鄭宇程，易文俊，余春華，管 軍

(1.南京理工大學(xué) 瞬態(tài)物理國家重點實驗室， 南京 210094； 2.南京理工大學(xué) 理學(xué)院， 南京 210094)

火炮在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中具有重要的使命，在對敵火力壓制過程中能夠起到關(guān)鍵性作用。獲取傳統(tǒng)高速旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈丸準(zhǔn)確的氣動參數(shù)，對于提高火炮射表精度、減小落點散布、增強打擊精度具有重要的意義。目前，國內(nèi)外獲取彈丸氣動參數(shù)的方法主要有三種[1]：第一種是理論計算，第二種是風(fēng)洞吹風(fēng)，第三種是利用彈丸的自由飛行數(shù)據(jù)對彈丸的氣動參數(shù)進行離線辨識。理論計算法雖然簡單，但由于模型中的未建模因素和不確定因素導(dǎo)致計算結(jié)果存在誤差。風(fēng)洞吹風(fēng)法作用于彈丸模型，結(jié)果較為準(zhǔn)確但成本較高，不能精準(zhǔn)模擬高速旋轉(zhuǎn)狀態(tài)。利用彈丸自由飛行數(shù)據(jù)辨識彈丸的氣動參數(shù)，不僅符合實際情況，還能根據(jù)辨識結(jié)果，及時對彈丸運動狀態(tài)進行調(diào)整，從而提高炮彈的打擊精度。

用于參數(shù)辨識的方法通常有遞推最小二乘法、遞推極大似然法、卡爾曼(kalman)濾波法等[2-5]。近年來，許多學(xué)者對此進行了研究。史繼剛[2]基于粒子群初值選取的牛頓迭代優(yōu)化算法辨識彈丸的零升阻力系數(shù)，該方法基于最大似然準(zhǔn)則，相比于卡爾曼濾波法實現(xiàn)更加困難；管軍等[3]提出一種新的自適應(yīng)混沌變異粒子群算法求解該準(zhǔn)則下的氣動參數(shù)最優(yōu)解，得到彈丸的氣動參數(shù)，但是在工程上難以實現(xiàn)；Rogers等[4]提出了一種基于證據(jù)理論的參數(shù)估計方法，偏于理論計算；史金光等[6]利用擴展卡爾曼濾波法對彈道修正彈的阻力和升力符合系數(shù)進行了辨識，并且由此對后續(xù)彈道進行修正，然而該方法技術(shù)要求較高，難以在實際應(yīng)用中實現(xiàn)；楊靖等[7]利用改進的混雜擴展卡爾曼濾波法對彈丸的阻力系數(shù)進行辨識，其對EKF的改進不大。

相比于最小二乘法和極大似然法，卡爾曼濾波法應(yīng)用最為廣泛。在處理非線性問題上，擴展性卡爾曼濾波(EKF)和無跡卡爾曼濾波(UKF)已經(jīng)成功地應(yīng)用于各種參數(shù)辨識問題[8-11]。本文主要利用擴展卡爾曼濾波和無跡卡爾曼濾波對彈丸的阻力系數(shù)進行辨識，并進行了對比研究。為了進行氣動參數(shù)的辨識，本文將未知的氣動參數(shù)看成系統(tǒng)的狀態(tài)量，分別用EKF方法和UKF方法對氣動參數(shù)進行辨識。為了檢驗實驗的正確性，又分為氣動參數(shù)不變和氣動參數(shù)變化兩種情況進行研究。

1 彈道模型

參數(shù)辨識的本質(zhì)問題就是如何通過輸出數(shù)據(jù)準(zhǔn)確辨識相關(guān)輸入?yún)?shù)或系統(tǒng)參數(shù)。如何選取系統(tǒng)的模型是重要的步驟之一。

阻力系數(shù)是傳統(tǒng)無控旋轉(zhuǎn)彈丸所有氣動參數(shù)中最重要的氣動參數(shù)之一，其直接影響了彈丸的射程和落點散布。本文的主要研究內(nèi)容是彈丸阻力系數(shù)辨識，雖然外彈道學(xué)中的彈道模型多種多樣，但2D彈道模型已經(jīng)能夠描述阻力系數(shù)對彈道性能的絕大部分影響。且2D彈道模型簡單、便捷，能夠直接揭示阻力系數(shù)和彈道參數(shù)之間的關(guān)系。因此，本文選用2D彈道模型作為系統(tǒng)的模型。

