李春利

(商丘學(xué)院計算機工程學(xué)院，河南 商丘 476000)

0 引言

在自然界中，生物種群對共有資源的爭奪多年來一直被認為是種群動態(tài)的基本過程之一。研究結(jié)果顯示，如果一個自然環(huán)境中有兩個或兩個以上種群生存，那么它們之間就要存在著或是相互競爭，或是相互依存，或是弱肉強食(食餌與捕食者)的關(guān)系。當兩個種群為了爭奪有限的同一食物來源和生活空間而進行生存競爭時，最常見的結(jié)局是，能夠在較少資源條件下生存的種群往往會戰(zhàn)勝并取代另外一個種群。N個種群也是可以共存的，只要有N種不同資源的存在并且每個種群要保持對某種資源很強勁的競爭力，也就是說，它們都要有一個生態(tài)位(生態(tài)系統(tǒng)中每種生物生存所必需的生境最小閾值)。

在國際上，干旱和半干旱氣候帶的植被格局一直都是人們研究復(fù)雜系統(tǒng)中自發(fā)對稱性破缺現(xiàn)象的典型課題。對有限水資源的爭奪是該地區(qū)灌木類植被形成空間格局的主導(dǎo)因素，同時對水資源的爭奪也會大大減少灌木類植物之間的相互影響。調(diào)查表明，在水量供應(yīng)不足的情況之下，植被群是會滅絕的。

如果資源涉及空間動態(tài)的話，情況將變得復(fù)雜得多。當前理論和實踐方面的研究多是種群對水源的競爭，然而光照及有限的其他資源也在逐漸被上層的水生浮游植物所消耗。這種模式或許可以拓展到動物群的空間動態(tài)，但不支持時間獨立的模式。

對于單物種(灌木類)—單資源(水)系統(tǒng)的植被格局來說，實地研究揭示了大量穩(wěn)定及近乎穩(wěn)定的自發(fā)性分離模式。理解這種格局種群數(shù)量的潛在機制及其可觀測到的恢復(fù)力是人們理解沙漠化進程很重要的一步，當然環(huán)境效應(yīng)如氣候變化和過度放牧都會破壞生態(tài)平衡而產(chǎn)生穩(wěn)定的干旱狀態(tài)。從技術(shù)層面上講，水—物種體系被認為是一個空間擴展性非線性體系，也就是說，在某種參數(shù)范圍內(nèi)，會產(chǎn)生帶狀、點狀或迷宮式的區(qū)域，以及其他由于正的反饋機制而產(chǎn)生的有序排列，比如對水徑流和植物群蒸發(fā)的抑制作用。

總之，在種群所依托的單資源(比如沙漠地區(qū)的水資源)相對匱乏的情況下，要充分利用現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)與生態(tài)系統(tǒng)的自然規(guī)律，搞好生態(tài)建設(shè)，尤其是植被建設(shè)，可謂意義重大。植被建設(shè)是生態(tài)建設(shè)的主體，水資源又是限制植被建設(shè)的主要因素，因此，研究植被格局與水資源的關(guān)系，探討二者相互作用的機理具有重要的理論意義和實踐意義。

文獻[1]給出了描述沙漠地區(qū)植被分布與生長狀態(tài)的無量綱化的非線性反應(yīng)擴散方程模型：

(1)

式中：B(x，t)與W(x，t)分別表示t時刻x處的沙漠地區(qū)植被密度與水量密度；R(t)與V(x)分別表示t時刻的降雨量水平與x處的地形坡度向量；μ，λ與D均為正常數(shù)，依次表示植被在缺水條件下的相對死亡率，植被消耗水的程度與水的擴散作用系數(shù)；DΔW(x，t)+V(x)▽W(xué)(x，t)，W(x，t)B(x，t)，-λW(x，t)B(x，t)，分別反映徑向水流反應(yīng)擴散作用，供水量對植被的促進作用及植被對水的消耗作用。依據(jù)問題背景的實際意義，初始函數(shù)B0(x)≥0，W0(x)≥0。

為方便起見，假定在任意時刻方程組(1)在所研究的空間區(qū)域Ω上均服從空間周期邊界條件，并假定B0(x)與W0(x)均為光滑函數(shù)，這里定義：

K=max{M，R0}。

(2)

1 解的存在性

定理1 偏微分方程組(1)存在唯一全局光滑解(B(x，t)，W(x，t))，并滿足?t>0，x∈Ω時，都有

0≤B(x，t)≤B0e(K-μ)t，0≤W(x，t)≤K。

(3)

