戚洪祥 張秀花

一、教學(xué)背景

生活背景：4月23日——世界讀書日，應(yīng)邀參加江蘇省師培中心舉辦的“藍天杯”優(yōu)課送培活動。在全民閱讀的時代要求下，各級各類學(xué)校都廣泛開展閱讀活動，而數(shù)學(xué)閱讀對于許多學(xué)校而言，仍是學(xué)校課外閱讀體系中的一個短板。在這樣的特殊時間點，選擇《神奇的數(shù)》作為載體，將課外閱讀與課堂教學(xué)進行有機融合，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀興趣。

知識背景：“142857”“495”這樣的數(shù)，是許多數(shù)學(xué)課外讀物的?？?。在蘇教版教材四年級下冊練習(xí)七的第11、12題，編者通過有限的篇幅讓學(xué)生初步認識了“142857”“495”這兩個數(shù)。本節(jié)課的教學(xué)，以課外讀物內(nèi)容為切入口，以乘法計算為知識基礎(chǔ)，借助計算器簡化計算便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，深入感受數(shù)學(xué)的神奇，讓規(guī)律教學(xué)體現(xiàn)其特有的育人價值。

二、教學(xué)內(nèi)容

《神奇的數(shù)》（自編內(nèi)容，適用于蘇教版四、五年級）

三、教學(xué)目標

1.學(xué)生能正確使用計算器進行乘法、加法的運算，在此過程中獨立觀察、深入探究、發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

2.使學(xué)生經(jīng)歷觀察比較、探究分析、歸納總結(jié)、質(zhì)疑反思等思維活動，初步形成探索數(shù)學(xué)規(guī)律、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的學(xué)習(xí)能力。

3.在獨立思考和合作交流中培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、概括、推理的數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和探索意識。

4.使學(xué)生在探索過程中，感受數(shù)學(xué)知識的奧秘和魅力，激發(fā)學(xué)生的閱讀興趣和求知欲。

四、教學(xué)準備

教師：多媒體課件、自主學(xué)習(xí)單、教具小紙條。

學(xué)生：計算器一只。

五、課前談話實錄

師：知道今天是什么日子嗎？

生：世界讀書日。

師：我們先來聊一聊關(guān)于讀書的事。你喜歡讀書嗎？說出一本你最喜歡讀的書？

生1：我最喜歡讀《狼王夢》。

生2：我最喜歡讀《水滸傳》。

…………

師：看來你們都是愛讀書的孩子。我們的數(shù)學(xué)也有許多適合閱讀的課外書，你們讀過嗎？

生1：我讀過《馬小跳玩數(shù)學(xué)》。

生2：我讀過《數(shù)學(xué)王國奇遇記》。

…………

師：原來你們讀過這么多的數(shù)學(xué)課外書呀！喜歡閱讀是一個好習(xí)慣，打開一本書，就是打開了一扇了解世界的窗子。

【設(shè)計意圖：從“世界讀書日”到“課外閱讀”，再到“數(shù)學(xué)課外閱讀”，從學(xué)生已有的生活背景出發(fā)，構(gòu)建了和諧的師生關(guān)系，為引入本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容打下鋪墊?！?/p>

六、課堂教學(xué)實錄

1.激趣導(dǎo)入，引發(fā)問題

師：課前我們聊到了課外書。今天的數(shù)學(xué)課就從一本書開始，這本書的名字叫《課本上學(xué)不到的數(shù)學(xué)》（出示PPT）。在這本書中有一個內(nèi)容叫“神奇的數(shù)”，今天這節(jié)課戚老師就和你們一起來研究，神奇的數(shù)。（板書課題：神奇的數(shù)） “神奇的數(shù)”中有一句話，我特別感興趣（出示PPT），誰來讀一讀這句話。

