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        基于平均邏輯相似度的α-反向三I算法的魯棒性

        2018-08-01 07:45:48惠小靜
        計算機工程與應用 2018年15期

        王 蓉,惠小靜,井 美

        延安大學 數(shù)學與計算機科學學院,陜西 延安 716000

        1 引言

        模糊控制的理論基礎(chǔ)是模糊推理,1973年,Zadeh提出了模糊推理的CRI[1]算法,但是CRI算法不具有還原性且缺乏嚴格的邏輯基礎(chǔ)。因此,我國學者王國俊教授等提出了模糊推理的三I[2]算法,該算法有良好的邏輯基礎(chǔ)。因此諸多學者對此進行了研究,文獻[3]提出反向三I支持算法和反向三I約束算法理論;文獻[4]研究了基于反向支持度的三I算法;文獻[5]研究了基于反向三I約束算法等。

        設(shè)L是模糊推理系統(tǒng),A是L中的模糊輸入,B是L中的模糊輸出。如果模糊輸入A的微小偏差不會對模糊輸出B產(chǎn)生很大的影響,則稱模糊推理系統(tǒng)L具有良好的魯棒性。魯棒性問題與控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性有著密切的聯(lián)系,因此許多學者對此進行了研究。文獻[6]介紹了模糊集擾動的概念;文獻[7]研究了CRI算法的魯棒性;文獻[8]研究了三I算法的魯棒性。文獻[9]用靈敏度的方法討論了模糊推理的魯棒性;文獻[10]基于Minkowski距離研究了模糊推理的魯棒性;文獻[11]基于Moore距離研究了區(qū)間值模糊推理三I算法的魯棒性。

        用什么去衡量兩個模糊集之間的偏差,文獻[12]提出一種新的衡量模糊集之間遠近程度的擾動參數(shù),即極小邏輯相似度,極小邏輯相似度最終是用取小算子去對原始數(shù)據(jù)進行聚合,這樣容易導致信息丟失。因此文獻[13]是在極小相似度的基礎(chǔ)上提出了一種新的擾動參數(shù):平均邏輯相似度,采用平均邏輯相似度對原始數(shù)據(jù)做了更精細的處理,比極小相似度保留更多信息,其所得到的結(jié)果越精確。因此,在上述工作的基礎(chǔ)上以平均邏輯相似度為擾動參數(shù)分別討論了α-反向三I支持算法和α-反向三I約束算法的魯棒性。

        2 預備知識

        X、Y為非空論域,F(xiàn)(X)、F(Y)分別是論域X與

        定義2.3[14]T是格L上的t-模,若存在另一個二元算子?:L2→L使得:T(a,b)≤c,當且僅當a≤?(b,c),a,b,c∈L,則稱(T,?)為L上的伴隨對,并且稱(L,T,?)為剩余格。

        定義2.4[14]設(shè)T是格L上的左連續(xù)的t-模,則存在另一個二元算子?:L2→L使得(T,?)為L上的伴隨對,其中

        以下,稱?是由T誘導的剩余蘊涵。

        定義2.5[15]設(shè)→:[0,1]2→[0,1]是[0,1]上的二元算子,若滿足如下條件:

        (1)0→0=1,0→1=1,1→1=1,1→0=0。

        (2)關(guān)于第一變量不增,第二變量不減。則稱→是[0,1]上的模糊蘊涵算子。

        定義2.6[14]設(shè)→是[0,1]上的二元算子,若對任意的a,b,c,d∈[0,1],→滿足如下條件:

        (1)a→b=1當且僅當a≤b。

        (2)a≤b→c當且僅當b≤a→c。

        (3)a→(b→c)=b→(a→c)。

        (4)1→a=a。論域Y上的模糊集的全體。

        定義2.1[14]設(shè)L為完備格,二元算子T:L2→L被稱為L上的一個t模,如果T滿足交換律、結(jié)合律,對每個變量都不減,且?x∈L,T(1,x)=x。

