阮仁桂，魏子卿，馮來平

1. 信息工程大學(xué)，河南 鄭州 450052； 2. 地理信息工程國家重點實驗室，陜西 西安 710054； 3. 西安測繪研究所，陜西 西安 710054

整數(shù)模糊度解算是利用GNSS載波相位進行精密定位等各類應(yīng)用的性能倍增器。因為差分能夠消除接收機或衛(wèi)星端公共的非整數(shù)偏差項，在相當長的一段時間內(nèi)，人們一度只能對雙差模糊度進行固定。在過去的10余年里，針對單臺接收機的整數(shù)模糊度解算，國內(nèi)外學(xué)者提出了多種方法，以期提高精密單點定位(precise point positioning,PPP)的精度、穩(wěn)定性和縮短收斂時間。概括起來可以分為以下3種[1]：①提供衛(wèi)星端的非整數(shù)偏差改正數(shù)，即小數(shù)周偏差(fractional cycle bias,FCB[1-2])(在不同文獻中，盡管名詞不同，如fractional phase offset[3]，uncalibrated phase delay[4]，uncalibrated fractional offsets[5-6]等，但其內(nèi)涵均相同)；②提供基于非差整數(shù)模糊度固定得到的衛(wèi)星鐘差[1]，包括“整數(shù)”鐘差[7-8](integer clock)和解耦鐘差[9-10](decoupled clock)；③提供網(wǎng)解時的寬巷和消電離層組合模糊度列表(wide-lane phase bias list,WLPBLIST)[11]。文獻[1]通過公式推導(dǎo)和數(shù)值試驗證明了途徑①和途徑②在理論上和應(yīng)用效果上都是等效的。已有文獻表明，不同條件下的FCB解算及PPP應(yīng)用研究已取得不少成果[2,5-6,12-17]，而“整數(shù)”鐘差(包括解耦鐘差)的解算似乎還沒有得到廣泛關(guān)注。其中原因大概與下述情況不無關(guān)系，即現(xiàn)有文獻詳盡地給出了FCB解算的關(guān)鍵算法，且其所需要的觀測量——寬巷和消電離層組合非差模糊度——可以方便地通過PPP處理得到；而“整數(shù)”鐘差解算采用的觀測模型在形式上與傳統(tǒng)鐘差解算算法截然不同，且其關(guān)鍵技術(shù)——非差模糊度基準[9]或參考模糊度[8]的固定——在現(xiàn)有文獻卻少見清晰的描述。衛(wèi)星鐘差產(chǎn)品，除了支持單臺接收機的精密定位之外，在時間頻率傳遞、衛(wèi)星鐘性能評估方面也有重要意義[18]。有鑒于此，筆者對衛(wèi)星鐘差解算進行了較深入的研究，提出通過星間單差模糊度固定恢復(fù)出衛(wèi)星鐘差的方法。

基于上述研究背景，本文第1節(jié)從消除秩虧的角度分析傳統(tǒng)鐘差解算方法與“整數(shù)”鐘差解算方法的區(qū)別，指出“整數(shù)”鐘差解算的關(guān)鍵在于建立整數(shù)模糊度基準。第2節(jié)闡述實現(xiàn)“整數(shù)”衛(wèi)星鐘差解算的關(guān)鍵過程——星間單差模糊度固定。第3節(jié)采用IGS測站數(shù)據(jù)進行GPS衛(wèi)星鐘差解算試驗，證明獲得的衛(wèi)星鐘差及寬巷FCB產(chǎn)品具備分離出單臺接收機的星間單差整數(shù)模糊度的能力，并通過試驗展示進行模擬動態(tài)PPP定位的效果。

1 觀測模型

(1)

(2)

(3)

在式(2)中，接收機鐘差與衛(wèi)星鐘差無法分離，鐘差參數(shù)與模糊度參數(shù)也不可分離。這導(dǎo)致在沒有其他約束的情況下得到的法方程是奇異的。對于前者導(dǎo)致的秩虧問題，在網(wǎng)解中可以通過選擇一臺接收機或一顆衛(wèi)星的時鐘作為基準鐘得以解決[8,9]；在僅用單站數(shù)據(jù)的(精密)單點定位中，則可以通過固定衛(wèi)星鐘差而消除。由于設(shè)備時延通常是長期穩(wěn)定的，對于后一原因?qū)е碌闹忍潌栴}，可以采用以下兩種方法進行處理。

方法1：也是最傳統(tǒng)的方法，利用偽距鐘差對相位鐘差進行約束，將式(2)改寫為

(4)

式中

(5)

