張小青，張玉葉，郝海燕

1.咸陽師范學院 物理與電子工程學院，陜西 咸陽 712000

2.西安電子科技大學 機電工程學院，西安 710071

1 引言

隨著計算機的發(fā)展，各種智能控制器也應運而生，模仿生物群體功能的智能優(yōu)化控制器越來越受到眾多學者與科研人員的關注。目前較為典型的智能控制器的算法有遺傳算法[1]、粒子群算法[2]、蟻群算法[3]、蜂群算法[4]、魚群算法[5]等，在近幾年又提出了一種蒼狼優(yōu)化算法（Grey Wolf Optimizer，GWO）。蒼狼主要產于歐洲與北美，是一種較具戰(zhàn)斗力的狼。蒼狼獵食常是一種聚群行為，狼群里各個個體通過相互溝通與合作，常常能將體型遠遠大于其自身體型的獵物捕獲。正是受蒼狼群體捕獵的啟發(fā)，2014年蒼狼優(yōu)化算法被提了出來[6]。

蒼狼優(yōu)化算法一方面由于其簡單、通用性強，在理論和工程上都得到了一定的青睞，很快使其在各行各業(yè)的工程上得到了較好應用，主要包括電力系統(tǒng)領域及其相關的參數(shù)優(yōu)化控制[7-10]、永磁同步電動機混沌控制[11]、多層感知器的訓練[12]、表面波參數(shù)估計[13]、光普波段尋優(yōu)選擇[14]等。但另一方面由于其本身存在探索深度淺，開發(fā)能力差且易限于局部最優(yōu)等缺點，又使得該算法在實際應用中受限。文獻[15]針對蒼狼算法進行了改進，提出了一種針對搜索狼中較差的個體進行重新定位的改進蒼狼優(yōu)化算法（GWO-EPD），在一定程度上提高了原算法的開發(fā)與探索能力，但從算法的實驗驗證結果中發(fā)現(xiàn)其搜索效果依然不太令人滿意，因此為了更好地提升GWO性能，提出了一種新的混合改進的蒼狼優(yōu)化算法，結合自主搜索、差狼淘汰重組及優(yōu)秀狼差分變異的思想構成了混合蒼狼優(yōu)化算法（MAR-GWO）。

2 算子分析

在GWO算法[6]中，蒼狼分為四個等級，最高等級為alfa(α)狼，第二等級為beta(β)狼，第三等級為delta(δ)狼，此為三領導層狼，最后一等級為搜索狼即omega(ω)狼。α、β及δ狼一般在數(shù)量上僅設一只，而ω狼可設為幾十只[16]。GWO算法關鍵在于ω狼的搜索行為，ω狼的搜索算法描述如下：

上面公式隱含著搜索狼僅在α、β及δ狼附近進行獵物抓捕行動，其中Xα、Xβ、Xδ分別是α、β與δ狼當前所在的位置矢量，X(t)是當前ω狼所在的位置矢量，X(t+1)是更新后的ω狼所在的位置矢量，C1、C2、C3分別是圍繞α、β及δ狼搜索時的權值，C值小，在對應的領導層蒼狼周圍小范圍內執(zhí)行搜索，C越大，則在對應領導層蒼狼周圍越大范圍內執(zhí)行搜索。D用來計算ω狼到α、β及δ三領導層狼之間的距離，又用A來體現(xiàn)相應距離D的權重。A相應取值范圍為[－1，1]，A與C 的通用計算 A=2a·r1-a，C=2·r2，r1、r2是[0，1]范圍內的隨機向量，a中的元素是隨迭代次數(shù)從2遞減到0的數(shù)。

在標準蒼狼優(yōu)化算法中，ω狼僅在α、β及δ狼的基礎上進行搜索，一旦α、β及δ狼全部處于某一局部最優(yōu)附近的可行域時，算法較容易陷入局部最優(yōu)，而且算法中α、β及δ只有當搜索狼的性能優(yōu)越時才會被動地更新，這使得算法總體的開發(fā)與探索能力都不是很強。新的混合算法在GWO算法的基礎上吸收進α、β及δ狼的自主搜索、性能較差的搜索狼淘汰重組機制及部分優(yōu)秀搜索狼按概率變異等算子，以提升算法的開發(fā)與探索能力。這里所說的性能好壞是依據(jù)蒼狼位置矢量求出來的性能值的好壞來衡量的，例如在求最小值問題中，如果某蒼狼位置矢量代入問題中求得的解值越小，即認為其性能值越小，則該蒼狼性能越優(yōu)越。

2.1 自主搜索算子

自主搜索算子又被稱為主動捕獵（Preying initiatively）[16]算子，指狩獵者在其可視范圍內自主進行捕獵，其計算算子為：

式中x(i)是當前狩獵者的第i維狀態(tài)的位置值，等號右邊的第二部分可以認為是自主搜索的步長，其中λ是捕獵速度，r為可視范圍，rand()為[－1，1]間的隨機數(shù)。此算子又可以理解為在狩獵者周圍一個大小為λ×r的圓域范圍內進行隨機自主搜索，其中可視范圍r是一定值，與變量搜索范圍有關。為了更好地體現(xiàn)變量搜索范圍(xmax，xmin)與搜索步長的關系，將自主搜索算子式（8）改為：

