杜保營, 雷賢才

(宜賓學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院 四川 宜賓 644000)

1 引言及預(yù)備知識

關(guān)于不動點理論的研究最近幾年有一些新的突破。唐艷,聞道君[1]研究了Banach空間中非擴張半群不動點粘性逼近方法;劉敏[2]研究了廣義平衡問題的強收斂定理;雷賢才[3-4]研究了雙曲空間中混合型迭代的Δ-收斂定理以及全漸近非擴張映射在CAT(0)空間中的新迭代算法。Markin[5-6]用Hausdorff度量研究了多值收縮以及非擴張映射。之后,又有一些學(xué)者[5-21]在Banach空間中,用不同的迭代過程逼近多值非擴張映射的不動點并做了廣泛的推廣。這類映射的一些有趣而豐富的不動點理論發(fā)展起來,并在控制論,最優(yōu)化,微分方程以及經(jīng)濟學(xué)中[7]都有一定的應(yīng)用。本文將要討論的問題是:多值非擴張映射的不動點理論。因此,擺在我們面前的是下面這個問題。

問題:在一般的雙曲空間中,對于多值非擴張映射,是否可以找到一個迭代方案,使之能夠很好地逼近該映射的一個公共的不動點?

在自然科學(xué)領(lǐng)域中,大部分的變量關(guān)系是非線性關(guān)系。而不動點理論是建立在正則的線性空間或者Banach空間中,這些空間主要由它們的線性結(jié)構(gòu)所確定。非線性結(jié)構(gòu)的不動點理論是將一個度量空間嵌入到一個凸集中。雙曲空間是非線性的,從幾何結(jié)構(gòu)中建立不動點理論是一個很抽象的理論。幾何組中一個主要的研究對象就是雙曲組,這個問題是在雙曲空間的研究中占有統(tǒng)治地位。為了在一般的Banach空間中定義多值非擴張映射,先介紹基本概念。

設(shè)E是實Banach空間,K是任意一子集,如果對于任意的x∈e,都存在ν∈K,使

d(x,y)=inf{‖x-ν‖|y∈K}=d(x,K)

成立,則稱K是漸近極限集。

由此可知:Banach空間的弱緊凸子集和一致凸Banach空間的閉凸子集都是漸近極限集。以P(K)表示K的非空有界的漸近極限集的子集族,以CB(K)表示K的所有非空有界的閉子集類。設(shè)H是由E的度量d誘導(dǎo)的一個Hausdorff度量,即對于任意A,B∈CB(E),都有

設(shè)T是一個多值映射T:K→P(K)如果滿足存在k∈[0,1)對于任意x,y∈K,都有

H(Tx,Ty)≤k‖x-Y‖

則T稱為壓縮的。

定義1.1[19]設(shè)T是一個多值映射T:K→P(K),如果滿足

H(Tx,Ty)≤k‖x-y‖,?x,y∈K。

(1)

則T稱為非擴張的。

引理1.1[16] 設(shè)T是一個多值映射T：K→P(K)，Pr(x)={y∈Tx：‖x-y‖=d(x，Tx)},則下面三個命題是等價的：

(1)x∈F(T)

(2)Pr(x)=x

(3)x∈F(Pr)，而且F(T)=F(Pr)

Kohlenbach[22]介紹了雙曲空間,本文的工作在雙曲空間中開展,下面的定義在文獻[23]中有介紹,但在雙曲空間中有局限性,所以這些定義要比在雙曲空間中更具有一般性。

設(shè)雙曲空間X是一個度量空間(X，d)，W是一個映射W：X2×[0，1]→X且滿足?x，y，z，w∈X，α，β∈[0，1]

(1)d(u，W(x，y，α))≤αd(u，x)+(1-α)d(u，y)；

(2)d(W(x，y，α)，W(x，y，β))=|α-β|d(x，y)；

(3)W(x，y，α)=W(y，x，1-α)；

(4)d(W(x，z，α)，W(y，W，α))≤(1-α)d(x，y)+αd(z，w)。

設(shè)E是雙曲空間X的一個非空子集,如果對于?x,y∈E,α∈[0,1]都有W(x,y,α)∈E,則E是凸的。雙曲空間族包含賦范空間和它的一個凸子集。Hadamard[25]在Hilbert球中建立了雙曲度量,Gromov[26]在很多CAT(0)空間中也做了相應(yīng)的研究。

