梁 偉

（福建省計(jì)量科學(xué)研究院 智能測(cè)量研究所，福州 350100）

隨著科技和工業(yè)的飛躍發(fā)展，力傳感器越來(lái)越廣泛地應(yīng)用于電子衡器、高速鐵路、大型橋梁、高層建筑、冶金以及航空航天等領(lǐng)域的力值測(cè)量。應(yīng)變式力傳感器由球頭副、彈性體、應(yīng)變片及惠斯通電橋等組成，球頭副由球頭和球碗組成。力傳感器受載時(shí)，與其接觸的上下工作平面不能保證絕對(duì)平行，球頭在加載過(guò)程中將相對(duì)球碗發(fā)生滾動(dòng)或滑動(dòng)調(diào)整，將載荷較均勻地傳遞給彈性體，粘貼在彈性體上的應(yīng)變片受載，其電阻發(fā)生變化，使惠斯通電橋失去平衡，從而輸出一個(gè)與被測(cè)載荷成線性變化的電信號(hào)。如果未采用球頭副，則施加于彈性體上的載荷將出現(xiàn)嚴(yán)重偏載現(xiàn)象，若將傳感器繞其軸線旋轉(zhuǎn)到不同位置，則各位置測(cè)量得到的結(jié)果會(huì)存在較大差異，形成較大“方位誤差”。因此，球頭副對(duì)調(diào)整彈性體的載荷分布，提高傳感器的測(cè)量準(zhǔn)確度具有重要作用。

球頭副的接觸形式、尺寸、加工水平對(duì)測(cè)量結(jié)果具有顯著影響，國(guó)內(nèi)外專(zhuān)家對(duì)此開(kāi)展了一些研究。[1-3]但是對(duì)于球頭副如何影響力傳感器計(jì)量性能，例如方位誤差等，國(guó)內(nèi)外未有相關(guān)報(bào)道。本課題組在研究國(guó)家重大科學(xué)儀器設(shè)備開(kāi)發(fā)專(zhuān)項(xiàng)——高精度衡器載荷測(cè)量?jī)x，以及一臺(tái)目前國(guó)際上量程最大的60 MN力標(biāo)準(zhǔn)機(jī)項(xiàng)目中，對(duì)兩個(gè)項(xiàng)目核心構(gòu)件——高精度應(yīng)變式力傳感器開(kāi)展研究，其中包括探索球頭副對(duì)力傳感器計(jì)量性能的影響。該研究成果已實(shí)現(xiàn)了力傳感器性能的提升，并應(yīng)用于此兩個(gè)項(xiàng)目，衡器載荷測(cè)量?jī)x于2016年實(shí)現(xiàn)產(chǎn)業(yè)化推廣應(yīng)用，而60 MN力標(biāo)準(zhǔn)機(jī)在2017年與德國(guó)聯(lián)邦物理技術(shù)研究院（PTB）的50 MN力標(biāo)準(zhǔn)裝置的力值比對(duì)取得國(guó)際等效的滿(mǎn)意結(jié)果[4]。

本文對(duì)柱式應(yīng)變式力傳感器進(jìn)行了理論分析，并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，提出了優(yōu)化球頭副結(jié)構(gòu)尺寸以減小傳感器方位誤差的建議。

1 理論分析

如圖1所示，為一柱式傳感器及其球頭副結(jié)構(gòu)，當(dāng)其在力標(biāo)準(zhǔn)機(jī)上校準(zhǔn)時(shí)，由于力標(biāo)準(zhǔn)機(jī)上下工作平面的不平行，假設(shè)存在傾斜角α，則球頭在加載過(guò)程中相對(duì)球碗發(fā)生滾動(dòng)或滑動(dòng)，當(dāng)球頭副承載狀態(tài)穩(wěn)定后，球頭的中心線與球碗中心線存在夾角α，如圖2所示，由幾何關(guān)系得：

圖1 力傳感器及其球頭副組合結(jié)構(gòu)示意Fig.1 Schematic diagram of force transducer and load pad

圖2 球頭副示意Fig.2 Schematic diagram of load pad

式中：R1為球頭的曲率半徑；R2為球碗的曲率半徑；θ1為球頭滾動(dòng)前后接觸點(diǎn)與球頭圓心形成的夾角；θ2為球頭滾動(dòng)前后接觸點(diǎn)與球碗圓心形成的夾角。

由式（1）得到：

球頭相對(duì)球碗滾動(dòng)后，傳感器的軸向力為FN：

同時(shí)產(chǎn)生了一個(gè)側(cè)向力Ft：

以及一個(gè)附件彎矩M：

式中：e為載荷偏心量。由圖2幾何位置關(guān)系可以得到：

將上式代入公式，得到：

圖3 應(yīng)變片排布Fig.3 Strain gauges distribution

圖4 應(yīng)變片粘貼位置偏差示意Fig.4 Strain gauges attached with angular misalignment

如圖3和圖4所示，4個(gè)應(yīng)變片粘貼在彈性體上，由于應(yīng)變片粘貼的水平限制，4個(gè)應(yīng)變片無(wú)法決定對(duì)稱(chēng)，而相對(duì)之間存在一定的角度偏差，如圖4中β和γ。但是，傳感器一旦制造完成，該角度偏差就固定下來(lái)。

依據(jù)彈性理論，在軸向力FN、側(cè)向力Ft和附件彎矩M的共同作用下，4個(gè)應(yīng)變片的輸出為

式中：S為彈性體截面的面積；ω為側(cè)向力和附加彎矩的方位，如圖4所示；R為彈性體的橫截面的半徑；E為彈性體材料的彈性模量；μ為彈性體材料的泊松比；I為彈性體的慣性矩，I=πR4/4。