式（8）中的rand()項用式（9）中的正弦項替代，表示每只蒼狼在其周圍h個方向進行自由搜索，式（9）中xid為第i只蒼狼的第d維狀態(tài)的位置值，為xid在第p個方向自主搜索后的位置值，其中 p=1,2,…,h，xmax、xmin分別為d維狀態(tài)變量的最大、最小取值，λ為搜索速度，通?？扇?，τ為步長因子。τ越大表示搜索越細密，精度越高，但計算量也會越大，搜索效果進展可能會越慢，所以一般自主搜索需要權衡τ的取值。

2.2 淘汰重組算子

對性能較差的搜索狼提出淘汰重組機制，目的是優(yōu)化搜索資源，提高搜索效率[17]。重組算子如下：

2.3 優(yōu)秀搜索狼變異算子

優(yōu)秀搜索狼的變異行為算子的引入是為了進一步全面擴展算法的搜索域，采用按概率進行的差分進化變異，算法如下：

3 混合蒼狼優(yōu)化算法的設計

結合以上所述，給出混合蒼狼優(yōu)化算法的結構如下：

步驟1初始化。

（1）隨機在搜索空間中產生alfa(α)、beta(β)、delta(δ)及omega(ω)群體。

（2）計算α_score、β_score、δ_score初始性能值。

（3）初始化自主捕獵方向數(shù)h、步長因子τ、變異概率Pm等相關參數(shù)。

（4）G=l%迭代次數(shù)計數(shù)

步驟2越界判斷與處理。

步驟3根據(jù)具體的問題，求取各omega(ω)蒼狼的性能值。

If omega(ω)性能優(yōu)于alfa(α)、beta(β)或delta(δ)

omega(ω)替換alfa(α)、beta(β)或delta(δ)

else alfa(α)、beta(β)或 delta(δ)保持不變 end

步驟4 自主捕獵階段：alfa(α)、beta(β)、delta(δ)采用式（9）進行自主捕獵行為。

步驟5按式（1）至式（7）更新omega搜索狼的位置。

步驟6優(yōu)秀狼差分變異階段。

（1）對性能優(yōu)良的R_num只搜索狼按公式（11）進行差分變異

（2）貪婪選擇：If變異后的搜索狼優(yōu)于父代搜索狼

變異后代被保存else變異失敗 end

步驟7淘汰重組階段：對性能較差的搜索狼按式（10）進行淘汰重組操作。

步驟8 IfG≥Gmax

結束運行并輸出最優(yōu)解和最優(yōu)個體

else轉至步驟2 end

4 仿真實驗

在這一章中把混合蒼狼優(yōu)化算法（MAR-GWO）應用到13個標準全局最優(yōu)問題中，第一組為表1所示單峰尋優(yōu)問題；第二組為表2所示多峰尋優(yōu)問題。把MARGWO分別與GWO算法、GWO-EPD算法、粒子群算法（PSO）及進化算法（EA）進行比較，最大迭代次數(shù)均為500次，每個實驗重復30次。所有實驗中各算法的參數(shù)取值均一致，如表3所示。

4.1 單峰問題尋優(yōu)分析

表4為單峰函數(shù)的數(shù)值尋優(yōu)結果，表中AVE為30次重復實驗得到的平均尋優(yōu)值，STD為標準偏差，BEST為重復實驗中的最佳尋優(yōu)值，WORST為最差尋優(yōu)值，多峰問題尋優(yōu)結果的符號表述與此相同。在實驗過程發(fā)現(xiàn)從 f1～f4，MAR-GWO算法均能100%找到其理論最優(yōu)值0，這相對于其他算法來說其尋優(yōu)能力占有明顯的優(yōu)勢。雖然 f5和 f6的結果在所對比的算法中不是最優(yōu)的，但其實驗結果明顯優(yōu)于標準的GWO算法。圖1給出了GWO、MAR-GWO、GWO-EPD、PSO及EA五種算法在單峰函數(shù)尋優(yōu)迭代過程中最優(yōu)軌跡圖。從軌跡圖來看，對于 f1～f4的結果圖來說，始終未見MAR-GWO的軌跡曲線，這是由于MAR-GWO在 f1～f4中的尋優(yōu)過程中收斂過快引起的。由于其收斂速度非?？?，以至于在橫坐標為500時迭代次數(shù)過小而不容易顯示清楚，放大后的軌跡圖如圖2所示。從圖2看，f1～f4基本在第2次迭代就已得到了理論最優(yōu)值0，這充分說明了混合蒼狼優(yōu)化算法MAR-GWO具有很強的尋優(yōu)能力。需說明的是圖1的縱坐標為以10為底的對數(shù)坐標，橫坐標為線性坐標。