        定義2.2[14]設(shè)T是格L上的t-模,T稱為左連續(xù)的,如果對L的任意非空子集B,以下等式成立:

        (6)a→b關(guān)于a單調(diào)不增,且關(guān)于b單調(diào)不減,那么→稱為[0,1]上的正則蘊涵算子。

        定義2.7[16]設(shè)(L,T,?)是剩余格,?a,b∈L,規(guī)定

        a?b=?(a,b)∧?(b,a),a,b∈L以下記為s(a,b)=a?b。

        定義2.8[17]設(shè) X={x1,x2,…,xn},A,B∈F(X),→ 是[0,1]上滿足的模糊蘊涵,令

        稱S?(A,B)為A與B的平均邏輯相似度。

        3 邏輯連接詞的魯棒性

        引理 3.1[17]設(shè) |X|=n,A,A′,B,B′∈F(X),x∈X,→是[0,1]上滿足a+(a→b)≤1+b的正則蘊涵,T是L上左連續(xù)t-模,?是T生成的剩余蘊涵,則有以下的不等式:

        (1)s(A(x)∨ B(x),A′(x)∨ B′(x))≥s(A(x),A′(x))+s(B(x),B′(x))-1。

        (2)s(A(x)∧ B(x),A′(x)∧ B′(x))≥s(A(x),A′(x))+s(B(x),B′(x))-1。

        (3)s(T(A(x),B(x)),T(A′(x),B′(x)))≥s(A(x),A′(x))+s(B(x),B′(x))-1。

        (4)s(?(A(x),B(x)),?(A′(x),B′(x)))≥s(A(x),A′(x))+s(B(x),B′(x))-1。

        命題3.1[17]設(shè)|X|=n,A,A′,B,B′∈F(X),x∈X,→是[0,1]上滿足a+(a→b)≤1+b的正則蘊涵,T是L上左連續(xù) t-模,? 是 T 生成的剩余蘊涵,若 S?(A,A′)≥δ1,S?(B,B′)≥δ2則

        S?(A°B,A′°B′)≥δ1+δ2-1,其中°∈{∧,∨,?,T}

        命題3.2[17]設(shè) |X|=n,A,A′,B,B′,C,C′∈F(X),x∈X,→是[0,1]上滿足a+(a→b)≤1+b的正則蘊涵,T是L上左連續(xù)t-模,?是T生成的剩余蘊涵,若S?(A,A′)≥δ1,S?(B,B′)≥δ2,S?(C,C′)≥δ3,則

        S?(T(C,?(A,B)),T(C′,?(A′,B′)))≥δ1+δ2+δ3-2

        4 α反向三I算法的魯棒性

        本章以平均邏輯相似度作為擾動參數(shù)分別討論了α-反向三I支持算法和α-反向三I約束算法的魯棒性。

        引理4.1[17]令 ai,bi∈[0,1],i=1,2,…,n,→ 是滿足a+(a→b)≤1+b的正則蘊涵。則有:

        定理4.1[18]設(shè)([0,1],T,?)是剩余格,α∈[0,1]。A,A?∈F(X),B,B?∈ F(Y),則:

        (1)FMP(A,B,A?)的 α-反向三I支持算法解 B?的形式如下:

        (2)FMT(A,B,B?)的 α-反向三I支持算法解 A?的形式如下:

        定理4.2 設(shè)→是[0,1]上滿足a+(a→b)≤1+b的正則蘊涵,T是L上左連續(xù)t-模,?是T生成的剩余蘊 涵 。 令 |X|=n,|Y|=m,A,A′,A?,A?′∈F(X),B,B′,B?,B?′∈F(Y)且 B?和 B?′分別是定理4.1FMP(A,B,A?)和FMP(A′,B′,A?′)的 α-反向三I支持算法的解。

