☉廣東省廣州市第六中學(xué) 璩 斌

一、高中數(shù)學(xué)中的構(gòu)造法

直接列舉出滿足條件的數(shù)學(xué)對象或反例，構(gòu)造結(jié)論的肯定和否定或間接構(gòu)造某種對應(yīng)關(guān)系，使問題根據(jù)需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化的方法稱之為構(gòu)造法.簡單的說，構(gòu)造法就是將題目中的條件與結(jié)論進(jìn)行數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)構(gòu)造，從而將未知量轉(zhuǎn)化為已知量的一種數(shù)學(xué)方法.應(yīng)用構(gòu)造法，必須要通過認(rèn)真的審題確定數(shù)學(xué)題目給出的條件和需要求得的結(jié)論，并且要分析出它們之間存在的相互關(guān)系或者是特點(diǎn)、性質(zhì)等基本內(nèi)容，然后利用直觀的圖形或者是通過數(shù)形結(jié)合的方式來解決數(shù)學(xué)問題.本文對高中數(shù)學(xué)構(gòu)造法教學(xué)進(jìn)行一些探究，以期提供一定的參考.

二、突破在高中數(shù)學(xué)構(gòu)造法解題中的教學(xué)難點(diǎn)

（一）立足函數(shù)問題模型的構(gòu)造法

構(gòu)造法在函數(shù)問題中的應(yīng)用，主要是通過一定的方式，設(shè)計(jì)并構(gòu)造一個(gè)與有待解答的問題相關(guān)的函數(shù)模型，并對其進(jìn)行觀察分析，借助函數(shù)本身性質(zhì)如單調(diào)性或利用運(yùn)算結(jié)果，解決原問題的方法，下面舉例說明如何在教學(xué)過程中構(gòu)造函數(shù)模型來解題.

例1 已知-1＜a＜1，-1＜b＜1，-1＜c＜1，求證：ab+bc+ca+1＞0.

分析：此題有三個(gè)可以輪換的變量，可以構(gòu)造以一個(gè)變量為主元的一次函數(shù)，利用其值域來解決問題.

證明：構(gòu)造一次型函數(shù)f（a）=a（b+c）+bc+1，對應(yīng)一條直線.

因?yàn)閒（1）=b+c+bc+1=（b+1）（c+1）＞0且f（-1）=-b-c+bc+1=（b-1）（c-1）＞0，所以當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，f（a）＞0，故ab+bc+ca+1＞0.

例2 已知x，y，z∈R，求證x2+4y2+9z2≥4xy+6zx-12yz.

分析：此題變量較多，并且各項(xiàng)都是二次的，難以突破，但如果尋找一個(gè)主元，并以其為自變量構(gòu)造一個(gè)二次函數(shù)模型，情況就簡單了.

證明：要證明原不等式，只要證明x2-（4y+6z）x+4y2+9z2+12yz≥0.

不妨以x為主元構(gòu)造二次函數(shù)f（x）=x2-（4y+6z）x+4y2+9z2+12yz，此函數(shù)開口向上，其判別式Δ=（4y+6z）2-4（4y2+9z2+12yz）=0，故由其圖像可知，f（x）≥0，即x2-（4y+6z）x+4y2+9z2+12yx≥0成立.

例3 已知a，b，c為實(shí)數(shù)，且a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，abc＞0，求證：a＞0，b＞0，c＞0.

分析：此題若進(jìn)行常規(guī)的分類討論則比較麻煩，而若把a(bǔ)，b，c當(dāng)成根，其結(jié)構(gòu)為三次方的韋達(dá)定理，所以可以構(gòu)造三次函數(shù)來解題.

證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x-a）（x-b）（x-c），則f（x）=0有三個(gè)根a，b，c.

又f（x）=x3-（a+b+c）x2+（ab+bc+ca）x-abc，

若x≤0，則f（x）＜0，這說明f（x）=0不可能有小于或等于0的根，故a，b，c均大于0.

例4 已知（3x+y）2017+x2017+4x+y=0，求4x+y的值.

分析：本題有兩個(gè)變量且是高次（奇次）函數(shù)，所以可構(gòu)造一個(gè)2017次奇函數(shù).

解：構(gòu)造函數(shù)f（x）=x2017+x，因?yàn)閒′（x）=2017x2016+1＞0，且f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函數(shù)且單調(diào)遞增.

又因?yàn)椋?x+y）2017+x2017+4x+y=0?（3x+y）2017+（3x+y）=-x2017-x，所以f（3x+y）=f（-x）.

因?yàn)閒（x）是單調(diào)函數(shù)，所以4x+y=0.

讓學(xué)生在掌握基本方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行函數(shù)構(gòu)造，提高解題效率.首先，我們要對題目的已知條件進(jìn)行分析，學(xué)生應(yīng)當(dāng)熟練地掌握構(gòu)造法在這類題目中的應(yīng)用，在考場上才能夠快速、準(zhǔn)確地解決問題.

（二）立足方程問題模型的構(gòu)造法

方程是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考、競賽中必然會(huì)涉及的考點(diǎn)，函數(shù)與方程之間有著十分密切的聯(lián)系，因此構(gòu)造法在方程問題的解決過程中有著天然的優(yōu)勢.一般情況下，在涉及方程知識(shí)的題目中會(huì)將數(shù)量關(guān)系、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特性等作為已知量，構(gòu)造法在其中所起到的作用就是利用方程假設(shè)的思想，結(jié)合已知條件構(gòu)造等量方程式，通過方程的等量關(guān)系、恒等變形等來解決問題.

