賈寶惠，耿喆元，藺越國(guó)，王毅強(qiáng)

（中國(guó)民航大學(xué)航空工程學(xué)院，天津 300300）

偶然損傷是飛機(jī)結(jié)構(gòu)損傷的三大來(lái)源之一[1]，是飛機(jī)在使用期間受到隨機(jī)事件或非計(jì)劃事件影響而造成飛機(jī)結(jié)構(gòu)出現(xiàn)損傷，其表現(xiàn)為變形、開(kāi)裂、穿孔或其它受損結(jié)構(gòu)、分層或脫膠。民用飛機(jī)維修大綱的制定有利于對(duì)飛機(jī)的偶然損傷進(jìn)行恰當(dāng)?shù)木S修和維護(hù)，其具有重要意義[2]。偶然損傷貫穿民用飛機(jī)使用的全過(guò)程，具有隨機(jī)性和偶然性，因而維修大綱中偶然損傷的維修等級(jí)和維修間隔較難界定。

民航事故征候，是指在航空器運(yùn)行階段或在機(jī)場(chǎng)活動(dòng)區(qū)內(nèi)發(fā)生的與航空器有關(guān)的、不構(gòu)成事故但影響或可能影響安全的事件[3]。ICAO安全管理手冊(cè)中描述了事故、事故征候及近似事故征候之間的關(guān)系，即每一起事故發(fā)生前，平均有29起事故征候和300起近似事故征候發(fā)生[4]。因此對(duì)偶然損傷事故征候的分析和預(yù)測(cè)與航空安全息息相關(guān)。

灰色系統(tǒng)理論是由鄧聚龍[5]提出的一種新方法，主要研究“小樣本、貧信息”的不確定性系統(tǒng)，目前已廣泛應(yīng)用于電力、生物醫(yī)學(xué)、機(jī)械等領(lǐng)域[6-9]。GM（1，1）模型是灰色系統(tǒng)中最常用的一個(gè)模型，其本質(zhì)是以指數(shù)型曲線(xiàn)去擬合原始數(shù)據(jù)，繼而預(yù)測(cè)出一條較為平滑的曲線(xiàn)。但GM（1，1）模型對(duì)于波動(dòng)性較大的數(shù)據(jù)列擬合較差、預(yù)測(cè)精度較低，而Markov預(yù)測(cè)理論以其獨(dú)有的無(wú)后效性，即系統(tǒng)將來(lái)所處狀態(tài)只與系統(tǒng)現(xiàn)在的狀態(tài)有關(guān)，而與系統(tǒng)過(guò)去的狀態(tài)無(wú)關(guān)，可對(duì)灰色模型進(jìn)行修正。灰色馬爾可夫模型，一方面利用GM（1，1）模型使數(shù)據(jù)序列滿(mǎn)足了馬爾可夫的前提條件，即無(wú)后效性和平穩(wěn)過(guò)程等均值特點(diǎn)；另一方面，馬爾可夫模型又解決了對(duì)隨機(jī)波動(dòng)性較大序列的預(yù)測(cè)問(wèn)題，提高了預(yù)測(cè)精度，在交通、商業(yè)、林業(yè)、能源等領(lǐng)域得到應(yīng)用[10-12]。

偶然損傷事故征候受到天氣因素、機(jī)械、地面保障、機(jī)組、機(jī)務(wù)、空管或其他不可控因素影響，屬于動(dòng)態(tài)的時(shí)變系統(tǒng)。利用灰色馬爾可夫模型建立偶然損傷事故征候的預(yù)測(cè)模型，并利用新陳代謝法進(jìn)行改進(jìn)，避免了專(zhuān)家打分帶來(lái)的主觀(guān)影響，可以對(duì)短期和中長(zhǎng)期的偶然損傷事故征候進(jìn)行預(yù)測(cè)，為偶然損傷的預(yù)防性維修方案提供預(yù)測(cè)模型支持。

1 灰色馬爾可夫模型的建立

1.1 灰色 GM（1，1）模型

灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)模型具有所需信息較少、計(jì)算簡(jiǎn)便、精度較高等特點(diǎn)。灰色GM（1，1）模型建模過(guò)程如下：

