梁智豪，余彥峰，吳偉輝，李湘勤

（韶關(guān)學(xué)院物理與機(jī)電工程學(xué)院，廣東 韶關(guān)512005）

0 引言

穹頂是指一種懸垂的半球體空間或面積，在工程結(jié)構(gòu)，尤其是建筑結(jié)構(gòu)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如體育場(chǎng)、會(huì)議大廳、游泳池等采用穹頂結(jié)構(gòu)。國(guó)內(nèi)的天津博物館、2008北京奧副產(chǎn)品會(huì)羽毛球館和安微大學(xué)體育館都是采用類似穹頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)。穹頂?shù)男螤睢⒊叽绲脑O(shè)計(jì)一般是基于經(jīng)驗(yàn)或工程設(shè)計(jì)計(jì)算，對(duì)經(jīng)驗(yàn)的積累要求較高。穹頂結(jié)構(gòu)作為建筑結(jié)構(gòu)的構(gòu)型，其受力特性的好壞影響著其性能的發(fā)揮，而結(jié)構(gòu)的剛度或柔度是其受力特性的一個(gè)重要指標(biāo)。提高結(jié)構(gòu)的剛度或減小柔度是提高結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的重要舉措，工程上通用的方法有增加截面尺寸、更換材料、優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)等方法，對(duì)于優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)最經(jīng)典的方法是通過(guò)有限元分析，確定其危險(xiǎn)部分，并進(jìn)行強(qiáng)化設(shè)計(jì)，而這些方法都是建立在已有的設(shè)計(jì)構(gòu)型上為某些性能的改善而進(jìn)行的結(jié)構(gòu)改型。從上世紀(jì)八十年代逐漸發(fā)展起來(lái)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，可以在設(shè)計(jì)之初為結(jié)構(gòu)提供一種優(yōu)化布局，從而使設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)具有良好的性能。拓?fù)鋬?yōu)化在工程結(jié)構(gòu)領(lǐng)域被認(rèn)為是一個(gè)很有應(yīng)用價(jià)值的技術(shù)，從提出至今，已在建筑、機(jī)械和航天等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，如彭細(xì)榮等對(duì)高層建筑支撐體系進(jìn)了拓?fù)鋬?yōu)化嘗試[1]，李湘勤等對(duì)力學(xué)傳感器結(jié)構(gòu)進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)[2]。對(duì)于穹頂結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)較多的是對(duì)截面尺寸進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)[3-5]，通過(guò)拓?fù)鋬?yōu)化的方式直接獲得穹頂結(jié)構(gòu)材料布局的研究鮮有人問(wèn)津。本文通過(guò)建立簡(jiǎn)化的幾何模型并采用特殊的網(wǎng)格劃分方式，采用拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)獲得在特定的材料用量限制情況下穹頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)材料優(yōu)化布局，對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果進(jìn)行結(jié)果提取并建立相應(yīng)的三維模型，并根據(jù)材料用量限設(shè)計(jì)了兩種用于對(duì)比的穹頂結(jié)構(gòu)，通過(guò)力學(xué)試驗(yàn)，顯示在相同力作用下，拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)位移更小，證實(shí)了經(jīng)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)得的穹頂結(jié)構(gòu)材料布局具有更好的剛度。

1 問(wèn)題描述

1.1 物理模型簡(jiǎn)化與網(wǎng)格劃分

穹頂?shù)暮?jiǎn)化的幾何模型如圖1（a）所示。設(shè)定穹頂?shù)牡撞抗潭?，頂部受壓力作用，考慮到結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性和周期性，以穹頂?shù)乃姆种粸檠芯繉?duì)象，利用有限元的思法進(jìn)行網(wǎng)格劃分，對(duì)于穹頂結(jié)構(gòu)，其網(wǎng)格的劃分是影響其能否獲得對(duì)稱且周期性的分析結(jié)果的關(guān)鍵因素，也就是說(shuō)網(wǎng)格劃分不保證有限元網(wǎng)格對(duì)稱且周期性，拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)難以獲得一個(gè)周期且對(duì)稱的結(jié)構(gòu)。因?yàn)樗姆种获讽斀Y(jié)構(gòu)外表面為三角形結(jié)構(gòu)，無(wú)法直接用映射網(wǎng)格劃分，為了獲得對(duì)稱、且周期分布的優(yōu)化結(jié)果，外側(cè)圓面采用頂部小面積自由三角形網(wǎng)格劃分，其余外采用四邊形映射網(wǎng)格劃分，然后在厚度方向使用網(wǎng)格掃掠，最后得到棱柱網(wǎng)格與長(zhǎng)方體網(wǎng)格共存的有限元網(wǎng)格模型，如圖1所示。

圖1 穹頂幾何模型與網(wǎng)格劃分

1.2 拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型建立

SIMP法[6，7]是拓?fù)鋬?yōu)化中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型常用的一種基于材料密度的插值方法，其主要思想是通過(guò)定義每個(gè)單元具有獨(dú)立偽密度值（一個(gè)介于[0，1]區(qū)間的數(shù)），并將單元的偽密度作為設(shè)計(jì)變量，由偽密度的值來(lái)表征單元的存在情況。SIMP法中單元i的單元?jiǎng)偠染仃嚤硎緸?/p>

