唐 婷

(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637009)

0 引言

1976年，Sanchez在文獻(xiàn)[1]中首先研究并給出了完備Brouwer格上sup-inf合成模糊關(guān)系方程解集非空的充要條件。Sanchez之后人們開始對(duì)格上不同的合成模糊關(guān)系方程進(jìn)行了研究。1995年，F(xiàn)odor與Keresztfalvi在文獻(xiàn)[2]中證明了無(wú)論是理論上還是實(shí)際應(yīng)用中非交換非結(jié)合的模糊析取及其對(duì)應(yīng)的模糊蘊(yùn)含在逼近推理中是有效的。因此，在文獻(xiàn)[3]中De Baets討論了完備分配格上的sup-T合成模糊關(guān)系方程后，Wang和Xiong等[4-5]人在完備Brouwer格上進(jìn)一步討論了sup-conjunctor合成模糊關(guān)系方程，并給出了方程解集非空的充要條件及解集非空時(shí)極小解存在的充要條件。2011年，Lin與Wu等[6]人定義了u-模，它是比算術(shù)平均，連續(xù)的Archimedeant-模等算子更一般的非交換非結(jié)合算子。同時(shí)，Lin與Wu等人在文獻(xiàn)[6]中研究了[0，1]格上sup-U合成模糊關(guān)系方程解集的一些性質(zhì)，并給出了該方程轉(zhuǎn)化成覆蓋問(wèn)題的具體方法。2013年，Shieh在文獻(xiàn)[7]中研究覆蓋問(wèn)題時(shí)，進(jìn)一步給出了sup-U合成模糊關(guān)系方程的極小解與解集?；谇懊鎸?duì)sup-U合成模糊關(guān)系方程的研究，本文在有限論域上當(dāng)方程右手項(xiàng)系數(shù)為并既約元時(shí)，討論sup-U合成模糊關(guān)系方程存在極小解的條件。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)L為完備格，0和1為L(zhǎng)的泛界。m，n為正整數(shù)，M={1，2，…，m}，N={1，2，…，n}。

本節(jié)將給出u-模的概念和一些后文將要用到的相關(guān)知識(shí)。

定義1[3]如果L上的一個(gè)二元算子T：L2→L滿足：對(duì)任意的a，b，c∈L，

1)交換律：T(a，b)=T(b，a)；

2)結(jié)合律：T(T(a，b)，c)=T(a，T(b，c))；

3)單調(diào)性：如果b≤c，則T(a，b)≤T(a，c)；

4)邊界條件：T(a，0)=0，T(a，1)=a，

則稱T為定義在L上的一個(gè)t-模。

定義2[6]如果L上的一個(gè)二元算子U：L2→L滿足：對(duì)任意的a，b∈L，

1)U(0，0)=0，U(1，1)=1；

2)當(dāng)U(a，b)>0時(shí)，U(a，b)是嚴(yán)格單增函數(shù)，

則稱U為定義在L上的一個(gè)u-模。

定義3[8]給定r∈R(R為實(shí)數(shù)集)，w1，w2∈[0，1]且w1+w2=1，對(duì)任意的x，y∈R，稱

Mw1，w2，r(x，y)=

為加權(quán)冪平均。

記T(U)={U|U是完備格L上的連續(xù)u-模},應(yīng)用文獻(xiàn)[4]中的思想，可定義如下兩個(gè)算子：

定義4 設(shè)U∈T(U)，定義二元算子IU：L2→L與JU：L2→L如下：對(duì)任意的a，b∈L，

IU(a，b)=sup{x∈L|U(a，x)≤b}

JU(a，b)=inf{x∈L|U(a，x)≥b}，

約定inf?=1，sup?=0。

定義5[9]如果a=b∨c蘊(yùn)含a=b或a=c，則稱a為格L上的并既約元。

2 方程supi∈MU(ai，xi)=b存在極小解的條件

對(duì)任意的i∈M，ai，b∈L，X=(x1，x2，…，xm)T為一個(gè)未知向量。稱

supi∈MU(ai，xi)=b，

(1)