將構(gòu)造法與方程結(jié)合得到的構(gòu)造方程能夠在代數(shù)結(jié)論證明、平面幾何問題、解析幾何問題、數(shù)列問題等得到廣泛的應(yīng)用.在實(shí)際教學(xué)過程中，教師要將這種解題思想進(jìn)行不斷的滲透、反復(fù)的練習(xí)，讓學(xué)生熟練地掌握構(gòu)造方程方法的應(yīng)用.

（三）立足幾何問題模型的構(gòu)造法

利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的解題是高中數(shù)學(xué)的重要解題方式，圖形能夠?qū)?fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行具體的表現(xiàn)，讓數(shù)學(xué)問題更加直觀地展現(xiàn)在我們面前.構(gòu)造法與圖形解題的相互結(jié)合能夠促使問題解答更加簡化，這要求學(xué)生對圖形的基本結(jié)構(gòu)和性質(zhì)非常了解.下面以幾種常見圖形進(jìn)行構(gòu)造舉例如下：

1.構(gòu)造點(diǎn)到直線的距離

圖1

解：如圖1，在直線2x+y=1上的線段AB內(nèi)找點(diǎn)P（x，y）到y(tǒng)軸和原點(diǎn)的距離之和的最小值，另求原點(diǎn)O（0，0）關(guān)AB于P，交y軸于D點(diǎn)，由對稱性可知，x+的最小值

2.構(gòu)造三角形

圖2

分析：本題若按常規(guī)方法去證明這個(gè)二元二次的根式不等式則非常麻煩，可以運(yùn)用余弦定理構(gòu)造三角形來證.

3.構(gòu)造長方體

例8 已知四面體A-BCD中三組對棱分別相等，且長為2，，，求四面體A-BCD的外接球的半徑.

圖3

分析：由四面體A-BCD中三組對棱分別相等，而矩形的兩條對角線是相等的，所以可構(gòu)造長方體.

分析：本題單純從數(shù)的角度考慮，不易找到解題的切入點(diǎn).長方體的體對角線與過同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所成角的余弦的平方和是常數(shù)，根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造長方體，探求思路，可以證明結(jié)果.

圖4

4.構(gòu)造圓錐曲線

例10 （構(gòu)造圓）如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，在y軸的正

半軸上（除原點(diǎn)外），給定兩點(diǎn)A、B.試在x軸上求點(diǎn)C，使∠ACB取得最大值.

分析：因A、B是定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)，利用線線夾角公式，但是運(yùn)算繁雜.經(jīng)過A、B作圓切x軸于點(diǎn)C.則∠ACB取得最大值，因圓角大于任一圓外角（即∠ACB＞∠ADB），設(shè)A（0，a），B（0，b），由切割線定理知，

圖5

例11（構(gòu)造雙曲線）已知△ABC，AM為BC邊上的中線（點(diǎn)M在BC邊上）且滿足AM=AB-AC，BC=4，求△ABC面積的最大值.

分析：將等式的兩邊分解為兩個(gè)軌跡的公共點(diǎn)，構(gòu)造雙曲線，利用雙曲線的定義和方程簡化運(yùn)算.

圖6

解：如圖6，設(shè)AM=2a，則A點(diǎn)是以B，C為焦點(diǎn)的雙曲線圓x2+y2=4a2的交點(diǎn)（其中進(jìn)而等號(hào)成立.

例12 （構(gòu)造橢圓）在△ABC中，AB+AC＞2BC，求證：∠B-∠C＞2∠A.

分析：把AB+AC=2BC看成是以E，C為焦點(diǎn)的橢圓，則AB+AC＞2BC表示的點(diǎn)在橢圓外，可構(gòu)造橢圓來解決.

證明：如圖7，以B，C為焦點(diǎn)，2BC為長軸長構(gòu)造橢圓，由△ABC的頂點(diǎn)A在橢圓外部，因此∠A＜∠BA1C≤

圖?

圖?

所以本題就構(gòu)造成y=x2的點(diǎn)到A（3，2），B（0，1）的距離之差的最大值問題，如圖8，顯然可得|PA|-|PB|≤|AB|=

三、思考與建議

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)涉及多個(gè)方面的知識(shí)，這些知識(shí)聯(lián)系密切，因此學(xué)生會(huì)遇到類型多樣、靈活多變的題目，但是數(shù)學(xué)解題的方法和思路是相對固定的，其中構(gòu)造法的應(yīng)用不僅能夠提高解題效率，而且還能夠有效地鍛煉思維.構(gòu)造模型處理不僅減少了計(jì)算量而且為這類問題找到了幾何解釋使得對這類問題的認(rèn)識(shí)更深入、更全面，可見構(gòu)造法解題重在“構(gòu)造”，這促使我們要熟悉幾何、代數(shù)、三角基礎(chǔ)知識(shí)的本質(zhì)的結(jié)構(gòu)特征，并能加以靈活運(yùn)用，除本文分析的構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造方程和構(gòu)造圖形之外，構(gòu)造法在向量、立體幾何、三角函數(shù)等方面的解題中也能發(fā)揮重要作用，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行不斷的練習(xí)，熟練地掌握構(gòu)造法在不同類型題目解題過程中的應(yīng)用.