表1 單峰標準函數(shù)

表2 多峰標準函數(shù)

表3 算法參數(shù)取值說明

4.2 多峰問題尋優(yōu)分析

表2中各函數(shù)維數(shù)都為30維，難點在于避免進入局部最優(yōu)。表5為多峰函數(shù)尋優(yōu)數(shù)值結果，對于 f8～f11，MAR-GWO算法尋優(yōu)結果具有較明顯的優(yōu)勢，尤其對于f9～f11，在實驗中MAR-GWO基本是100%能尋到其理論最佳值0，這一點通過尋優(yōu)軌跡圖（圖3）也可看出。在圖3中，f9～f11的軌跡曲線中又不見MAR-GWO的曲線，這與前面一樣，說明該算法在此函數(shù)尋優(yōu)過程中收斂相當快，穩(wěn)定性好。雖然在 f12～f13的尋優(yōu)中，MARGWO不是最優(yōu)，但其尋優(yōu)結果顯然都要優(yōu)于標準

GWO，這在一定程度上說明MAR-GWO改進的方向是正確的。另外，對于 f8與 f10的MAR-GWO尋優(yōu)軌跡基本都在左下角與坐標軸重疊處，這也意味著算法收斂速度很快。

表4 單峰尋優(yōu)結果

圖1 單峰標準函數(shù)尋優(yōu)實驗迭代軌跡圖

圖2 f1～f4放大后的迭代軌跡圖（MAR-GWO）

表5 多峰函數(shù)尋優(yōu)結果

圖3 多峰標準函數(shù)尋優(yōu)實驗迭代軌跡圖

圖4 搜索方向數(shù)h對控制算法的影響分析

5 參數(shù)對控制算法的影響

本章只研究自主捕獵中的兩個比較重要的參數(shù)（步長因子τ與搜索方向數(shù)h）對控制算法性能的影響。

5.1 步長因子τ對控制算法的性能影響

把步長因子設定在2 000到20 000之間，以間隔2 000為步長進行測試，在每個步長確定的情況下進行30次重復試驗，記錄4個函數(shù)的平均值，共測試得到10個數(shù)據(jù)點，列表如表6。

表6 步長因子τ的影響分析

如果不考慮計算機的計算能力有限，理論上增加步長，即可增加算法的開發(fā)深度，但事實上，從實驗所得的數(shù)據(jù)來分析，步長τ增加的過程中，其最優(yōu)平均值的變化并不是按照單一的方向進行增加或減少，而是在迂回振蕩，不同的問題由于變量取值范圍不同，最佳的步長因子τ也不一樣。經(jīng)分析 f4與 f12的最佳步長因子τ大約為12 000，而 f5與 f10的最佳步長因子τ大約為10 000。

5.2 搜索方向數(shù)h對控制算法的性能影響

一般，h對算法的影響規(guī)律：h越小開發(fā)能力越強，但其探索能力相應減弱；h越大則算法的開發(fā)能力變弱但其探索能力會相應地加強。所以在調試算法參數(shù)時需選擇合適的h值。圖4以 f5、f7、f12為例，通過改變搜索方向數(shù)h來研究MAR-GWO優(yōu)化算法的性能。f5、f7為單峰函數(shù)，f12為多峰函數(shù)，從大體上來看h對單峰函數(shù)的性能影響規(guī)律更明顯些，從圖4大致可以得知，f5的最佳h約在20附近，f7可以近似認為h最佳值在20～2 dim附近，但 f12則似乎不只顯示一個最佳值，在h為10 dim與3 dim處出現(xiàn)了明顯的相差不遠的谷值，這可以歸為算法在多峰問題中開發(fā)與探索能力兩方面的均衡結果。

6 總結

考慮到提高算法開發(fā)與探索能力，針對標準GWO算法，引入了α、β、δ領導層蒼狼的自主捕獵算子、對性能較差蒼狼的淘汰重組機制及優(yōu)秀蒼狼按概率變異算子，最終提出了一種混合蒼狼優(yōu)化算法，即MAR-GWO算法。以高維13個標準函數(shù)作為尋優(yōu)對象，并把改進的GWO算法（GWO-EPD）、PSO算法、EA算法等作為比較算法，分別進行了數(shù)值尋優(yōu)實驗。相比于標準GWO算法，MAR-GWO尋優(yōu)效果均優(yōu)越得多，提高了算法克服局部最優(yōu)的能力。另外，從各函數(shù)軌跡圖來看，MAR-GWO收斂速度要較標準GWO快得多。與改進后的算法GWO-EPD的結果相比，優(yōu)勢也很明顯，MARGWO具有很強的競爭力。

步長因子τ與搜索方向數(shù)h對控制算法的性能有一定的影響，對于性能要求不是太高的場合，一般取τ=2 000～6 000，h=20～50之間的某定值可滿足要求，否則需具體問題具體確定其參數(shù)值。