式中，ρi是單元i的偽密度；p是懲罰因子，本文p=3；k0為實(shí)材料的單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

以圖1（a）穹頂簡(jiǎn)化模型為基礎(chǔ)，在一定材料用量限情況下，以求獲得最佳的結(jié)構(gòu)力學(xué)性能，從而獲得穹頂結(jié)構(gòu)的材料優(yōu)化布局，本文研究以在材料一定用量限下，穹頂結(jié)構(gòu)剛度極大化為目標(biāo)尋求材料最優(yōu)布局。由于結(jié)構(gòu)的剛度極大與柔順度極小是一個(gè)等價(jià)問(wèn)題，而對(duì)于材料用量限可以用結(jié)構(gòu)的體積約束表述，所以以總體柔順度極小為目標(biāo)，以體積為約束的建立穹頂結(jié)構(gòu)剛度極大化的拓?fù)浠瘑?wèn)題的數(shù)學(xué)模型建立，如下式：

式中ρ為單元設(shè)計(jì)變量向量，K（ρ）為全局剛度矩陣，U為全局位移向量，F(xiàn)為全局載荷向量，ui為單元位移向量，ki為單元?jiǎng)偠染仃?，ui為單元體積，ρi為單元設(shè)計(jì)變量（偽密度）為體積約束分?jǐn)?shù)，ρmin為單元設(shè)計(jì)變量最小值（用來(lái)避免全局剛度矩陣奇異，一般取值ρmin=0.001），n為單元個(gè)數(shù)。

2 敏度分析

拓?fù)鋬?yōu)化一般需基于梯度來(lái)迭代更新設(shè)計(jì)變量向量ρ，因此需求得式所建立的數(shù)學(xué)模型目標(biāo)函數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)變量的敏度。引入拉格朗日乘子向量λ，由式（2）前兩式構(gòu)建拉格日方程如下：

將式（3）對(duì)設(shè)計(jì)變量向ρ求導(dǎo)，并對(duì)極值有：

對(duì)于伴隨方程有：

由式（5）求得 λ，并代入式（3），可求得公式（2）第一式目標(biāo)函數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)變量ρ的伴隨敏度為：

優(yōu)化問(wèn)題（2）可通過(guò)優(yōu)化準(zhǔn)則法、二次線性規(guī)劃法和移動(dòng)漸近法等優(yōu)化算法進(jìn)行求解[2]。本文采用優(yōu)化準(zhǔn)則法實(shí)現(xiàn)對(duì)穹頂結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。

3 優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果

穹頂結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化幾何模型和網(wǎng)格劃分如圖1所示，穹頂外徑為100 mm，厚度3 mm；使用的材料密度ρ=7 850 kg/m；楊氏模量E=2.0×1011Pa.結(jié)構(gòu)頂部最高點(diǎn)受壓力作用，約束結(jié)構(gòu)的底部端面，取體積約束分?jǐn)?shù)為；目標(biāo)函數(shù)為結(jié)構(gòu)剛度極大化或柔順度極小化。優(yōu)化問(wèn)題基于COMSOL3.5和COMSOL script3.5實(shí)現(xiàn)，兩種體積約束下獲得的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖2所示。

圖2 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

4 優(yōu)化結(jié)構(gòu)驗(yàn)證及分析

4.1 結(jié)構(gòu)對(duì)比

針對(duì)圖2所得的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)，提取材料布局，并構(gòu)建全穹頂結(jié)構(gòu)模型，如圖3所示。

圖3 拓?fù)鋬?yōu)化材料布局結(jié)果提取

圖3 （a）穹頂結(jié)構(gòu)（用T2表示，表示在體積約束分?jǐn)?shù)為0.2時(shí)得到的優(yōu)化結(jié)果）對(duì)應(yīng)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果圖2（a），圖 3（b）穹頂結(jié)構(gòu)（用 T3 表示，表示在體積約束分?jǐn)?shù)為0.3時(shí)得到的優(yōu)化結(jié)果）對(duì)應(yīng)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果圖2（b）。為了對(duì)比拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果穹頂結(jié)構(gòu)材料布局的力學(xué)性能，設(shè)計(jì)了兩種桿寬一致的穹頂結(jié)構(gòu)，如圖4所示，圖 4（a）穹頂設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)（S2）的體積與圖 3（a）穹頂拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)（T2）體積接近，所有桿寬為3.6 mm；圖 4（b）穹頂設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)（S3）的體積與圖 3（a）穹頂拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)（T3）體積接近，所有桿寬為4.4 mm，兩種穹頂結(jié)構(gòu)緯向圍桿離穹頂?shù)锥嗣婢嚯x相同，經(jīng)向圍桿數(shù)量相同，且周向均布。

圖4 穹頂設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)

4.2 打印制作

利用太爾時(shí)代的UP2產(chǎn)品采用ABS材料打印制作，為了減少結(jié)構(gòu)內(nèi)部的空洞結(jié)構(gòu)，參數(shù)設(shè)置中采用最0.2 mm的層片厚度與最精細(xì)填充方式，得到的四種穹頂結(jié)構(gòu)實(shí)物如圖5所示。