為定義在L上的sup-U合成模糊關(guān)系方程。其中，U∈T(U)。

記χ={X=(x1，x2，…，xm)T|supi∈MU(ai，xi)=b}。

類似于文獻(xiàn)[10]，可證明下面命題。

命題1 設(shè)X1，X2∈χ，則X1∨X2∈χ。而且對(duì)任意的X，若X1，X2∈χ，且X1≤X≤X2，則X∈χ。

記χ={X|X為χ中的極小元}。

以下考慮方程U(a，x)=b。

命題2 設(shè)a，b∈L且b≠0，如果{x∈L|U(a，x)≤b}≠?，則{x∈L|U(a，x)≤b}=[0，IU(a，b)]。

證明由定義2有U(a，0)≤U(a，x)≤b，所以0∈{x∈L|U(a，x)≤b}。又由U∈T(U)，則

U(a，IU(a，b))=U(a，sup{x∈L|U(a，x)≤b})=sup{U(a，x)|U(a，x)≤b}≤b。

因此，易見(jiàn){x∈L|U(a，x)≤b}?[0，IU(a，b)]，且{x∈L|U(a，x)≤b}?[0，IU(a，b)]。

故{x∈L|U(a，x)≤b}=[0，IU(a，b)]。

命題3 設(shè)a，b∈L且b≠0，如果{x∈L|U(a，x)≥b}≠?，則{x∈L|U(a，x)≥b}=[JU(a，b)，1]。

證明由定義2有U(a，1)≥U(a，x)≥b，所以1∈{x∈L|U(a，x)≥b}。又由U∈T(U)，則

U(a，JU(a，b))=U(a，inf{x∈L|U(a，x)≥b})=inf{U(a，x)|U(a，x)≥b}≥b。

因此，易見(jiàn){x∈L|U(a，x)≥b}?[JU(a，b)，1]，且{x∈L|U(a，x)≥b}?[JU(a，b)，1]。

故{x∈L|U(a，x)≥b}=[JU(a，b)，1]。

引理1[6]設(shè)U∈T(U)，a，b，x∈L。若b≠0，則U(a，x)=b至多只有一個(gè)解。

由命題2、命題3和引理1可得以下定理：

定理1 設(shè)a，b∈L且b≠0，{x∈L|U(a，x)=b}≠?當(dāng)且僅當(dāng)IU(a，b)=JU(a，b)。且{x∈L|U(a，x)=b}≠?時(shí)x=IU(a，b)=JU(a，b)。

由定義5可得下面命題：

命題4 若supi∈MU(ai，xi)=b且b是并既約元，則存在i0∈M使得b=U(ai0，xi0)。

命題5 設(shè)supi∈MU(ai，xi)=b，若b=0，則χ≠?當(dāng)且僅當(dāng)任意的i∈M，ai=0。且χ≠?時(shí)，解向量為0。

因此，若無(wú)特別說(shuō)明，本文以下設(shè)b≠0。

記G(b)={i∈M|IU(ai，b)=JU(ai，b)}。

定理2 若χ≠?，G(b)=?，則b不是并既約元。

證明假設(shè)b是并既約元，設(shè)

X=(x1，x2，…，xm)T∈χ，即b=supi∈MU(ai，xi)，則由命題4知存在i0∈M使得b=U(ai0，xi0)。由定理1可知IU(ai0，b)=JU(ai0，b)，則i0∈G(b)，即G(b)≠?，矛盾。

定理3 若b是并既約元，則χ≠?當(dāng)且僅當(dāng)G(b)≠?。

證明如果χ≠?，則由定理2知結(jié)論顯然。

反過(guò)來(lái)，假設(shè)G(b)≠?，設(shè)i0∈G(b)，則IU(ai0，b)=JU(ai0，b)，由定理1知{x∈L|U(ai0，x)=b}≠?。

設(shè)xi0=IU(ai0，b)=JU(ai0，b)，于是有

U(ai0，xi0)=U(ai0，IU(ai0，b))=b。

定義X=(x1，x2，…，xm)T如下：對(duì)任意的i∈M，

(2)

由定義2知當(dāng)i≠i0時(shí)有：

U(ai，0)≤U(ai，IU(ai，b))=U(ai，sup{x∈L|U(ai，x)≤b})=sup{U(ai，x)|U(ai，x)≤b}≤b，

所以supi≠i0U(ai，0)≤b。因此

supi∈MU(ai，xi)=supi≠i0U(ai，0)∨U(ai0，xi0)=b。即X∈χ。

類似于Sanchez文獻(xiàn)[1]中的思想，有以下定理成立。

定義X=(x1，x2，…，xm)T如下：對(duì)任意的i∈M，

(3)

定理6 若χ≠?且b是并既約元，則χ中存在極小元。

證明由定理3知G(b)≠?，設(shè)k∈G(b)，則IU(ak，b)=JU(ak，b)，于是由定理1知

U(ak，IU(ak，b)=b。

(4)

由定義1知當(dāng)i≠k時(shí)有U(ai，0)≤U(ai，IU(ai，b))=U(ai，sup{x∈L|U(ai，x)≤b})=sup{U(ai，x)|U(ai，x)≤b}≤b，

所以supi≠kU(ai，0)≤b。故

定理7 若χ≠?且b是并既約元，則χ中所有的元都有(4)的形式。

(5)

(6)

由定理4至定理8，易得下面定理：

3 結(jié)語(yǔ)

在完備格L上，討論了sup-U合成模糊關(guān)系方程解集的一些性質(zhì)，其中U為u-模。給出了在有限論域上，當(dāng)方程右手項(xiàng)系數(shù)為并既約元時(shí)sup-U合成模糊關(guān)系方程存在極小解的條件。