趙福英， 倪俊芳

(蘇州大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 江蘇 蘇州 215021)

花樣打板系統(tǒng)設(shè)計(jì)的花型輪廓通常由直線、圓弧、曲線等元素組成，這些曲線大都采用Bezier曲線、NURBS曲線表示[1]。國(guó)內(nèi)研究者[2-4]在B樣條應(yīng)用領(lǐng)域有廣泛研究，并取得一定進(jìn)展，而基于絎縫、提花、針織等自動(dòng)化設(shè)備的復(fù)雜花型樣條曲線的逼近研究甚少。因?yàn)槟壳按蟛糠謹(jǐn)?shù)控加工系統(tǒng)只識(shí)別直線插補(bǔ)和圓弧插補(bǔ)，所以需要將復(fù)雜曲線轉(zhuǎn)換成直線段、圓弧段或者二者混合。

三次樣條曲線能夠滿足曲率半徑連續(xù)且具有一定的幾何意義。當(dāng)曲線次數(shù)越高時(shí)，曲線越復(fù)雜，應(yīng)用該曲線加工越困難。三次準(zhǔn)均勻B樣條曲線具有三次樣條曲線的基本特點(diǎn)，且能夠支持局部修改，其首末端點(diǎn)與特征多邊形相切，方便控制曲線形狀；因此，設(shè)計(jì)花型輪廓時(shí)，首先采用三次準(zhǔn)均勻B樣條曲線進(jìn)行設(shè)計(jì)，然后采用插補(bǔ)算法分割曲線。雙圓弧逼近三次準(zhǔn)均勻B樣條的算法，與直線逼近算法比較而言，優(yōu)點(diǎn)主要包括：保持了原曲線的凹凸性，保證雙圓弧位于擬合曲線控制的多邊形內(nèi)部，精度高，可改善加工織物表面品質(zhì)；與二者混合逼近比較而言，刪除了大量的中間點(diǎn)，在給定誤差范圍內(nèi)，圓弧段數(shù)最少，便于轉(zhuǎn)換成簡(jiǎn)單的G代碼，減少CAD與CAM系統(tǒng)的數(shù)據(jù)傳輸，計(jì)算效率高。本文提出一種基于誤差控制自動(dòng)分段的雙圓弧算法，分析擬合誤差ε，利用MatLab計(jì)算仿真，最后再將直線、圓弧等花樣輪廓離散成均勻的針跡點(diǎn)，生成加工代碼，從而加工出復(fù)雜的花樣圖案。

1 雙圓弧擬合三次準(zhǔn)均勻B樣條

1.1 B樣條定義

B樣條曲線方程[5-7]定義為

(1)

式中：Pi為B樣條的控制點(diǎn)坐標(biāo)；Ni,k(t)為基函數(shù)0≤t≤1；i為節(jié)點(diǎn)序號(hào)，i=0,1,…,n；k為基函數(shù)次數(shù)。基函數(shù)用Cox-deBoor公式表示為

(2)

1.2 雙圓弧逼近B樣條

圖1示出雙圓弧曲線逼近B樣條曲線示意圖。B樣條需滿足以下要求[8-9]：

1)起始圓弧過曲線P0點(diǎn)，終止圓弧過P1點(diǎn)；

3)分段圓弧在連接處達(dá)一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)；

4)整體逼近的精度在閾值S范圍內(nèi)；

5)所用的圓弧數(shù)目應(yīng)盡可能少。

圖1 雙圓弧逼近B樣條Fig.1 Double circular arc approximating B spline

根據(jù)圖1通過計(jì)算可知：

(3)

1.3 誤差分析

用雙圓弧逼近某B樣條曲線段{P(t),t∈(0,t′)}或{P(t),t∈(t′,1)}。由圖1可知，雙圓弧C1和C2均過連接點(diǎn)P，并在與B樣條曲線始、末端連線相垂直的直線上。設(shè)樣條與圓弧的最大逼近誤差為ε，則：

(4)

(5)

圖2 雙圓弧逼近三次準(zhǔn)均勻B樣條算法流程圖Fig.2 Flow chart of double arc approximation three quasi uniform B spline algorithm