1）給定原始的數(shù)據(jù)序列

3）構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣B和數(shù)據(jù)向量Y，即

4）由累加生成的數(shù)列X（1）得到白化微分方程

5）根據(jù)最小二乘估計(jì)算法得到白化微分方程中的參數(shù)a、u為

6）將求解出的參數(shù)向量代入微分方程，對(duì)微分方程進(jìn)行求解，得到 GM（1，1）模型

7）將上式進(jìn)行累減還原，得到預(yù)測(cè)值

其中：a為發(fā)展系數(shù)；b為灰色作用量。

8）對(duì)預(yù)測(cè)值進(jìn)行精度檢驗(yàn)：

殘差公式為

相對(duì)誤差公式為

9）后驗(yàn)差檢驗(yàn)：

a）原始數(shù)列的均值為

b）原始數(shù)列的方差為

c）殘差的均值為

d）殘差的方差為

e）后驗(yàn)差比值為

f）小誤差概率為

表1給出了各指標(biāo)值的大小與模型精度之間的關(guān)系，如果一個(gè)灰色模型的相對(duì)誤差△t、后驗(yàn)差比值C、小誤差概率P都處于“好”的等級(jí)，則認(rèn)為該模型精度較高，適合應(yīng)用?；疑Ｐ徒⒌牧鞒虉D如圖1所示。

表1 模型精度檢驗(yàn)等級(jí)Tab.1 Model accuracy testing level

圖1 灰色GM（1，1）模型預(yù)測(cè)體系Fig.1 Forecast system based on GM（1，1）model

1.2 狀態(tài)劃分

馬爾可夫模型中狀態(tài)劃分常用樣本均方差法、模糊聚類(lèi)法和有序聚類(lèi)法這三種方法來(lái)定義狀態(tài)區(qū)間，實(shí)際問(wèn)題中統(tǒng)計(jì)指標(biāo)值均按一定次序排列，在劃定狀態(tài)時(shí)不能隨意調(diào)整。偶然損傷事件事故征候的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與年份緊密相關(guān)，打亂順序會(huì)破壞事實(shí)原有的客觀(guān)性。因此采用有序聚類(lèi)的方法將偶然損傷事故征候分成n個(gè)狀態(tài)。其任意一個(gè)狀態(tài)可表示為

馬爾可夫鏈的最終預(yù)測(cè)值也一定落在某個(gè)[⊕1i，⊕2i]區(qū)間內(nèi)，因此可用區(qū)間的中值去估計(jì)預(yù)測(cè)值，即

1.3 灰色馬爾可夫模型

已知過(guò)程在t0時(shí)刻所處的狀態(tài)，系統(tǒng)在t＞t0所處狀態(tài)的分布及過(guò)程與t0之前所處的狀態(tài)無(wú)關(guān)，只與現(xiàn)在的狀態(tài)有關(guān)，則稱(chēng)之為馬爾可夫過(guò)程。而時(shí)間和狀態(tài)都離散的馬爾可夫過(guò)程稱(chēng)作馬爾可夫鏈。依據(jù)C-K方程

可以根據(jù)已知現(xiàn)在的分布和構(gòu)造轉(zhuǎn)移矩陣的方法來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)狀態(tài)。一般地，用fij表示從狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的頻數(shù)。根據(jù)概率的穩(wěn)定性，可以近似地用轉(zhuǎn)移頻率來(lái)估計(jì)轉(zhuǎn)移概率，即，其中Pij為轉(zhuǎn)移概率，表示從狀態(tài)i到狀態(tài)j的概率。由Pij組成的矩陣就是馬爾可夫鏈中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，即

圖2 灰色馬爾可夫鏈模型建模流程圖Fig.2 GM（1,1）chain modeling flowchart

2 偶然損傷事故征候預(yù)測(cè)實(shí)例

采用《中國(guó)民用航空安全信息分析報(bào)告》，針對(duì)2005—2014年偶然損傷事故征候的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，如表2所示，檢驗(yàn)灰色馬爾可夫模型的精度并對(duì)偶然損傷事故征候進(jìn)行預(yù)測(cè)。

表2 2005—2014中國(guó)偶然損傷事故征候事件數(shù)Tab.2 Accidental damage incidents in China 2005—2014

2.1 建立 GM（1，1）模型

根據(jù)1.1節(jié)中的GM（1，1）模型，用Matlab編寫(xiě)程序求得系數(shù)矩陣為

將 a=-0.150 2，u=83.139 2代入式（7）得

表3 灰色模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值對(duì)照及狀態(tài)劃分Tab.3 Comparison and state devision between GM（1,1）forecast and actual values

對(duì)灰色模型進(jìn)行精度校核，分別計(jì)算殘差檢驗(yàn)Δt、后驗(yàn)差檢驗(yàn)C和小誤差概率P，結(jié)果如表4所示。

表4 精度檢驗(yàn)Tab.4 Accuracy test

根據(jù)表1中的精度標(biāo)準(zhǔn)，表4中的后驗(yàn)差比值C=0.182 6，小于 0.35，小誤差概率 P=1，大于 0.95，所以GM（1，1）模型在偶然損傷事故征候中的應(yīng)用程度為“好”。

2.2 狀態(tài)劃分

依據(jù)1.2節(jié)中灰色模型的狀態(tài)劃分方法，根據(jù)實(shí)際值與預(yù)測(cè)值的比值，得到灰色GM（1，1）模型預(yù)測(cè)的相對(duì)變化率，依據(jù)相對(duì)變化率將偶然損傷事故征候轉(zhuǎn)化為⊕1、⊕2、⊕3這3個(gè)狀態(tài)，如表5所示。

