楊 圓,李小兵,林季資

(1.江蘇科技大學(xué) 張家港校區(qū) 基礎(chǔ)教學(xué)部，張家港 215600) (2.南京大學(xué) 固體微結(jié)構(gòu)物理國家重點實驗室，南京 210093)

拓撲絕緣體是最近幾年發(fā)現(xiàn)的一種全新的物質(zhì)形態(tài),其體電子態(tài)是有能隙的絕緣態(tài),而其表面或邊緣是無能隙的金屬態(tài)[1-3]．這種金屬態(tài)完全由體能帶的拓撲性質(zhì)所決定,受時間反演對稱性的保護,可以避免非磁性雜質(zhì)散射．文獻[4]中首次在石墨烯中提出了一種受到時間反演對稱性保護的二維拓撲絕緣體,即量子自旋霍爾效應(yīng)．文獻[5]中提出在HgTe量子阱中可能觀察到這種效應(yīng),并被隨后的實驗工作證實[6]．量子自旋霍爾體系的重要特征是具有比較強的自旋軌道耦合,在樣品的邊界,自旋向上的電子和自旋向下的電子沿著相反的方向傳播,它們可以傳導(dǎo)自旋流但不導(dǎo)致能量耗散．

量子自旋霍爾體系的拓撲不變量可以由Z2拓撲數(shù)[7]或者自旋陳數(shù)[8-9]來定義．Z2指標不適用于時間反演對稱破缺的體系,因為它的定義依賴于時間反演對稱性的存在．相反,自旋陳數(shù)在時間反演對稱破缺的體系中也是有效的．近年來,自旋陳數(shù)的方法被應(yīng)用于描述交換場作用下量子自旋霍爾體系的拓撲性質(zhì)[10-11],研究結(jié)果發(fā)現(xiàn),在時間反演對稱性被破壞后,量子自旋霍爾相依然存在．目前也有實驗表明,量子自旋霍爾效應(yīng)在沒有時間反演對稱性的情況下可以是穩(wěn)定的[12]．

文中以石墨烯中的量子自旋霍爾效應(yīng)為基礎(chǔ),引入破壞時間反演對稱性的非均勻交錯磁場,研究量子自旋霍爾體系在交錯磁場和交換場作用下的拓撲相變,利用陳數(shù)和自旋陳數(shù)對系統(tǒng)中的非平庸拓撲相進行分類,并觀察邊緣態(tài)的性質(zhì)．

1 模型與方法

1.1 緊束縛模型

石墨烯在非均勻的垂直磁場作用下,其緊束縛模型哈密頓量可以寫為[4,9-11]

(1)

圖1 交錯磁場下的石墨烯Fig.1 Graphene under a staggered magnetic field

1.2 自旋陳數(shù)與邊緣態(tài)

2 數(shù)值結(jié)果與分析

2.1 時間反演對稱破缺的量子自旋霍爾相

取參數(shù)λso=0.1,石墨烯系統(tǒng)處于時間反演對稱的量子自旋霍爾態(tài)．加入破壞時間反演對稱性的交錯磁場(圖1(a)),討論量子自旋霍爾態(tài)在時間反演對稱性被破壞情況下其邊緣態(tài)的相關(guān)性質(zhì)．

圖2(a～c)為3個不同的磁場強度得到的邊緣態(tài)能譜．給定費米能量EF=0.1t,當(dāng)φ=π/4時,如圖2(a),在邊緣上出現(xiàn)無能隙邊緣模式．這里共有4個不同的邊緣態(tài),分別標記為A,B,C,D．通過分析波函數(shù)的空間分布,發(fā)現(xiàn)邊緣態(tài)A和B局域在樣品的一個邊界,C和D局域在另一個邊界．以A和B兩個態(tài)為例進行研究,從A和B點所在的色散曲線的斜率很容易看出這兩個邊緣態(tài)沿著相反的方向運動,通過計算這兩個態(tài)的自旋極化,點A的態(tài)自旋向下,點B的態(tài)自旋向上．在樣品的一個邊界上,自旋極化相反的兩個邊緣態(tài)沿著相反的方向運動,這與計算所得的陳數(shù)C=0和自旋陳數(shù)Cs=1相對應(yīng),因此量子自旋霍爾態(tài)的非平庸拓撲性質(zhì)可以在時間反演對稱破缺的體系中存在．

邊緣態(tài)隨著φ的變化而演化的過程如圖2(b)、2(c),這兩個體系展現(xiàn)同樣的量子自旋霍爾效應(yīng)．一個顯著的區(qū)別是,在φ=π時,C=0、Cs=2,即在樣品的每個邊界上存在著兩對反向傳播的具有相反自旋極化的邊緣態(tài),如圖2(d)．如果費米能量處于EF=±1.75t,體系依然處于量子自旋霍爾態(tài),如圖2(b)和2(c),圖2(c)中處于EF=1.75t上的邊緣態(tài)E和G以及邊緣態(tài)F和H對應(yīng)陳數(shù)C=0,而自旋陳數(shù)Cs=1．