在一個雙曲空間中,對于任意r>0,ε∈(0,2],存在δ∈(0,1],使對于所有的u,x,y∈X若d(x,u)≤r,d(y,u)≤r,d(x,y)≥εδ,都有

則該雙曲空間是一致凸的。

對于給定的r>0,ε∈(0,2],定義映射δ=η(r,ε);(0,+∞)×(0,2]→(0,1],可以看做X上的的一致凸性模。

最后,設(shè)(X,d)是一個度量空間,K是X的一個非空子集,我們以F(T)來T表示的不動點集,即F(T)={x∈K:Tx=x}。設(shè)T是映射T:K→K,如果滿足:對于?x,y∈K,

d(Tx,Ty)≤d(x,y)

則T稱為非擴張的。

設(shè)T是映射T:K→K,如果存在序列{kn}?[0,+∞),且kn→0,都有

d(Tnx,Tny)≤(1+kn)d(x,y),?x,y∈K。

則T稱為漸近非擴張的。

設(shè)T是映射T:K→K,如果存在一個常數(shù)L>0$L>0$,對于?x,y∈K。都有

d(Tnx,Tny)≤Ld(x,y)。

則T稱為一致L-Lipschitzian。

本文目的是在Banach空間中將一個多值非擴張映射的迭代方案推廣到雙曲空間中,并證明一個強收斂定理:即用混合迭代過程逼近兩個多值非擴張映射以及兩個漸近非擴張映射的一個不動點。在雙曲空間中,還可以推廣并改變其他領(lǐng)域的一些成果文獻[10-13，15-17,19，20，25，28]。

為了在雙曲空間中定義Δ-收斂,首先介紹一些基本概念和引理。

引理1.2[30] 設(shè)(X,d,W)是完備一致凸的雙曲空間,且它的有單調(diào)的一致凸性模。則X中的每一個有界序列{xn},對于X的每一個非空閉凸子集K而言有唯一的一個漸近中心。

由分析知識可知:設(shè)x∈X,xn是X中的序列,如果對于{xn}中的任何子序列{un},都有x是{un}的唯一漸近中心,則稱{xn}收斂到x,記為Δ-limn→∞xn=x,并稱x是{xn}的Δ-極限。

一個映射T:K→K,對于任何一個有界序列{xn}?K,如果d(xn,Txn)→0,那么{xn}有一個收斂的子序列,則稱為半緊的。

引理1.3[31] 設(shè)是an,bn,δn非負(fù)是數(shù)列,并且滿足:

an+1≤(1+δ)an+bn,?n≥1

(2)

2 主要結(jié)果

(3)

其中μn∈SS1yn，νn∈SS2xn，d(νn，μn)≤H(SS2xn，SS1yn)+τn，{τn}，{αn}，{βn}滿足下列條件:

(3)‖xn-p‖=d(xn,p),‖yn-p‖=d(yn,p);

(4)d(x,Tiy)≤d(SSix,Tiy),?x,y∈K,i=1,2。

如果SS1,SS2,T1,T2中有一個是半緊的,則如上所定義的序列{xn}(在度量拓?fù)渲衖.e.)強收斂到一個不動點p∈B。

第一步:首先證明:對于?p∈B極限limn→∞d(xn,p)存在。

對于?p∈B,因為SS1,SS2是一個多值非擴張映射,T1,T2是一個漸近非擴張映射,由條件(2),(3)可得

≤(1-αn)d(xn,p)+αn(1+kn)H(SS1yn,SS1p)+(1+kn)αnτn

≤(1-αn)d(xn，p)+αn(1+kn)‖yn-p‖+(1+kn)αnτn

≤(1-αn)d(xn,p)+αn(1+kn)d(yn,p)+(1+kn)αnτn

(4)

其中

≤(1-βn)d(xn,p)+βn(1+kn)H(SS2xn,SS2p)+(1+kn)βnτn

≤(1-βn)d(xn，p)+βn(1+kn)‖xn-p‖+(1+kn)βnτn

=(1-βn)d(xn,p)+βn(1+kn)d(xn,p)+(1+kn)βnτn

(5)

=(1+βnkn)d(xn，p)+(1+kn)βnτn

所以

d(xn+1，p) ≤[1+αn(1+βn+βnkn)kn]d(xn，p)

+[1+(1+kn)βn](1+kn)αnτn

(6)