生：“142857”是一個十分神奇的數(shù)。用它分別乘1、2、3、4、5、6，你會有意想不到的發(fā)現(xiàn)！

師：她在讀的時候，有的同學(xué)在數(shù)，這個數(shù)的數(shù)位特別多，我們還沒有學(xué)過多位數(shù)的讀法，所以不會讀。今天這節(jié)課，我們約定一下，按照順序一個一個數(shù)字把它讀出來就可以了，我們就把它讀作：1、4、2、8、5、7。（師示范逐個讀出）

師：下面請每位同學(xué)把這句話默讀一遍。

生默讀。

師：讀完了這句話，你現(xiàn)在頭腦里面有沒有什么問題呢？

生：怎么只乘到6，沒有7呢？

師：是呀！你還有什么問題？

生：算完之后，會有什么意想不到的發(fā)現(xiàn)呢？

師：是呀，這個問題問得可真好。你還有什么問題嗎？

生：“142857”哪里神奇呢？

【設(shè)計意圖：引用課外讀物中的一段原文，利用“神奇”“意想不到”這樣的詞語，吸引學(xué)生的眼球，學(xué)生的求知欲瞬間被激發(fā)。同時約定本節(jié)課中“142857”的讀法，幫助學(xué)生越過識讀障礙，為后面探索規(guī)律做好準備?！?/p>

2.嘗試探究，感知規(guī)律

師：同學(xué)們的問題真多，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就應(yīng)該從一個又一個的問題開始。下面我們就帶著這些問題，開始我們的探究之旅吧?。ǔ鍪綪PT）先看探究活動的要求，請你來把活動要求讀一遍。

生讀活動要求。

師：三個要求聽明白了嗎？下面請大家拿出“自主學(xué)習(xí)單”，按要求開始活動吧！

學(xué)生自主探究，師巡視并參與學(xué)生的交流。

師：我請陳奕文同學(xué)作為小老師，帶著學(xué)習(xí)單，與大家分享他的學(xué)習(xí)收獲。

陳奕文同學(xué)：我計算的得數(shù)分別是：142857，285714，428571，571428，714285，857142。你們的結(jié)果與我一樣嗎？

生：一樣的。

陳奕文同學(xué)：我將這些得數(shù)與原來的“142857”進行比較，發(fā)現(xiàn)它們都是由6個數(shù)字組成的。

師：陳奕文同學(xué)的發(fā)現(xiàn)，你們聽明白了嗎？誰來說得更具體一點。

生：每個得數(shù)中都有1、4、2、8、5、7這六個數(shù)，只是順序不同。

師：是嗎？我們在“乘5”的得數(shù)中找一找，有沒有1、4、2、8、5、7這6個數(shù)。

師生邊說邊指。

【設(shè)計意圖：學(xué)生在獨立探究過程中，不斷發(fā)出驚嘆之聲，他們每算出一個得數(shù)就會被“142857”沖擊一次，規(guī)律的震撼之感慢慢積淀。從學(xué)生不斷地急于表達自己發(fā)現(xiàn)的情景來看，魔術(shù)般神奇的規(guī)律呼之欲出。】

3.再次探究，規(guī)律可視

師：既然得數(shù)中都有這六個數(shù)字，是不是隨便將這六個數(shù)字寫出來就一定是某一道乘法的積呢？

生：不一定。

師：這些得數(shù)與原來的“142857”之間有什么關(guān)系呢？如果老師把這六個答案全去掉，不用計算器，讓你直接寫得數(shù)，你還能寫出來嗎？（電腦去掉算式的得數(shù)）

生猶豫不決，有些說能，有些說不能。

生：乘1，還是142857。（電腦出示）

師：這個好像大家都會喔！其他的算式怎么辦呢？

生：如果不用計算器，我就列豎式一位一位地乘。

師：列豎式是可以算出得數(shù)。如果要你像口算一樣，直接寫出得數(shù)，你覺得可能嗎？

生不敢回應(yīng)，有些同學(xué)在搖頭。

師：有人總結(jié)出了直接寫得數(shù)的第一種方法。請看（PPT逐句出示）：寫下142857，找到得數(shù)的個位，前面所有數(shù)整體移動到后面。