方法2：通過對模糊度參數(shù)進行先驗約束或者確定S基準[20]消除模糊度參數(shù)引起的秩虧。特別地，為了獲得整數(shù)鐘差或解耦鐘差[1]，文獻[8—9]通過選擇和固定非差模糊度基準(reference ambiguity[8]或ambiguity datum[9])，進而實現(xiàn)非差寬巷和窄巷模糊度固定，得到基于非差模糊度固定解的鐘差產(chǎn)品。當然，二者在細節(jié)上還是有明顯區(qū)別的，前者單獨解算的偽距鐘差被后者忽略；前者將寬巷小數(shù)偏差作為時變參數(shù)處理，而后者將其作為分段常數(shù)處理。它們所采用的觀測方程也與式(2)或式(4)有明顯的差異，前者在式(2)兩個觀測量的基礎(chǔ)上還加入了MW組合觀測量，后者先利用MW組合解算出非差寬巷整數(shù)模糊度，然后將式(2)的載波觀測方程表示為僅含窄巷模糊度的無電離層組合相位。

由平差理論可知，求解觀測方程式(2)是個秩虧自由網(wǎng)平差問題[21]。不論是方法1還是方法2，本質(zhì)上只是提供了平差的必要基準以達到消除秩虧的目的。在方法1中，偽距鐘差為相位鐘差和非差模糊度提供了平差基準，也使得非差整數(shù)模糊度參數(shù)受到設(shè)備時延的“污染”而失去整數(shù)性質(zhì)。文獻[8—9]的特別和關(guān)鍵之處是通過選擇并固定非差模糊度基準，建立其余非差模糊度參數(shù)的整數(shù)性質(zhì)。由此可知，模糊度參數(shù)或其線性組合是否具有整數(shù)性質(zhì)，取決于平差解算時被選作用于消除秩虧的基準。

由于載波相位的測量精度通常是偽碼測量精度的100倍甚至更高，在以式(4)為觀測方程的傳統(tǒng)鐘差解算方法中，偽距與相位的權(quán)比通常是1∶10 000，甚至更低，因此偽距只是為模糊度參數(shù)提供了松弛的基準。如果能夠像文獻[8—9]那樣選出并固定模糊度基準(更強的基準)，則同樣有望恢復(fù)出模糊度參數(shù)的整數(shù)性質(zhì)?？紤]到PPP用戶只需要衛(wèi)星的鐘差，因此可以通過星間單差消除包含在模糊度參數(shù)中的接收機端的非整數(shù)偏差，然后通過星間單差模糊度固定將衛(wèi)星鐘差與具有整數(shù)性質(zhì)的星間單差模糊度組合(下文簡稱為單差模糊度)分離，其中模糊度基準的選擇與固定是這一過程的關(guān)鍵。

2 星間單差模糊度固定

星間單差模糊度固定是在獲得非差模糊度實數(shù)解的基礎(chǔ)上進行的。由于消電離層組合模糊度的波長通常很短，例如對于GPS，L1和L2的消電離層組合的波長約為6 mm，直接固定消電離層模糊度非常困難[9]。一種有效的方法是將其分解為寬巷模糊度和窄巷模糊度，然后分別進行寬巷和窄巷模糊度固定[22-24]。與雙差模糊度不同，單差模糊度并不天然地具有整數(shù)性質(zhì)，因此固定單差模糊度的方法也與固定雙差模糊度有很大區(qū)別：需要分離出衛(wèi)星端的小數(shù)偏差和選擇模糊度基準。本文通過以下3個步驟實現(xiàn)單差模糊度固定：

(6)

然后，按照式(7)計算寬巷的固定成功概率。

(7)

(3) 消電離層組合單差模糊度固定。消電離層組合單差模糊度固定按照以下3個步驟進行：

(8)

(9)

② 單差模糊度基準選擇和固定。為了固定單差窄巷模糊度，需要為每個衛(wèi)星鐘差選擇一個單差模糊度基準，并將其固定到最近的整數(shù)。需要強調(diào)的是，單差模糊度基準的選擇非常關(guān)鍵，因為它們?yōu)槠溆嗟膯尾钅：忍峁┱麛?shù)基準，是后續(xù)單差模糊度固定的基礎(chǔ)。為了選出可靠的單差模糊度基準，本文先從每一對衛(wèi)星中選出一個標準差最小的作為候選單差模糊度基準，然后將它們按照標準差的升序進行排列，采用最小生成樹算法(如Kruskal算法)選出所有獨立的衛(wèi)星對(以GPS星座為例，衛(wèi)星數(shù)為32顆，獨立的衛(wèi)星對有31對)，將所對應(yīng)的候選窄巷單差模糊度固定到最近的整數(shù)，進而對消電離層組合單差模糊度進行固定。