表5 偶然損傷事故征候狀態(tài)劃分Tab.5 State division of accidental damage incidents

根據(jù)表5的狀態(tài)劃分區(qū)間，2002—2012中的數(shù)據(jù)狀態(tài)劃分結(jié)果如表3所示。

2.3 計(jì)算預(yù)測(cè)值

由表3得到馬爾可夫模型的一步轉(zhuǎn)移矩陣為

因?yàn)?014年的狀態(tài)處于⊕1，所以初始概率矩陣為Pa（0）=（1 0 0），則根據(jù)C-K狀態(tài)方程，2015年的狀態(tài)分布概率為

因此，2015年的狀態(tài)有66.67%的可能性處于狀態(tài) 1，根據(jù)⊕1的比值范圍是⊕1=[0.819 0，0.999 6]，結(jié)合灰色GM（1，1）模型對(duì)2015年的預(yù)測(cè)數(shù)值為419.197 6，可以求得2015年偶然損傷事故征候的事件數(shù)（0）（11）∈（343.322 8，419.029 9），而 2015 年偶然損傷事故征候的實(shí)際值為394，取值顯然在上述區(qū)間內(nèi)?？捎脜^(qū)間的中值381.18去估計(jì)2015年偶然損傷事故征候的預(yù)測(cè)值，但利用馬爾可夫轉(zhuǎn)移矩陣對(duì)灰色模型預(yù)測(cè)的結(jié)果進(jìn)行修正，可以得到精度更高的預(yù)測(cè)值。

圖3顯示了灰色模型與灰色馬爾可夫模型對(duì)偶然損傷事故征候的預(yù)測(cè)結(jié)果。由圖3可知，灰色模型在2005—2014年期間對(duì)偶然損傷總數(shù)事故征候趨勢(shì)的預(yù)測(cè)與實(shí)際值基本吻合，2011年、2013年的預(yù)測(cè)結(jié)果和真實(shí)值幾乎重合。但從2015年的預(yù)測(cè)結(jié)果看，灰色馬爾可夫模型的預(yù)測(cè)結(jié)果更接近真實(shí)值，也就是預(yù)測(cè)更加精準(zhǔn)。

圖3 偶然損傷事故征候的預(yù)測(cè)及實(shí)際值Fig.3 Accidental damage incident forecast and actual values

下面預(yù)測(cè)2016年的偶然損傷事故征候所處的狀態(tài)。根據(jù)C-K狀態(tài)方程，由于2016年位于最后一個(gè)年份及2014年之后的第2個(gè)時(shí)刻，所以考慮用兩步轉(zhuǎn)移矩陣，即

則2016年的狀態(tài)分布概率為

所以，根據(jù)馬爾可夫鏈的預(yù)測(cè)結(jié)果，2016年的偶然損傷事故征候狀態(tài)應(yīng)該處于狀態(tài)⊕1，但實(shí)際上2016年的偶然損傷事故征候數(shù)為548，與灰色模型在2016年預(yù)測(cè)值的比值是1.125 0，已超出了之前劃分的狀態(tài)，更不可能在狀態(tài)⊕1。造成這種結(jié)果的原因不是由于模型出現(xiàn)了錯(cuò)誤，而是在2005年航空安全信息網(wǎng)的使用還沒(méi)有普及，僅依靠各大航空公司自覺(jué)上傳數(shù)據(jù)，很多數(shù)據(jù)不完全。而2016年全新的航空信息安全平臺(tái)上線(xiàn)后，樣本數(shù)據(jù)量增加了，2005年的數(shù)據(jù)顯得過(guò)于陳舊，因此，在預(yù)測(cè)新一年的事故征候時(shí)，使用新陳代謝的灰色馬爾可夫模型進(jìn)行修正和預(yù)測(cè)。

2.4 改進(jìn)的灰色馬爾可夫模型的預(yù)測(cè)

新陳代謝GM（1，1）模型的建模思路是，去除原始數(shù)據(jù)中最舊數(shù)據(jù)（即2005年的數(shù)值），補(bǔ)充通過(guò)GM（1，1）模型剛剛預(yù)測(cè)出的2015年的事故征候值419，計(jì)算出新的GM（1，1）模型的系數(shù)矩陣為

新的預(yù)測(cè)模型為

根據(jù)新的 GM（1，1）模型，計(jì)算出 2006—2016年的偶然損傷事故征候的預(yù)測(cè)值如表6所示。

改進(jìn)模型的精度檢驗(yàn)如表7所示，后驗(yàn)差比值C=0.149 9，小于 0.35，小誤差概率 P=1，大于 0.95，所以GM（1，1）模型在偶然損傷事故征候中的應(yīng)用程度為“好”。依據(jù)相對(duì)變化率將偶然損傷事故征候轉(zhuǎn)化為⊕1、⊕2、⊕33個(gè)狀態(tài)，如表 8 所示。