由圖5的惠斯登橋路，其輸出為

式中：X為輸出信號(hào)；K為靈敏系數(shù)。

圖5 惠斯登橋路Fig.5 Wheatstone bridge circuit

將式（9）代入公式，得到：

傳感器的方位誤差b由下式計(jì)算得到：

式中：Xmax和Xmin分別為傳感器在不同測(cè)量位置上信號(hào)的最大值和最小值；Xˉr為各方位測(cè)量的平均值。

保持傳感器位置不變，將載荷繞傳感器軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，即可確定Xmax和Xmin，即在 ω∈［0，2π］范圍內(nèi)，X的最大值和最小值。將其代入式，并整理得到：

2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

為研究驗(yàn)證不同結(jié)構(gòu)尺寸球頭副對(duì)傳感器方位誤差的影響，本文設(shè)計(jì)了6對(duì)球頭副，其具體尺寸如表1所示。所有球頭副材料均為GCr15軸承鋼，采用相同熱處理工藝。

將6對(duì)球頭副分別安裝在一只300 kN和一只100 kN 柱式力傳感器上， 分別在 0°、0.5°和 1°的楔形墊塊上，采用一臺(tái)300 kN凈重式力標(biāo)準(zhǔn)機(jī)（相對(duì)擴(kuò)展不確定度為0.005%，k=2）進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試步驟參照 ISO 376：2011（E）[5]進(jìn)行。

表1 球頭副尺寸Tab.1 Dimensions of load pad

3 結(jié)果與討論

圖6和圖7所示為各球頭副分別在300 kN和100 kN應(yīng)變式柱式力傳感器上測(cè)量得到的方位誤差，從中可以明顯看出，隨著傾斜角度的α增大，由式（4）和式（7），側(cè)向力Ft和附加彎矩M也隨之增大，從而造成方位誤差迅速增大。

圖6 300 kN力傳感器采用不同結(jié)構(gòu)尺寸球頭實(shí)驗(yàn)以及計(jì)算得到的方位誤差對(duì)比Fig.6 Comparison of the 300 kN transducer’s position errors between the measurement and calculation

圖7 100 kN力傳感器采用不同結(jié)構(gòu)尺寸球頭實(shí)驗(yàn)以及計(jì)算得到的方位誤差對(duì)比Fig.7 Comparison of the 100 kN transducer’s position errors between the measurement and calculation

對(duì)比1號(hào)、2號(hào)和3號(hào)球頭副，其均為球面-平面接觸類(lèi)型，球頭球面半徑R1越大，方位誤差隨傾斜角度增長(zhǎng)的速度越快。由式（7）可以得到，當(dāng)球碗為平面時(shí)，即R2=∞ 時(shí)，M＝FR1αcosα，附加彎矩M與R1成正比，因此R1越大，附加彎矩M也越大，方位誤差也越大。

對(duì)比4號(hào)、5號(hào)和6號(hào)球頭副，其均為球面-球面接觸類(lèi)型，球頭與球碗的球面半徑比Δ，Δ＝R1/R2＝1/2，球頭球面半徑R2越大，方位誤差隨傾斜角度增長(zhǎng)的速度也越快。 由式（7），M=FR2sin［Δα/（1-Δ）］cos α，當(dāng)Δ相等時(shí)，附加彎矩M與R2成正比，R2越大，附加彎矩M也越大，方位誤差也越大。

對(duì)比由式（12）計(jì)算得到的各球頭的方位誤差以及由實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到的方位誤差，可以看出兩者相差很小，理論推導(dǎo)的方位誤差公式可以準(zhǔn)確地計(jì)算電阻應(yīng)變式柱式力傳感器的方位誤差并預(yù)測(cè)其在不同球頭副結(jié)構(gòu)尺寸影響下的變化規(guī)律。當(dāng)傳感器制造完成，應(yīng)變片角度偏差β和γ即固定不變，式（12）中的sin（β/2）+μsin（γ/2）一項(xiàng)即為常數(shù)，R2=∞ 時(shí)，方位誤差隨R1增大；同樣，對(duì)于相同的球面半徑比Δ，應(yīng)該嚴(yán)格控制R2尺寸，從而減小傳感器的方位誤差。此外，由該公式可以預(yù)測(cè)，如果保持R2不變，則Δ越大，產(chǎn)生的附加彎矩M也越大，其得到的方位誤差也越大。

4 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)柱式應(yīng)變式力傳感器的方位誤差進(jìn)行了理論分析，并通過(guò)不同結(jié)構(gòu)尺寸的球頭副實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，得到結(jié)論如下：

理論推導(dǎo)的方位誤差計(jì)算公式可以準(zhǔn)確地計(jì)算柱式力傳感器的方位誤差并預(yù)測(cè)其在不同球頭副結(jié)構(gòu)尺寸影響下的變化規(guī)律；柱式力傳感器的方位誤差與施加在其上的附加彎矩有關(guān)，彎矩越大，產(chǎn)生的方位誤差也越大；對(duì)于球面—平面接觸類(lèi)型球頭副，應(yīng)嚴(yán)格控制球頭半徑R1尺寸，在材料強(qiáng)度允許的調(diào)節(jié)下，R1應(yīng)盡量??；同樣，對(duì)于球面—球面接觸，應(yīng)該盡量控制球碗半徑R2和半徑比Δ，從而減小傳感器的方位誤差。