師：你能看明白嗎？不著急，繼續(xù)看電腦的演示。

電腦動畫演示，師配合講解。

師：先寫下原來的142857，然后找到得數(shù)的個位。以“乘2”為例，你知道它的個位是幾嗎？

生：是4，因為2乘7得14，所以個位是4。

師：這里的4就是個位，然后將4與前面的所有數(shù)整體移動到后面，這樣得到的285714就是這道算式的答案了。

師：你看明白了嗎？請你把這句話再默讀一遍，邊讀邊體會它的方法。

生邊讀邊想。

師：還有第二種方法，也能寫出得數(shù)（PPT逐句出示）：寫兩次142857，找到得數(shù)的個位，確定得數(shù)。

電腦動畫演示，師配合講解。

師：先寫兩次142857，然后找到得數(shù)的個位，我們還以“乘2”為例，得數(shù)的個位應(yīng)該是4。現(xiàn)在有幾個4？

生：兩個。

師：我們找到了兩個4，只要從第一個4后面劃出六位數(shù)，就是得數(shù)了。

師：你現(xiàn)在學(xué)會了幾種方法？

生：兩種。

師：還有第三種想不想學(xué)？

生：想。

師邊說邊演示：將1、4、2、8、5、7寫在一個紙條上，然后將它圍成一個圈，找到得數(shù)的個位4，然后在4的后面撕開，現(xiàn)在請你來讀一下紙條上的數(shù)。

生：285714。（??！其余學(xué)生異口同聲）

師：是不是很神奇。這種方法需要我們提前準備好一些紙條給大家，所以我們常用前面的兩種方法?，F(xiàn)在想不想不用計算器，自己來試一試？

生：想！

師：很好，孩子們！老師已經(jīng)幫你在練習(xí)紙上列出了“142857”和“142857142857”，請你在上面移一移，劃一劃，直接寫出乘3、乘4、乘5、乘6的得數(shù)吧。

生嘗試自己動手操作。

師：好，有的孩子已經(jīng)舉手了，說明已經(jīng)寫好了。現(xiàn)在請把你的方法和同桌分享一下。

生交流分享學(xué)習(xí)體會。

【設(shè)計意圖：根據(jù)原數(shù)“142857”和另一個乘數(shù)來推算得數(shù)，這一過程，讓學(xué)生初步感知的“都是這6個數(shù)”的規(guī)律變得更加理性。利用教具、多媒體動畫將三種不同的方法呈現(xiàn)，讓知識的規(guī)律可視，讓學(xué)生的思維可視，給學(xué)生的思維拔節(jié)提供腳手架。】

4.尋根溯源，指導(dǎo)學(xué)法

師：我們剛剛學(xué)了一個本領(lǐng)，直接口算寫出得數(shù)。下面請大家繼續(xù)觀察這組算式，我記得剛開始的時候，這個孩子提了一個問題，大家還記得嗎？請你重復(fù)一下你的問題。

生：為什么只能乘1、2、3、4、5、6，不能繼續(xù)往下乘？

師：假如繼續(xù)往下乘，會怎么樣呢？不忙算，先猜一猜。

生：肯定還是由這6個數(shù)字組成的。

生：不對，我口算了一下，末尾應(yīng)該是9。

師：大家出現(xiàn)了分歧，口說無憑，用計算器算算看就知道了。

伴隨著不斷的“啊”聲，學(xué)生報出答案：999999。

師：你剛剛為什么這么驚訝呢？

生：因為全是9。

師：原來乘7的時候，不再是原來的六個數(shù)字了，而是一下子來了六個9。其實“142857”和9的關(guān)系非常密切。請你繼續(xù)算。（電腦出示：14+28+57=）