第二步:證明對于?p∈B

(7)

由第一步可知:極限limn→∞d(xn，p)存在,不妨設(shè)limn→∞d(xn，p)=c≥0如果c=0,則結(jié)論顯然成立。下面考察c>0的情況。由(5)可知:

d(yn，p)≤(1+βnkn)d(xn，p)+(1+kn)βnτn

(8)

對上式兩邊同取極限可得：

(9)

另外因為

所以

(10)

(11)

(12)

由(10)-(12)及引理1.4可得

(13)

同樣的方法可得

(14)

根據(jù)條件(4),由(13),(14)可得

(15)

以及

(16)

由(3),(14)可得

(17)

以及

(18)

注意到

由(16),(17)可得

(19)

又由(15)可得

(20)

另一方面,由(13),(19)可得

(21)

因此,由(20),(21)可得

(22)

另外,因為

以及(15),(22)可得

(23)

綜上,可得對于i=1,2都有下式成立

由(16),(20),(23)可得

(24)

因為

由(14),(16),(20),(21)可得

(25)

事實上,因為對于?p∈F極限limn→∞d(xn，p)存在,所以序列l(wèi)imn→∞d(xn，p)是有界的。因此由引理1.2可知序列{xn}有唯一一個漸近中A({xn})=xn。設(shè){μn}是{xn}的任何一個子序列,記A({μn})={μ}由(7)可知下式成立

(26)

(27)

因為Ti滿足一致L-Lipschitzian,由(27)可得

d(zj，μn)≤(1+kn)d(μ，μn)+jLd(Tiμn，μn)。

對上式兩邊同取上極限,并由(26)可得

因此

r(zj，{μn})≤r(y，{μn})，?y∈K?X。

所以

故

第四步。證明limn→∞d(xn,p)=0。

利用(24),(25)以及SS1,SS2,T1,T2中有一個是半緊的,可知{xn}存在的一個子序列{xni}?{xn}強收斂到p∈K。而且由SS1,SS2,T1,T2的連續(xù)性可知:對于任意i=1,2有下面兩式成立

即p∈B。又由第一步:極限limn→∞d(xn,p),p∈B存在。所以limn→∞d(xn,p)=0。定理證畢。

(28)

其中νn∈SS2xn,μn∈SS1yn,d(νn,μn)≤H(SS2xn,SS1yn)+τn,{τn},{αn},{βn}滿足下列條件:

(3)‖xn-p‖=d(xn,p),‖yn-p‖=d(yn,p);

(4)d(x,Tiy)≤d(SSix,Tiy),?x,y∈K,i=1,2。

如果SS1,SS2,T,T2中有一個是半緊的,則(28)所定義的序列{xn}(在度量拓?fù)渲衖.e.)強收斂到一個不動點p∈B。

證明:在(3)中令Ti=I,i=1,2。因為滿足定理2.1中所有的條件,所以由定理2.1可得序列{xn}強收斂到B中的一個公共不動點。定理證畢。

(29)

其中νn∈SS2xn,μn∈SS1yn,d(νn,μn)≤H(SS1xn,SS2yn)+τn,{τn},{αn},{βn}滿足下列條件:

(3)‖xn-p‖=d(xn,p),‖yn-p‖=d(yn,p)。

如果SS1,SS2中有一個是半緊的,則(29)所定義的序列{xn}(在度量拓?fù)渲衖.e.)強收斂到一個不動點p∈B。

證明:在(28)中令Ti=I,i=1,2。因為滿足定理2.1中所有的條件,所以由定理2.2可得序列{xn}強收斂到B中的一個公共不動點。定理證畢。

(30)

其中νn∈SS2xn,μn∈SS1yn,d(νn,μn)≤H(SS2xn,SS1yn)+τn,{τn},{αn},{βn}滿足下列條件:

(3)‖xn-p‖=d(xn,p),‖yn-p‖=d(yn,p);

(4)d(x,Tiy)≤d(SSix,Tiy),?x,y∈K,i=1,2。

如果SS1,SS2,T,T2中有一個是半緊的,則(30)所定義的序列{xn}(在度量拓?fù)渲衖.e.)強收斂到一個不動點p∈B。

證明:在(3)中令SSi=I,i=1,2。因為滿足定理2.1中所有的條件,所以由定理2.1可得序列{xn}強收斂到B中的一個公共不動點。定理證畢。