通過調(diào)節(jié)交錯磁場的強度和石墨烯的費米能級,具有不同自旋陳數(shù)的量子自旋霍爾相之間可以發(fā)生拓撲相變．更為重要的是,無能隙的邊緣態(tài)可以在時間反演對稱破缺的量子自旋霍爾體系中出現(xiàn)．

圖2 當(dāng)λso=0.1時不同φ值下的能譜Fig.2 Energy spectrum at λso=0.1 with different values of φ

2.2 自旋過濾的量子霍爾相

取參數(shù)λso=0.1,λR=0.1,φ=π,這樣確保了不考慮交換場的情況下,體系處于時間反演對稱破缺的量子自旋霍爾態(tài)．圖3(a～c)展示了對應(yīng)于3個不同交換場強度得到的能譜．當(dāng)g=0.3時,對應(yīng)一個給定的費米能量EF=0.02t,共有8個不同的邊緣態(tài),分別標記為A,B,C,D,E,F,G,H,如圖3(a)．可以看出A,C,E和G局域在一個邊界上,沿著-x方向運動,而B,D,F和H局域在另一個邊界上,沿著x方向運動,對應(yīng)量子霍爾相,陳數(shù)C=-4,而自旋陳數(shù)Cs=0．當(dāng)g增大時,陳數(shù)C=-2,體系仍然是一個量子霍爾相,在樣品的一個邊界上共有兩個邊緣態(tài)沿著同一方向傳播,邊緣態(tài)如圖3(b)．進一步增大交換場到g=1.5時,C=0、Cs=-1,體系處于量子自旋霍爾態(tài),在樣品的一個邊緣上自旋相反極化的兩個邊緣態(tài)沿著相反的方向運動(圖3(d))，并且可以發(fā)現(xiàn)邊緣態(tài)能譜中存在著能隙．特別當(dāng)EF=1.6t時,在樣品的每個邊緣上只有兩條自旋向上的邊緣態(tài)沿著相同方向傳播,對應(yīng)陳數(shù)C=2，這意味著石墨烯系統(tǒng)處于自旋過濾的量子霍爾態(tài)．類似的,當(dāng)EF=3.25t時,C=1，只有一條自旋向上的邊緣態(tài)出現(xiàn)在樣品的每個邊界上．相反,在EF=-1.6t或者EF=-3.25t時,只有自旋向下的邊緣態(tài)存在,如圖3(c)．

前面的討論已經(jīng)證明,量子自旋霍爾體系的非平庸拓撲性質(zhì)在時間反演對稱破缺后仍然可以存在．將圖2(d)、3(d)的1/2電子填充時的量子自旋霍爾態(tài)相比較,可以看出在邊緣上發(fā)生兩種情況：① 在邊緣出現(xiàn)無能隙邊緣模式；② 邊緣態(tài)能隙打開,導(dǎo)致有能隙的邊緣態(tài)．計算投影自旋算符PσzP的能譜,投影自旋算符的矩陣元為〈φm(kx)|σz|φn(kx)〉,m和n遍歷所有被電子占據(jù)的態(tài)．通過對該矩陣對角化,可以得到投影自旋算符PσzP的能譜．對應(yīng)于圖2(d)、3(d)中給定的參數(shù),計算獲得的自旋譜Es,如圖4(a)、4(b)．對于無能隙的邊緣態(tài),自旋譜展現(xiàn)出很大的譜隙,只有兩個值±1,如圖4(a)．當(dāng)邊緣態(tài)能譜存在能隙時,自旋譜隨著kx增加,從-1到+1連續(xù)變化,沒有出現(xiàn)任何譜隙．圖4展示的結(jié)果驗證了只要體系處于量子自旋霍爾態(tài),邊緣能譜或者自旋譜兩者之一必然表現(xiàn)出無譜隙的特征[14]．

圖3 當(dāng)λso=0.1,λR=0.1,φ=π時,不同g值下的能譜Fig.3 Energy spectrum at λso=0.1, λR=0.1, φ=π with different values of g

圖4 當(dāng)λso=0.1時量子自旋霍爾態(tài)的自旋譜Fig.4 Spin spectrum of quantum spin Hall states at λso=0.1

3 結(jié)論

文中研究了石墨烯系統(tǒng)在交錯磁場和交換場作用下的拓撲相變．通過調(diào)節(jié)交錯磁場強度和石墨烯的費米能量,系統(tǒng)中出現(xiàn)許多拓撲相,包括具有高自旋陳數(shù)Cs=2的量子自旋霍爾相和高陳數(shù)C=-4的量子霍爾相．重要的是,無能隙的邊緣態(tài)可以在時間反演對稱破缺的量子自旋霍爾體系中出現(xiàn)．引入一個交換場,調(diào)節(jié)交換場的大小,系統(tǒng)發(fā)生了從時間反演對稱破缺的量子自旋霍爾態(tài)到自旋過濾的量子霍爾態(tài)的相變．邊緣態(tài)性質(zhì)和基于陳數(shù)和自旋陳數(shù)的拓撲刻畫完全一致．