學(xué)生用計算器計算并報得數(shù)為：99。

師：再算。（電腦出示：142+857=）

學(xué)生邊算邊驚訝：999。

師：有的孩子已經(jīng)忍不住了，覺得真神奇啊，對不對？面對這么神奇的數(shù)，這時你頭腦有沒有新的問題呢？

生：這個神奇的數(shù)哪來的呢？

師：對呀，它是哪來的呢？你平時在學(xué)習(xí)的時候碰到這樣的問題，怎么辦？

生1：問老師。

生2：查資料。

生3：上網(wǎng)查。

師：是的，當我們碰到一些問題的時候，動手探索、尋問他人、查閱資料、上網(wǎng)搜索都是比較好的方法。

師：通過閱讀數(shù)學(xué)課外書，戚老師知道了，原來用一道除法就可以讓這個神奇的數(shù)現(xiàn)身。請你用計算器算一算：1÷7。

生嘗試計算。

師：你在計算器的屏幕上看到142857了嗎？

生：看到了。

師：在書中，老師還看到一個有關(guān)“142857”的故事呢？請聽。

電腦播放動畫：這組神奇的數(shù)字最發(fā)現(xiàn)于埃及金字塔里，埃及人用它來證明一個星期有7天。我們來看，從星期一到星期六，都是由1/4/2/8/5/7這6個數(shù)字上班，他們每天擔(dān)當不同的職位。到了第7天，他們累了，于是都休息，由9/9/9/9/9/9來代班。

【設(shè)計意圖：引入數(shù)學(xué)文化，讓“142857”及其背后的規(guī)律披上一層神秘、有趣的色彩，激發(fā)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)課外讀物的熱情。同時對遇到困難時的學(xué)習(xí)方法進行有機滲透，充分承擔(dān)起數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值。】

5.深入探究，發(fā)散規(guī)律

師：聽完了剛才的故事，現(xiàn)在你頭腦里有沒有新的問題？

生：乘8等于多少呢？

師：好，趕快乘。

生用計算器計算。

師：請你把答案報一下。

生：1142856。

師：觀察這個得數(shù)，你想說什么？

生：與原來相比，少了一個7。

師：看來沒有規(guī)律了，還想繼續(xù)乘嗎？（想）繼續(xù)乘9吧！

生：1285713。

師：這次你想說什么？

生1：這次4沒有了，其他的數(shù)還在。

師：你還想說什么？

生2：我發(fā)現(xiàn)每次都要少掉一個數(shù)。

師：是這樣嗎？繼續(xù)乘一個。

生：1428570，這個“乘10”口算就行了。

師：你又想說什么呢？

生：他們又全出來了。

師：一會7消失，一會4沒有，一會又全出來了，看來是沒有規(guī)律了。不著急，請大家橫過來觀察，智慧的眼睛就能發(fā)現(xiàn)這里的奧秘。

生：我發(fā)現(xiàn)“142857”與“1142856”相比，原來末尾的7現(xiàn)在變成了6，但是最前面多了一個1，6和1加起來正好是7。

師：看來7并沒有消失，而是搖身一變，變成了1和6。了不起的發(fā)現(xiàn)，接著他的思路看下面一個呢？

生：“285714”與“1285713”相比，4也沒有消失，而是變成了1和3。

師：接著這樣的思路，你能口答出 “乘11”“乘12”“乘13”和“乘14”的得數(shù)嗎？試試看。

生1：因為142857×4=571428，將末尾的8分成1和7，所以142857×11=1571427。

生2：因為142857×5=714285，將末尾的5分成1和4，所以142857×12=1714274。

生3：因為142857×6=857142，將末尾的2分成1和1，所以142857×13=1857141。

生4：因為142857×7=999999，將末尾的9分成1和8，所以142857×14=1999998。

師：孩子們，你們真了不起，一會兒工夫就得到了這么多的發(fā)現(xiàn)?，F(xiàn)在你頭腦中有沒有新的問題呢？

生：如果再向下乘又會怎么樣呢？

師：是呀，這個問題我們可以課后繼續(xù)去研究。

師：剛才老師和同學(xué)一起認識了一個神奇的數(shù)是（板書：142857）。在研究“142857”這個數(shù)時，我們首先從課外書中的一段話產(chǎn)生了問題，帶著問題去思考、探索并得到結(jié)論，觀察得到的結(jié)論又產(chǎn)生了新的問題，這是一個非常好的學(xué)習(xí)方法。