③ 獨立單差模糊度固定。在完成了單差模糊度基準的選擇與固定之后，剩余的單差模糊度就恢復(fù)了整數(shù)性質(zhì)，就可以采用類似于雙差模糊度固定的方法進行獨立單差模糊度的序貫固定：基于已有的單差模糊度固定解對所有候選的未固定的單差模糊度按照式(7)重新計算其窄巷的固定成功概率，每次固定綜合成功率最大的且與已固定的單差模糊度相互獨立的消電離層組合單差模糊度，直到?jīng)]有可固定的獨立的單差模糊度為止。這一過程中采用Kruskal算法進行獨立性判斷。

(10)

這樣，本文進行衛(wèi)星鐘差解算的觀測方程可等效地表示如下

(11)

式中，p*為3類(虛擬)觀測量的權(quán)，一般地，pL3/pP3≈104，而pb?pL3。

3 驗 證

本文提出的“整數(shù)”衛(wèi)星鐘差解算方法所采用的觀測模型與傳統(tǒng)的GNSS非差數(shù)據(jù)處理完全一致，數(shù)據(jù)處理時只需要在獲得非差消電離層組合模糊度的實數(shù)解之后，增加星間單差模糊度固定過程。以上方法已經(jīng)很方便地應(yīng)用于西安測繪研究所研制的多功能GNSS數(shù)據(jù)處理軟件SPODS[25]當中。

為了驗證本文方法，筆者收集2015年DOY 243—261期間的IGS監(jiān)測站的GPS數(shù)據(jù)進行鐘差解算試驗。測站分布如圖1所示，測站總數(shù)約為450個，其中66個測站(紅色方形)用于解算鐘差。在進行鐘差解算時，將測站坐標和GPS衛(wèi)星軌道固定到IGS最終軌道和站坐標產(chǎn)品，EOP參數(shù)采用IERS提供的最終產(chǎn)品；衛(wèi)星和接收機的天線相位中心改正信息來自igs08.atx，測站的潮汐形變采用IERS2003協(xié)議，日月歷表采用JPL DE405，對流層天頂延遲先驗值采用Saastamoinen模型計算，映射函數(shù)采用GMF模型計算[26]，天頂延遲采用分段常數(shù)模型模擬，每2 h解算一個參數(shù)，每24 h估計一組水平梯度參數(shù)。GPS衛(wèi)星的姿態(tài)模型采用文獻[27]提出的簡化模型。數(shù)據(jù)處理弧長為24 h，數(shù)據(jù)采樣間隔為300 s，采用文獻[28]的方法將鐘差加密到30 s。消電離組合偽距和相位的先驗精度設(shè)為2 m和2 cm，并根據(jù)高度角e按照函數(shù)sin2e進行降權(quán)。在星間單差模糊度固定過程中，僅對固定成功概率大于99%且小數(shù)部分絕對值小于0.15周的單差模糊度進行固定，約束權(quán)pb取1010。

圖1 IGS測站分布Fig.1 Distribution of IGS stations

圖2繪出了各顆衛(wèi)星的寬巷FCB(相對于PRN01)序列。可以看出，F(xiàn)CB的估值相當?shù)胤€(wěn)定，統(tǒng)計表明重復(fù)精度在0.009周(PRN02)～0.031周(PRN04)之間。

圖2 GPS衛(wèi)星星端寬巷FCB序列Fig.2 Estimated wide-lane FCBs for GPS satellites

圖3按天統(tǒng)計了單差模糊度成功固定的比例及解算得到的衛(wèi)星鐘差與IGS最終鐘差之差的RMS和STD?？梢钥闯?，模糊度固定的成功率穩(wěn)定在70%～75%，平均固定成功率為73%。鐘差的RMS為0.13～0.2 ns，STD都小于0.014 ns，平均的RMS和STD分別為0.17 ns和0.012 ns。

圖3 單差模糊度固定的比例和衛(wèi)星鐘差的精度Fig.3 Percentage of fixed BSSD ambiguities and the RMS and STD difference between the estimated satellite clocks and the IGS final clocks

為了證明本文的鐘差(和寬巷FCB)具備恢復(fù)出單臺接收機的單差整數(shù)模糊度的能力，筆者利用所獲得的DOY 250的寬巷FCB和衛(wèi)星鐘差對當天所有IGS測站(共448個)的觀測數(shù)據(jù)進行PPP處理，得到非差消電離層組合模糊度的實數(shù)解之后，構(gòu)造出所有可能的單差模糊度并進行寬巷FCB改正，而后進行寬巷單差模糊度固定，輸出所有寬巷和固定了寬巷的窄巷單差模糊度，總個數(shù)分別為228 958和174 894，圖4統(tǒng)計了它們小數(shù)部分的分布?？梢钥闯?，寬巷和窄巷的小數(shù)部分均呈現(xiàn)出以0為均值的近似正態(tài)分布，其中，寬巷的小數(shù)部分絕對值小于0.2周的比例達到了85.8%，窄巷的這一比例達到了94.6%。這可說明寬巷和窄巷單差模糊度數(shù)學(xué)期望是整數(shù)，因此可以采用已有的模糊度固定方法對單差模糊度進行固定。