1.4 MatLab仿真模擬

假設(shè)輸入樣條控制點(diǎn)(1,1)、(2,4)、(3,5)、(4,1)、(6,2)、(5,6)、(2,2)，基于上述算法，利用MatLab編程進(jìn)行模擬仿真，結(jié)果如圖3～6所示。

圖3 ε=0.1的雙圓弧逼近Fig.3 Double arc approximation of ε=0.1

圖4 ε=0.1的雙圓弧逼近誤差分析Fig.4 Double arc approximation error of ε=0.1

圖5 ε=0.01的雙圓弧逼近Fig.5 Double arc approximation of ε=0.01

圖6 ε=0.01的雙圓弧逼近誤差分布Fig.6 Double arc approximation error of ε=0.01

2 花樣作業(yè)圖案生成算法

基于多數(shù)控制器只能加工直線和圓弧[11]，為了獲取高質(zhì)量的花樣數(shù)據(jù)，解決花樣圖案針跡點(diǎn)不均勻問題，設(shè)計(jì)相應(yīng)的直線和整圓插補(bǔ)算法。

2.1 直線插補(bǔ)算法設(shè)計(jì)

對(duì)于加工代碼數(shù)據(jù)而言，針跡點(diǎn)需分布均勻，且盡可能分布在同一條直線上。設(shè)直線起點(diǎn)為A(xa,yb)，終點(diǎn)為B(xb,yb)，長(zhǎng)為l，根據(jù)步距step，生成其他控制針跡點(diǎn)的算法如下。

1)根據(jù)step算出直線花樣的針數(shù)n。

令m=l/step，r=l%step。其中m，r均為整數(shù)。當(dāng)r≤step/2時(shí)，針數(shù)n=m；當(dāng)r>step/2時(shí)，針數(shù)n=m+1；當(dāng)m=1且r≤step/2且l>stepmax時(shí)，針數(shù)n=m+1。

2)根據(jù)針數(shù)n，將直線等分，計(jì)算等分點(diǎn)。

直線起點(diǎn)、終點(diǎn)分別為(xa,ya)、(xb,yb)，令

式中：step_x和step_y取整數(shù)；dx和dy取小數(shù)。取第1個(gè)等分點(diǎn)為(xa+step_x，ya+step_y)，依此類推，第n-1個(gè)等分點(diǎn)為(xa+(n-1)×step_x，ya+n-1×step_y)

3)對(duì)等分點(diǎn)進(jìn)行插補(bǔ)。

從第1個(gè)等分點(diǎn)到第n個(gè)點(diǎn)依次進(jìn)行插補(bǔ)，當(dāng)dx=0，dy=0時(shí)，算法結(jié)束，流程如圖7所示。

圖7 直線插補(bǔ)流程圖Fig.7 Flow chart of linear interpolation

2.2 整圓算法設(shè)計(jì)

已知圓心及半徑R，計(jì)算出圓上均勻分布的點(diǎn)，步驟如下。

F(Pi)=[(xi+1)2+yi2]-R2

F(Qi)=[(xi+1)2+(yi-1)2]-R2

引入判別式Di=F(Pi)-F(Qi)，判別表達(dá)式如下所示：

當(dāng)i=0,x0=0,y0=R,d0=3-2R;

當(dāng)Di≥0，選擇Pi，xi+1=xi+1，yi+1=yi，di+1=di+4xi+6；

當(dāng)Di<0，選擇Qi，xi+1=xi+1，yi+1=yi-1，di+1=di+4xi-yixi+10。

其算法流程如圖8所示。

圖8 Bresenham算法流程圖Fig.8 Bresenham algorithm flow chart

2)根據(jù)步距step計(jì)算步數(shù)n和實(shí)際針距l(xiāng)s。

以step為弦長(zhǎng)，計(jì)算其對(duì)應(yīng)的圓心角α=2arcsinstep/2R，步數(shù)n=2π/α，針距l(xiāng)s=2Rsinπ/n。

3)計(jì)算圓花樣的均勻分布針跡點(diǎn)。

式中：如果dis<0，則第n個(gè)針跡點(diǎn)與A點(diǎn)合并。圓弧花樣與圓花樣生成針跡點(diǎn)算法類似，只要篩選出Bresenham整圓上對(duì)應(yīng)的圓弧區(qū)域即可。

