余永成

（重慶市墊江第三中學(xué)校，重慶）

函數(shù)思想是高中四大數(shù)學(xué)思想之一，函數(shù)的教學(xué)貫穿著整個(gè)高中數(shù)學(xué)，其中求函數(shù)的值域既是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，而對(duì)于這種類型的函數(shù)因?yàn)樗袃蓚€(gè)根號(hào)，且這類函數(shù)的值域求法比較靈活，涉及的知識(shí)點(diǎn)比較多，知識(shí)的跨度大，幾乎涵蓋了高中三個(gè)年級(jí)的知識(shí)，所以很多學(xué)生感到無(wú)從下手，甚至望而止步。

一、求導(dǎo)函數(shù)法

x 4 （4，17 4） 174（174，5） 5 y 3■↗2↘1

由其單調(diào)性可知，其值域?yàn)椋?，2］。

二、換元法

換元的目的是為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，換元時(shí)應(yīng)注意新元的取值范圍。

1.普通換元，轉(zhuǎn)化成橢圓方程，然后用線性規(guī)劃求解

2.普通換元，轉(zhuǎn)化成橢圓方程，然后用橢圓的參數(shù)方程求值域

3.普通換元，轉(zhuǎn)化成圓的方程，然后用線性規(guī)劃求解

4.普通換元，轉(zhuǎn)化成圓的方程，然后用圓的參數(shù)方程求值域

5.三角換元，然后用輔助角公式求值域

用換元法求解此題的值域，換元方式比較靈活，且涉及橢圓方程、橢圓的參數(shù)方程、圓的方程、圓的參數(shù)方程、線性規(guī)劃、輔助角公式等眾多的知識(shí)點(diǎn)，知識(shí)的跨度也較大，對(duì)于拓寬學(xué)生的視野、發(fā)散學(xué)生的思維有很好的作用.

三、向量法

作為一種工具平面向量不僅在平面幾何、立體幾何中、解析幾何中有著廣泛的應(yīng)用，而且在代數(shù)運(yùn)算中也有一定的應(yīng)用。此題可以用向量的數(shù)量積求解。

四、構(gòu)造對(duì)偶式

又因?yàn)閥2+k2=4，所以k2=4-y2

由※得 0≤4-y2≤3 從而得 1≤y2≤4，又因?yàn)?y≥0，所以 y∈［1，2］.

構(gòu)造對(duì)偶式，屬于數(shù)學(xué)技巧，更多地依賴解題者的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累，此處構(gòu)造對(duì)偶式時(shí)，不僅要求兩個(gè)根式的系數(shù)要輪換，而且還要求由和式變成差式，技巧性較強(qiáng)，但見(jiàn)多就會(huì)識(shí)廣，以后遇到此類題就會(huì)信手拈來(lái)。

此例中，求導(dǎo)函數(shù)的方法是萬(wàn)能的方法，而換元法和向量法實(shí)際體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)的另一種重要的思想——等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，而除了求導(dǎo)方法以外，其他方法都要求學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)有牢固的掌握，有較強(qiáng)的基本功且能融會(huì)貫通的運(yùn)用，這一個(gè)例題將導(dǎo)數(shù)、橢圓、圓、線性規(guī)劃、參數(shù)方程、向量、動(dòng)點(diǎn)軌跡等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了有機(jī)結(jié)合，適合高三第二輪復(fù)習(xí)使用。