角形ABC的內(nèi)切圓可看作是到某兩個定點距離之比為定值的點的軌跡.為此我們猜想存在某一定點E,使得目標式AP+2PB中AP=2PE,從而轉(zhuǎn)為求2(PE+PB)的最小值.注意到中線AD的端點D恰在該內(nèi)切圓上,猜想定點E應(yīng)位于中線AD的中點,并且內(nèi)切圓與中線AD的另一交點F點恰也滿足AF=2EF,印證了△ABC的內(nèi)切圓可看作是到兩個定點A、E距離之比為2的點的軌跡,2(PE+PB)|min=2BE.

在△ABE中,

故AP+2PB的最小值為

點評本例逆用阿氏圓定義,將已知圓視作到某兩定點距離之比為定值的點的軌跡,從而使將目標式AP+2PB巧妙轉(zhuǎn)化,直觀求解!

結(jié)束語筆者以為:數(shù)學定義是數(shù)學學習的起點,是數(shù)學解題的基礎(chǔ)和推理的依據(jù),也是發(fā)揮直觀想象、形成學科素養(yǎng)的知識載體.由上可知,圓的定義豐富多樣,圓的軌跡形成方式多樣善變!只有牢固緊扣圓的各種定義,方能尋找或捕捉隱藏在數(shù)學問題中有關(guān)圓的軌跡,并利用之來化解問題.譬如某些數(shù)學問題用常規(guī)方法難以奏效或求解難度大,但若能針對問題的本質(zhì)特征,恰當?shù)貥?gòu)造圓的模型直觀輔助分析,巧妙地運用圓的有關(guān)知識找到解題捷徑,往往可以化抽象為直觀、化繁雜為簡捷.因此,我們學習數(shù)學定義不但要認識定義的來源及意義,理解定義的性質(zhì)及相互關(guān)系,而且要在運用定義解決問題過程中追求數(shù)學核心素養(yǎng)的提升.