圖4 448個IGS測站寬巷和窄巷單差模糊度小數(shù)部分的分布Fig.4 Distribution of the fractional parts of wide-/narrow-lane BSSD ambiguities from 448 IGS stations

為了展示利用本文的鐘差(和寬巷FCB)進行PPP定位模糊度固定的效果。采用DOY 250共20個測站(圖1中圓圈表示的點)的數(shù)據(jù)進行模擬動態(tài)PPP試驗。將每個測站的24 h rinex數(shù)據(jù)文件切分為12個2 h弧長的獨立文件分別進行處理。衛(wèi)星軌道固定到IGS最終軌道，采用不同的鐘差產(chǎn)品或模糊度解算策略進行以下3組試驗：

(1) 試驗1(EXP1):采用IGS最終鐘差產(chǎn)品，模糊度采用浮點解；

(2) 試驗2(EXP2):采用本文的鐘差產(chǎn)品，模糊度采用浮點解；

(3) 試驗3(EXP3):采用本文的鐘差產(chǎn)品并進行單差模糊度固定。模糊度固定采用序貫取整方法，具體方法見文獻[22],同樣僅對固定成功概率大于99%且小數(shù)部分的絕對值小于0.15周的單差模糊度進行固定。

將定位結(jié)果與IGS天解的站坐標進行比較評估定位精度。圖5統(tǒng)計了3組PPP試驗各測站N、E、U方向和三維位置(3D)誤差的RMS。可以看出，試驗2和試驗1的結(jié)果在不同測站的RMS統(tǒng)計中互有優(yōu)劣，但都相差不大；試驗3各測站各方向坐標誤差的RMS普遍地較試驗1和試驗2有明顯減小，其中在E方向的改進尤為明顯。統(tǒng)計表明，相比于試驗1，試驗3各測站N方向的改善幅度在14%～63%；E方向的改善幅度在10%～86%；U方向的改善幅度在4%～48%；3D定位精度的改善幅度在18%～60%。表1給出了20個測站定位結(jié)果的平均RMS統(tǒng)計值?？梢钥闯?，相比于試驗1，試驗2的結(jié)果在毫米量級上沒有差異；而試驗3則在3個方向都有明顯的提高，N、E、U和3D誤差的RMS分別達到了0.009、0.010、0.023和0.027 m，比試驗1分別提高了30.8%、61.5%、23.3%和37.2%。這說明模糊度固定有效提高了PPP的定位精度，再次證明了本文解算的鐘差具有支持PPP模糊度固定的能力。需要說明的是，以上PPP試驗僅是為了驗證本文的整數(shù)鐘差產(chǎn)品，所用的模糊度固定方法仍有改進余地。

圖5 3組試驗各測站動態(tài)PPP定位誤差的RMSFig.5 RMS of the kinematic PPP for each station

表1 動態(tài)PPP定位誤差的平均RMS

4 總 結(jié)

本文提出一種基于星間單差模糊度固定的衛(wèi)星鐘差解算方法，所得到的衛(wèi)星鐘差能夠支持PPP用戶進行整數(shù)模糊度解算。為了驗證本文方法，采用IGS測站的GPS數(shù)據(jù)進行了鐘差解算試驗，結(jié)果表明星間單差模糊度固定的成功率約為73%，得到的衛(wèi)星鐘差與IGS最終鐘差產(chǎn)品相比，平均的RMS差和STD分別為0.17 ns和0.012 ns。分析448個IGS測站的星間單差模糊度小數(shù)部分的分布表明，本文得到的衛(wèi)星鐘差和寬巷FCB產(chǎn)品能夠恢復(fù)出單臺接收機星間單差模糊度的整數(shù)性質(zhì)。20個測站的模擬動態(tài)PPP定位結(jié)果表明，模糊度固定后，N、E、U和3D誤差的RMS分別達到了0.009、0.010、0.023和0.027 m，相比于不固定模糊度或采用IGS最終鐘差產(chǎn)品的結(jié)果，改進幅度分別為30.8%、61.5%、23.3%和37.2%，有力證明了本文方法的正確性和有效性。

本文實現(xiàn)星間單差模糊度解算固定的核心思想是通過選擇和固定模糊度基準，恢復(fù)星間單差模糊度的整數(shù)性質(zhì)，這一思想也可以應(yīng)用于Galileo、BDS等其他GNSS系統(tǒng)的“整數(shù)”衛(wèi)星鐘差解算。