證明由半群理論[2]可知，偏微分方程組(1)存在唯一一個以t=0為起點的局部解，為說明解是全局的，只需說明該解不會在其存在區(qū)間上發(fā)生爆破現(xiàn)象即可，如此則僅需式(3)成立，然后利用數(shù)學(xué)延拓的方法，方程組(1)存在唯一全局光滑解的結(jié)論自然成立。

由方程組(1)中第一個方程可知

(4)

方程組(1)中第二個方程可寫成

(5)

下面利用反證法證明

W(x，t)≥0，?t>0，x∈Ω。

(6)

假設(shè)存在一點(x0，t0)，使得W(x0，t0)<0，不失一般性，不妨設(shè)W(x，t0)在x0處達到極小值，且Wt(x0，t0)<0，則有(ΔW)(x0，t0)≥0，(▽W(xué))(x0，t0)=0，將其代入式(5)，得到矛盾，因此式(6)成立。

下面做一個平移變換，同理可證

W(x，t)≤K，?t>0，x∈Ω。

(7)

令u(x，t)=W(x，t)-K，則由式(5)可知

(8)

由式(2)即知u(x，0)=W0(x)-K≤0。

若存在一點(x0，t0)，使得u(x0，t0)>0，不失一般性，同樣不妨設(shè)u(x，t0)在x0處達到極大值，且ut(x0，t0)>0，因此有(Δu)(x0，t0)≤0，(▽u)(x0，t0)=0，將其代入式(8)，得到矛盾，因此式(7)成立。

綜上可知，式(3)成立。

2 解的周期性

不難發(fā)現(xiàn)，依據(jù)現(xiàn)有的偏微分理論很難直接分析出偏微分方程組(1)解的相關(guān)性質(zhì)，這里我們根據(jù)生物學(xué)理論及相關(guān)背景知識[1]，可以考慮合理的簡化模型——常微分方程組(見式(9))。事實上，我們完全可以假定B(x，t)與W(x，t)均服從均勻分布，這就使得它們獨立于空間坐標x，或者就把B(x，t)視為Ω上的平均植被量或植被總量，記為B(t)，把W(x，t)視為Ω上的平均水量或總水量，記為W(t)。

根據(jù)文獻[1]，在生物學(xué)意義上，偏微分方程組(1)可簡化為常微分方程組

(9)

當然，對于初始點而言，只有非平凡情況B0>0，W0≥0才具有現(xiàn)實意義。

引理2 (Brouwer不動點定理)[3]設(shè)A為n維歐式空間R2中的緊致凸子集，則對A上的任一自映射f:A→A至少有一個不動點，即存在x∈A，使得f(x)=x。

該引理具體證明詳見文獻[3]。

定理2 若雨量水平函數(shù)R(t)為非負非平凡周期函數(shù)，即?t>0，R(t)=R(t+T)，其中T>0為常數(shù)，則常微分方程組(9)總存在一個以T為周期的周期解。

證明對常微分方程組(9)中的兩個方程關(guān)于t同時在區(qū)間[0，T]上積分，可得

由常微分方程組解對初值的連續(xù)依賴性，易知映射(B(T)，W(T))=F(B0，W0)，B0≥0，W0≥0是連續(xù)的。

為證明方程組(9)的周期解的存在性，只需證明映射F在R2第一象限(含邊界)有一個不動點，為此，由Brouwer不動點定理可知，這里只需說明連續(xù)映射F把R2第一象限(含邊界)的某個緊致凸子集映到自身即可。

這里設(shè)置二維平面(R2)上一個集合

SL={(p，q)|p≥0，q≥0，λp+q≤L}，易知，?L>0，SL均為R2中的緊致凸子集。

由方程組(9)可知

其中，σ=min{μ，1}，從而由引理1可知

(10)

設(shè)定L滿足R0≤σL，則由式(11)即知λB(t)+W(t)≤L，也即F(B0，W0)∈SL，因此由引理2可知，映射F在集合SL上存在不動點，此即證明了常微分方程組(9)以T為周期的周期解的存在性。

3 結(jié)果分析

定理1與定理2充分揭示了沙漠植被密度周期性現(xiàn)象的存在性。具體地說，若映射F的不動點在(0，q0)處取得(q0≥0)，由式(4)易知B(t)≡0，?t≥t0，其中t0滿足B(t0)=0，W(t0)=q0，此時方程的解表示穩(wěn)定的沙漠狀態(tài)；若不動點在(p0，q0)處取得(p0>0，q0≥0)，方程的解則反映了一種穩(wěn)定的沙漠植被密度周期性現(xiàn)象，事實上，由式(4)可知B(t)>0，?t≥t0，其中t0滿足B(t0)=p0，W(t0)=q0，定理2又說明了B(t)是周期函數(shù)，因此B(t)總有正下界，也就是說，總是存在著穩(wěn)定的沙漠植被密度周期性狀態(tài)。