【設(shè)計意圖：如果規(guī)律僅限于一個周期（1至7）以內(nèi)，學(xué)生頭腦中的問題得不到有效化解，規(guī)律的延展性得不到有效彰顯。此時，根據(jù)學(xué)生的問題，大膽地從一個周期走出，完成第二個周期規(guī)律的探究。同時，在回顧反思的過程中，師生一起建構(gòu)學(xué)習(xí)模型，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)走向深入?！?/p>

6.拓展延伸，深度體驗

師：學(xué)到這里，你頭腦中有沒有產(chǎn)生新的問題呢？

生：如果用142857×142857又會怎么樣呢？

師：你還沉浸在142857當中呢，這個問題，課后可以接著研究。

生：除了142857，有沒有其他神奇的數(shù)了？

師：這個問題問得好，剛才的那本書中，還有一個數(shù)字黑洞呢，我們再來探究一下。

（出示PPT，生讀）在1～9中，任意選擇3個數(shù)字，將它們組成一個最大三位數(shù)和最小三位數(shù)，用最大三位數(shù)減去最小三位數(shù)，將得到的差的三個數(shù)字，重新組合成一個最大三位數(shù)和一個最小三位數(shù)，再相減，這樣不斷反復(fù)計算后，你能發(fā)現(xiàn)什么？

師：請大家拿出自主學(xué)習(xí)單，開始探究吧！

生自主嘗試，然后同桌交流。

生1：我選的數(shù)是7、8、9，算了之后，得到的差都是495。

生2：我選的數(shù)是1、3、5，最后也得到了495。

師：大家都得到了495嗎？

生：是的。

師：回頭想一想這個探究活動，再看看495，你又想問什么呢？

生1：如果不是取三個數(shù)，取四個數(shù)會出現(xiàn)什么結(jié)果？

生2：取出的三個數(shù)中如果有相同的，會怎么樣？

生3：為什么這里的數(shù)沒有0？

師：是啊，當我們面對“495”時，可以產(chǎn)生許多的問題。希望同學(xué)們把這樣的問題意識、質(zhì)疑精神用在平時的學(xué)習(xí)中，你會發(fā)現(xiàn)，不但有些數(shù)是神奇的，其實整個數(shù)學(xué)都是神奇的。

【設(shè)計意圖：一節(jié)課只研究“142857”，容易讓學(xué)生形成思維定式，產(chǎn)生負遷移，不能有效彰顯趣味數(shù)學(xué)的魅力。再次引入課外讀物，設(shè)計探究活動，引入“數(shù)字黑洞495”，將學(xué)生的觀察視野從“142857”，引到“495”，再引向更加廣闊的數(shù)學(xué)天地?！?/p>

七、專家評析

《神奇的數(shù)》一課是戚老師基于蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材自編的一個教學(xué)內(nèi)容，這是一節(jié)規(guī)律探究課，一節(jié)趣味數(shù)學(xué)課，更是一節(jié)指引學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的學(xué)法指導(dǎo)課。

