李奕琳

（廣東省汕頭市第一中學，廣東 汕頭）

導數(shù)是微積分的基礎概念，當一個函數(shù)存在導數(shù)時，稱這個函數(shù)可以求導或者可以微分.學生對于導數(shù)的熟練使用可以有效解決函數(shù)類有關(guān)習題，特別是包含解曲線方程式一類的習題，導數(shù)的應用會起到明顯作用.因此學生如果將導數(shù)的知識點熟練掌握，對于解答高中后期的習題將起到事半功倍的效果.

一、應用導數(shù)解決切線問題

近年來，導數(shù)的幾何意義經(jīng)常與解析幾何聯(lián)系起來，考察學生的綜合能力，經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題及大題第一問上.導數(shù)的幾何意義即函數(shù)y=f（x）在某一點M（x0，y0）一處的導數(shù)f′（x0），就是過這一點M的切線的斜率，導數(shù)的幾何意義經(jīng)常體現(xiàn)在求切線的斜率問題上.函數(shù)在數(shù)學試卷中占比相對較大，利用導數(shù)解決相關(guān)問題，可以使習題簡化，容易得出答案.

二、應用導數(shù)解決函數(shù)性質(zhì)問題

高中函數(shù)經(jīng)常需要研究函數(shù)性質(zhì)，其中包括函數(shù)的定義域、單調(diào)性、最值、奇偶性等等.畫圖像也是解決函數(shù)問題最直觀的方法，但是隨著高中函數(shù)學習的逐漸深入，很多復雜函數(shù)的圖像不能很容易地被畫出來，這個時候畫圖象的方法就不適用了.當導數(shù)引入進函數(shù)解題中，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值等可以被簡單的計算出來.導數(shù)被廣泛應用與函數(shù)習題中，應用導數(shù)可以很快速地求得函數(shù)的極大值與極小值，可以畫出一個函數(shù)圖象，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，學習這些知識時學生需要掌握的基礎知識，也是考試的重點內(nèi)容.

例如：已知函數(shù)f（x）=6x2+8x+4，求單調(diào)區(qū)間以及最小值.這道題是最基礎的求函數(shù)極值和單調(diào)區(qū)間的問題，利用導數(shù)解題如下：

解：可得f′（x）=12x+8，

在這道題中可以看出來，利用導數(shù)解決這類問題可以更加方便的得出答案，如果使用其他方法，這道題的解題步驟就會變得復雜繁瑣，容易出錯，還不能很好地看出單調(diào)性.利用導數(shù)解這種類型的問題有比較明顯的解題步驟，首先求出這個函數(shù)的導數(shù)，使這個導數(shù)等于零，求得函數(shù)的極值.然后令導數(shù)小于零，得出函數(shù)遞減區(qū)間，令導數(shù)大于零，得到函數(shù)遞增區(qū)間[1].

三、應用導數(shù)解決不等式問題

在不等式類習題中，同樣需要應用到函數(shù)特性，利用導數(shù)可以得出函數(shù)的性質(zhì)，從而解答不等式問題.更多的時候需要構(gòu)造一個函數(shù)，引入導數(shù)方法，借助函數(shù)特性，求得極值，從而解決不等式問題.

設F（x）=g（x）-f（x），x∈（1，+∞）

因x∈（1，+∞），得F′（x）＞0

而f（1）＜g（1），

所以在此區(qū)間上F（x）單調(diào)遞增，所以f（x）＜g（x）.

這道題是函數(shù)的證明題，使用導數(shù)解答能夠?qū)⒉蝗菀鬃C明的不等式習題變得簡單易懂，能夠有效地解決不等式問題.傳統(tǒng)的不等式問題需要運用到分析法、綜合法、比較法等多種手法，這些手法遠不如使用導數(shù)解答簡單方便.要想使用導數(shù)解答不等式，需要根據(jù)題目構(gòu)建函數(shù)，將不等式類證明題目轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值和單調(diào)區(qū)間的問題上去，將問題簡單化進行解答.

四、應用導數(shù)解決實際問題

當前，數(shù)學知識的應用價值被充分發(fā)掘，其中，導數(shù)知識不僅可以用于解決數(shù)學領域相關(guān)切線方程、不等式等問題，還能對一些實際應用問題進行有效解決，產(chǎn)生巨大的社會價值.運用導數(shù)探究利潤最大、效率最高、費用最省等問題，往往能夠獲得最佳的可行方案.

例如：某生產(chǎn)企業(yè)設計生產(chǎn)一個容器，容器為對稱結(jié)構(gòu)，中間為圓柱形、圓柱兩端分別為兩個半球形（圓柱的高為l，半球結(jié)構(gòu)的截面半徑為r，且l≥2r），要求容器的容積為（80/3）π立方米.不考慮容器厚度，該容器的生產(chǎn)費用僅與其表面積有關(guān)，已知容器圓柱部分的生產(chǎn)費用為3千元/平方米，而半球結(jié)構(gòu)的生產(chǎn)費用為 x 千元/平方米（x＞3）.求：該容器的生產(chǎn)費用 y最小時，r的值.

應用導數(shù)求解這一問題，首先要利用已知條件得出y與r的函數(shù)表達式，并確定該函數(shù)的定義域；對函數(shù)求導后，明確函數(shù)的變化規(guī)律，即在不同定義域的單調(diào)性，最終即可得到最佳設計方案[2].

綜上所述，探究導數(shù)在高中數(shù)學解題中的應用，對培養(yǎng)學生的解題能力具有重要意義.通過相關(guān)實例分析，能夠明確導數(shù)在各類題目當中的應用思路，從而便于學生掌握相關(guān)導數(shù)知識中蘊含的豐富的數(shù)學思想，幫助學生養(yǎng)成良好的解題習慣，綜合提升學生解決各類數(shù)學問題時的效率與正確率.