3 實(shí) 例

3.1 直線花型圖案輪廓

輸入A(3.7，-11.9)、B(-5.2，10.6)為直線的起點(diǎn)和終點(diǎn)，步距為3.0 mm，根據(jù)直線算法，利用MatLab定義函數(shù)straight_line([3.7,-11.9],[-5.2,10.6], 3)計(jì)算出各個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)生成加工路徑，如圖9所示。

圖9 直線花樣Fig.9 Straight line pattern

從圖9可知，針跡點(diǎn)分布均勻，幾乎在同一條直線上，實(shí)際針距在3.0 mm左右浮動(dòng)，加工質(zhì)量高。

3.2 圓弧花型圖案輪廓

輸入起點(diǎn)A(x0,y0)，半徑R，步距step，方向(a，逆時(shí)針；b，順時(shí)針)，根據(jù)圓插補(bǔ)算法利用MatLab編程模擬，定義函數(shù)circle_bresenham([12.0,16.0],20,3,1)計(jì)算出相應(yīng)的針跡點(diǎn)，生成的花樣作業(yè)圖案如圖10所示。由arc_bresenham([12.0,16.0]，[-20,0],20,3,0)生成的均勻針跡點(diǎn)如圖11所示。

圖10 圓花樣Fig.10 Round pattern

圖11 圓弧花樣Fig.11 Arc pattern

3.3 機(jī)床模擬加工

以C#語(yǔ)言的WinForm為開發(fā)工具，采用面向?qū)ο蟮乃枷朐O(shè)計(jì)了花型準(zhǔn)備系統(tǒng)。利用雙圓弧逼近算法先將含有直線、圓弧、樣條曲線的數(shù)據(jù)文件(如主流格式DST、DXF等)轉(zhuǎn)換成只含有直線和圓弧數(shù)據(jù)的DAT文件，然后通過GDI+可視化編程將花型矢量圖案繪制出來(lái)，最后將該文件編譯成數(shù)控機(jī)床可識(shí)別的CNC加工程式。DAT文件的分量格式：花樣文件有8列數(shù)據(jù)，每行定義了某一幾何線型。其中第1列數(shù)據(jù)為0、1、2，分別代表直線、圓弧、虛線，-1代表終止程序。第2、3列分別代表該線型的起點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)；第4、5列分別代表該線型的終點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)；如果該線型為圓弧，則還需要定義圓心的橫縱坐標(biāo)及圓弧走向，分別在第6、7、8列定義。繪制出的花樣矢量圖如圖12所示，數(shù)控機(jī)床仿真模擬如圖13所示。

圖12 DAT文件的花樣矢量圖Fig.12 Pattern vectorgraph of DAT file

圖13 數(shù)控機(jī)床的模擬仿真圖Fig.13 Simulation diagram of CNC machine

圖13表明，通過雙圓弧逼近算法處理得到的花型圖案輪廓光滑、加工質(zhì)量高，可實(shí)現(xiàn)復(fù)雜花型的加工。

4 結(jié)束語(yǔ)

花型復(fù)雜輪廓的逼近是獲取高質(zhì)量的加工數(shù)據(jù)，解決花樣作業(yè)圖案針跡點(diǎn)不均勻等問題的關(guān)鍵技術(shù)。本文基于雙圓弧擬合三次準(zhǔn)均勻B樣條曲線的算法，保證較高的逼近精度，圓弧之間光滑連接保證一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。該算法可根據(jù)給定閾值，合理規(guī)劃分段點(diǎn)、雙圓弧段數(shù)，利用MatLab進(jìn)行數(shù)值模擬，實(shí)現(xiàn)了花型針跡點(diǎn)均勻分布。該算法為復(fù)雜曲線的數(shù)控編程、CAD/CAM系統(tǒng)和自由曲線的等差微段逼近提供參考，并在單針電腦絎縫機(jī)、電子花樣機(jī)等縫制設(shè)備上進(jìn)行了相關(guān)實(shí)驗(yàn)，結(jié)果達(dá)到了技術(shù)要求。

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