1.創(chuàng)設(shè)大情境，讓探究活動高質(zhì)高效

“數(shù)學(xué)來源于生活”，我們應(yīng)該選擇與學(xué)生身心發(fā)展相適應(yīng)、易于學(xué)生親身經(jīng)歷去解決的問題情境，營造整節(jié)課的大情境。本節(jié)課中，戚老師創(chuàng)設(shè)了以“世界讀書日”“數(shù)學(xué)課外讀物”為核心的大情境，從包含“神奇”“意想不到”等詞語的一段話入手，激發(fā)學(xué)生興趣，引發(fā)學(xué)生開展探究活動的原動力。從數(shù)學(xué)讀物中的“趣味故事”“數(shù)字黑洞”入手，引入數(shù)學(xué)文化，引出第二次探究活動。兩次探究活動創(chuàng)設(shè)自然，高質(zhì)高效，學(xué)生樂在其中。

2.引思大問題，讓深度學(xué)習(xí)真實發(fā)生

從學(xué)生思維發(fā)展來看，一節(jié)好課的標準應(yīng)該是：是否讓學(xué)生的思維動起來，是否讓深度學(xué)習(xí)真實發(fā)生。縱觀平時的課堂，師生對話多以低效的一問一答、半問半答式呈現(xiàn)。在這節(jié)課中，戚老師的提問充分體現(xiàn)啟思、引思的特點。他多次提出“你頭腦中有沒有什么問題”，以此作為本課的大問題，不斷將學(xué)生的探究活動、思維體驗推向深入，不斷揭示規(guī)律的本質(zhì)。整節(jié)課以問題驅(qū)動學(xué)生思考，并根據(jù)學(xué)生的提問輔以可視化媒介，助推學(xué)生思維拔節(jié)，讓學(xué)生的深度學(xué)習(xí)真實發(fā)生。

3.構(gòu)建大格局，讓素養(yǎng)培育落地生根

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》中提出發(fā)展學(xué)生的“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)學(xué)科的具體化、實踐化表述。本課的教學(xué)中，戚老師與學(xué)生一起走出“只知規(guī)律是什么”的樊籠，通過規(guī)律的自主探究，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，養(yǎng)成有序思考的習(xí)慣，讓教學(xué)走向“能力培養(yǎng)”“學(xué)法創(chuàng)新”的境界。師生一起回顧學(xué)習(xí)過程，提煉出“問題→探究→結(jié)論→新問題→……”的學(xué)習(xí)模型，這種學(xué)習(xí)模型與育人的大格局相一致，是課堂教學(xué)中培育核心素養(yǎng)的有效路徑。

【作者簡介】

戚洪祥，教育碩士，江蘇省首批教學(xué)名師，江蘇省“333”工程高層次人才培養(yǎng)對象，江蘇省中青年學(xué)術(shù)技術(shù)帶頭人，江蘇省優(yōu)秀教育工作者。教育部“西部支持計劃”特聘授課教師，曾多次應(yīng)邀到新疆、甘肅、青海、寧夏等地送教送學(xué)。曾獲全國、省、市課堂教學(xué)比賽一等獎，出版?zhèn)€人專著《小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法簡論》，研究成果獲省、市基礎(chǔ)教育成果獎一等獎，目前主持兩個省級重點資助課題的研究工作。

張秀花，江蘇省特級教師，江蘇省人民政府教育督導(dǎo)團專家組成員，省小數(shù)會常務(wù)理事，揚州市教科院小數(shù)教研員。榮獲全國教科研先進個人，省先進教育工作者，省“333”高層次人才培養(yǎng)對象，江蘇省教師資格證書考試省級考官，揚州市“領(lǐng)雁工程”第一層次培養(yǎng)對象，多次應(yīng)邀到貴州、青海、山西、湖南等地公開教學(xué)和科研講座。在《人大復(fù)印資料（小學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)）》等中文核心期刊發(fā)表多篇科研論文，科研業(yè)績?nèi)刖帯短丶壗處熕枷脘洝?。個人專業(yè)發(fā)展成果在《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》《小學(xué)教師培訓(xùn)》等雜志以名師在線、特級訪談等形式推介。2017年前往美國加州長灘州立大學(xué)研修畢業(yè)，目前主持兩項省“十三五”規(guī)劃重點課題。