圖5 穹頂結(jié)構(gòu)3D打印實(shí)物

4.3 受力試驗(yàn)

對(duì)四種結(jié)構(gòu)分別用電子天秤稱量，獲得各自打印制作出來(lái)后實(shí)際的質(zhì)量?？紤]到位移極小與剛度最大的等價(jià)性[8]，試驗(yàn)時(shí)，在穹頂最高點(diǎn)加載壓力，以20 N為增量連續(xù)加載，測(cè)試其負(fù)載與位移的關(guān)系，最終得到圖5四種結(jié)構(gòu)的負(fù)載與位移關(guān)系如圖6所示，其中圖中每條數(shù)據(jù)線末端結(jié)點(diǎn)為結(jié)構(gòu)發(fā)生斷裂前的近似位移與受力關(guān)系。

圖6 力學(xué)試驗(yàn)

根據(jù)零件荷載與位移的比值為剛度，剛度的倒數(shù)為柔度，對(duì)于圖5四種穹頂結(jié)構(gòu)，取各數(shù)值點(diǎn)力與位移比值的平均值為穹頂剛度為了便于比較并剔除結(jié)構(gòu)屈服后的受力試驗(yàn)數(shù)據(jù)，取一定受力區(qū)間F?內(nèi)穹頂剛度作比較，假定剛度提高系數(shù)δ為拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的差值與設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的比值，圖5四種穹頂結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)剛度對(duì)比如表1所示。

表1 四種穹頂結(jié)構(gòu)受力試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比表

從表1可知，拓?fù)鋬?yōu)化布局的質(zhì)量雖輕于設(shè)計(jì)布局的質(zhì)量，在結(jié)構(gòu)屈服前，經(jīng)拓?fù)鋬?yōu)化獲得的穹頂結(jié)構(gòu)的材料布局的剛度值明顯小于設(shè)計(jì)布局，對(duì)于體積分?jǐn)?shù)接近＝0.2的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)因材料布局較為相似，得到的剛度提高較小，而對(duì)于＝3，剛度提高較為明顯，達(dá)到了12.77%.對(duì)比結(jié)果，顯示出拓?fù)鋬?yōu)化獲得的桿結(jié)構(gòu)較設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的桿細(xì)，使得相比設(shè)計(jì)布局，總承載能力有所下降。

5 結(jié)論

本文針對(duì)建筑工程中的穹頂結(jié)構(gòu)提出了應(yīng)用拓?fù)鋬?yōu)化方法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法。主要結(jié)論如下：

（1）結(jié)合建筑工程中穹頂結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能要求，以簡(jiǎn)化的穹頂幾何模型構(gòu)建用于拓?fù)鋬?yōu)化的物理模型，為獲得對(duì)稱且周期性的結(jié)果，采用自由網(wǎng)格與映射網(wǎng)格相結(jié)合的方式使得網(wǎng)格基本呈現(xiàn)對(duì)稱、周期分布，這種網(wǎng)格劃分方式有力地保證了在穹頂結(jié)構(gòu)有限元分析時(shí)獲得對(duì)稱且周期性的結(jié)果；

（2）應(yīng)用基于SIMP插值方法，建立以剛度極大或柔順度極小的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)目標(biāo)函數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)變量的伴隨敏度，利用優(yōu)化準(zhǔn)則法進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，獲得了在兩種體積分?jǐn)?shù)約束下的拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型，針對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型的材料分布進(jìn)行結(jié)構(gòu)提取，構(gòu)建對(duì)應(yīng)的三維幾何模型。最終的優(yōu)化結(jié)果顯現(xiàn)出材料分布規(guī)律明顯，便于進(jìn)一步的形狀優(yōu)化或制作。本文研究的只針對(duì)剛度極大化問(wèn)題，結(jié)構(gòu)受力單一，而穹頂結(jié)構(gòu)實(shí)際性能要求復(fù)雜、工況繁多，但依然可以通過(guò)多目標(biāo)函數(shù)處理方法進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，但此時(shí)模型的非線性增強(qiáng)，不利于獲得材料分布有規(guī)律且整齊的結(jié)構(gòu)。

（3）以與拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型相近的用料量設(shè)計(jì)兩種桿系等寬的穹頂結(jié)構(gòu)，針對(duì)四種穹頂結(jié)構(gòu)采用3D打印制作實(shí)物模型。采用對(duì)穹頂頂部加壓，以驗(yàn)證拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)與設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能差別。對(duì)比試驗(yàn)結(jié)果，實(shí)例展現(xiàn)經(jīng)拓?fù)鋬?yōu)化獲得的穹頂結(jié)構(gòu)剛度分別提升6.89%和12.77%.所以，應(yīng)用拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)穹頂結(jié)構(gòu)的構(gòu)型，可以有效的彌補(bǔ)基于經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)的不足，也為穹頂結(jié)構(gòu)的形狀設(shè)計(jì)提供有力借鑒。