依據(jù)表8的狀態(tài)劃分區(qū)間，將2005—2014年的數(shù)據(jù)狀態(tài)劃分結(jié)果列于表6。由表6得到計(jì)算所得新轉(zhuǎn)移概率矩陣為

表6 新陳代謝灰色模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值對(duì)照及狀態(tài)劃分Tab.6 Comparison and state devision between metabolism GM(1,1)forecast values and original data

表7 改進(jìn)模型精度檢驗(yàn)Tab.7 Accuracy test of advanced model

表8 改進(jìn)模型偶然損傷事故狀態(tài)劃分Tab.8 State division of accidental damage incidents for advanced model

由于2015年新的GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)值為421，而真實(shí)值為394，其相對(duì)變化率為0.934 2，因此2015年的偶然損傷事故征候在新陳代謝灰色馬爾可夫模型處于狀態(tài)⊕2，所以初始概率矩陣為Pa（0）=（0 1 0），則根據(jù)C-K狀態(tài)方程，2016年的狀態(tài)分布概率為

因此，2016年的狀態(tài)有50%的可能處于狀態(tài)3，根據(jù)⊕3的比值范圍是⊕3=[1.082 4，1.121 3]，結(jié)合灰色GM（1，1）模型對(duì)2015年的預(yù)測(cè)數(shù)值為491.052 8，可得2016年的預(yù)測(cè)區(qū)間為（531.458 4，550.617 5），而2016年偶然損傷事故征候的實(shí)際值為548，顯然在此區(qū)間內(nèi)，用中值去估計(jì)預(yù)測(cè)值為541.07，顯然利用新陳代謝灰色GM（1，1）模型可以抵消陳舊數(shù)據(jù)對(duì)模型的影響，也可以對(duì)未來(lái)年份的預(yù)測(cè)得到更精確的結(jié)果，其精度亦得到了提高。GM（1，1）模型、灰色馬爾可夫模型和改進(jìn)的灰色馬爾可夫模型的預(yù)測(cè)結(jié)果和精度比較如表9所示，新的模型曲線(xiàn)如圖4所示。

表9 三種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果和精度比較Tab.9 Comparison of forecast results and accuracy by three models

圖4 3種模型對(duì)偶然損傷事故征侯的預(yù)測(cè)與實(shí)際值Fig.4 Accidental damage incident forecast and actual values by three models

其中預(yù)測(cè)精度的計(jì)算公式為

由圖4可知，GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)曲線(xiàn)與偶然損傷原始數(shù)據(jù)的趨勢(shì)大致相同，可以較好地?cái)M合偶然損傷的發(fā)展?fàn)顟B(tài)。灰色馬爾可夫模型通過(guò)轉(zhuǎn)移矩陣對(duì)灰色模型進(jìn)行修正，得到了更為接近真實(shí)值的結(jié)果。改進(jìn)的灰色馬爾可夫模型通過(guò)新陳代謝的方法，去掉舊的數(shù)據(jù)，加入灰色模型預(yù)測(cè)出的新數(shù)據(jù)，曲線(xiàn)趨勢(shì)并沒(méi)有明顯變化，但是恰恰可以彌補(bǔ)灰色馬爾可夫模型對(duì)中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)的不足，使2016年的預(yù)測(cè)精度達(dá)到98%以上。

3 結(jié)語(yǔ)

偶然事故征候?qū)儆谏贅颖?、貧?shù)據(jù)的隨機(jī)系統(tǒng)。GM（1，1）模型對(duì)以年份作為基本時(shí)刻的偶然損傷事故征候預(yù)測(cè)效果較好，某些年份的預(yù)測(cè)值和真實(shí)值近似重合，表明利用GM（1，1）模型預(yù)測(cè)偶然損傷事故征候是有效的?；疑R爾可夫模型是在GM（1，1）模型預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)上，憑借馬爾可夫模型對(duì)無(wú)后效性事件預(yù)測(cè)上的優(yōu)勢(shì)，利用轉(zhuǎn)移矩陣對(duì)GM（1，1）的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行修正。修正之后精度明顯提升，可以有效地估計(jì)未來(lái)一年的偶然損傷事故征候數(shù)量。新陳代謝的灰色馬爾可夫模型，抵消了陳舊數(shù)據(jù)對(duì)模型預(yù)測(cè)的影響，改進(jìn)之后可以預(yù)測(cè)未來(lái)中長(zhǎng)期的發(fā)展趨勢(shì)，為偶然損傷可能性等級(jí)的評(píng)定以及預(yù)防性維修大綱的制定提供參考。