        若 S?(A,A′)≥δ1,S?(B,B′)≥δ2,S?(A?,A?′)≥δ3,則S?(B?,B?′)≥1-n(3-δ1-δ2-δ3)。

        證明 S?(B?,B?′)=

        定理4.3 設(shè)→是[0,1]上滿足a+(a→b)≤1+b的正則蘊涵,T是L上左連續(xù)t-模,?是T生成的剩余蘊 涵 。 令 |X|=n,|Y|=m,A,A′,A?,A?′∈F(X),B,B′,B?,B?′∈F(Y)且 A?和 A?′分別是定理 4.1FMT(A,B,B?)和 FMT(A′,B′,B?′)的 α-反向三I支持算法的解。

        若 S?(A,A′)≥δ1,S?(B,B′)≥δ2,S?(B?,B?′)≥δ3則S?(A?,A?′)≥1-m(3-δ1-δ2-δ3)。

        證明 S?(A?,A?′)=

        注 由定理4.2和定理4.3可知當假設(shè)δi(i=1,2,3)無限接近1,可得 S?(B?,B?′)也非常接近1。由以上事實可見,當輸入A,B和A?存在微小偏差將會導致FMP(A,B,A?)的α-反向三I支持算法的解B?微小的改變。因此關(guān)于FMP問題的α-反向三I支持算法有良好的魯棒性。同理分析可知FMT問題的α-反向三I支持算法也具有良好的魯棒性。

        定理4.4[19]設(shè)([0,1],T,?)是剩余格,α∈[0,1]A,A?∈F(X),B,B?∈ F(Y),則

        (1)FMP(A,B,A?)的 α-反向三I約束算法解 B?的形式如下:

        (2)FMT(A,B,B?)的 α-反向三I約束算法解 A?的形式如下:

        定理4.5 設(shè)→是[0,1]上滿足a+(a→b)≤1+b的正則蘊涵,T是L上左連續(xù)t-模,?是T生成的剩余蘊 涵 。 令 |X|=n,|Y|=m,A,A′,A?,A?′∈F(X),B,B′,B?,B?′∈F(Y),且 B?和 B?′分別是定理4.4FMP(A,B,A?)和 FMP(A′,B′,A?′)的 α-反向三I約束算法的解。

        若 S?(A,A′)≥δ1,S?(B,B′)≥δ2,S?(A?,A?′)≥δ3,則S?(B?,B?′)≥1-n(3-δ1-δ2-δ3)。

        證明 S?(B?,B?′)=

        定理4.6 設(shè)→是[0,1]上滿足a+(a→b)≤1+b的正則蘊涵,T是L上左連續(xù)t-模,?是T生成的剩余蘊 涵 。 令 |X|=n,|Y|=m,A,A′,A?,A?′∈F(X),B,B′,B?,B?′∈F(Y)且 A?和 A?′分別是定理 4.4FMT(A,B,B?)和 FMT(A′,B′,B?′)的 α-反向三I約束算法的解。

        若 S?(A,A′)≥δ1,S?(B,B′)≥δ2,S?(B?,B?′)≥δ3,則S?(A?,A?′)≥1-m(3-δ1-δ2-δ3)。

        證明 S?(A?,A?′)=

        注 由定理4.5和定理4.6可知當假設(shè)δi(i=1,2,3)無限接近1,可得 S?(B?,B?′)也非常接近1。由以上事實可見,當輸入 A,B和 A?存在微小偏差將會導致FMP(A,B,A?)的 α-反向三I約束算法解 B?微小的改變。因此關(guān)于FMP問題的α-反向三I約束算法有良好的魯棒性。同理分析可知FMT問題的α-反向三I約束算法也具有良好的魯棒性。

        5 結(jié)束語

        本文以平均邏輯相似度作為衡量擾動的指標,分別研究了α-反向三I支持算法和α-反向三I約束算法的魯棒性。把模糊集拓展到區(qū)間值模糊集,討論基于區(qū)間值模糊推理α-反向三I支持算法和基于區(qū)間值模糊推理α-反向三I約束算法的魯棒性,將于另文中討論。

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