2D彈道模型[12]的方程為

(1)

其中，ρ為當(dāng)前高度的大氣密度，S為參考面積，m為彈體質(zhì)量。

2 卡爾曼濾波原理

2.1 擴展卡爾曼濾波算法

卡爾曼濾波法最初只用于離散線性系統(tǒng)，后來經(jīng)過改進，產(chǎn)生了許多種不同的方法。擴展性卡爾曼濾波(EKF)和無跡卡爾曼濾波(UKF)是應(yīng)用得比較廣泛的兩種方法。EKF方法在線性化處理的過程中對原系統(tǒng)進行泰勒展開，略去了二階以及二階以上的高階項，只保留了線性項。

擴展卡爾曼濾波的基本原理為：

1) 狀態(tài)一步預(yù)測方程

(2)

2) 求一步預(yù)測均方誤差

(3)

式中：Qk-1是系統(tǒng)噪聲的協(xié)方差矩陣，Γk-1是系統(tǒng)噪聲驅(qū)動陣，Φk,k-1為一步轉(zhuǎn)移矩陣，計算式如下：

Φk,k-1=I+A·Δt

(4)

3) 求濾波增益矩陣

(5)

4) 估計均方誤差

Pk=[I-KkHk]Pk,k-1

(6)

5) 得到最新一步的狀態(tài)估計

(7)

式中，zk為k時刻的觀測向量。

2.2 無跡卡爾曼濾波算法

由于EKF是一種非線性估計問題的線性化方法，其線性化過程會產(chǎn)生一定的誤差，且其需要進行復(fù)雜的雅克比矩陣求解；而UKF通過UT變換，直接對非線性問題進行處理，不需進行復(fù)雜的雅克比矩陣求解，且其精度可以達到二階泰勒展開的精度。因此，本文同樣使用UKF對阻力系數(shù)進行辨識，并同EKF進行比較研究，其基本計算步驟為：

1) 初始化濾波參數(shù)

(8)

式中：n為增廣狀態(tài)向量的維數(shù)；α是很小的一個正數(shù)，其取值范圍為10-4～1。本文取為0.01；κ的取值為3-n；β的值與x的分布形式有關(guān)，對于正態(tài)分布的情況，β取2最優(yōu)。

2) 計算k-1時刻的sigma樣本點

(9)

3) 計算k時刻的一步預(yù)測值

(10)

4) 計算k時刻的一步預(yù)測樣本點

(11)

5) 計算P(XZ)k,k-1和P(ZZ)k,k-1

(12)

6) 更新濾波值

(13)

3 基于卡爾曼濾波的阻力系數(shù)辨識

由于待辨識參數(shù)是阻力系數(shù)CD，本文通過增廣的方法將其添加到式(1)，以建立包含待辨識參數(shù)的狀態(tài)方程。

利用系數(shù)凍結(jié)法，設(shè)在小區(qū)間內(nèi)彈丸的阻力系數(shù)是常數(shù)，因此有下式成立：

(14)

則增廣狀態(tài)變量x為

x=[u,θ,x,y,CD]T

(15)

增廣之后的狀態(tài)方程可寫為

(16)

ω為系統(tǒng)噪聲向量。

通常情況下，彈道跟蹤雷達只能得到彈丸的速度和位置信息，因此量測向量取為

z=[u,x,y]T

(17)

量測方程為

z=h(x)+v

(18)

v為觀測噪聲向量。

4 數(shù)值仿真

彈丸的物理參數(shù)為：彈重45.5 kg；彈徑0.155 m；彈長0.909 m。氣象條件為標(biāo)準(zhǔn)氣象條件[13]。射擊初始值為：初速930 m/s，射角45°。

狀態(tài)初值為

x0=[930,45°,0,0,CD]Τ

(19)

初始狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣為

(20)

系統(tǒng)噪聲的協(xié)方差矩陣為

(21)

量測噪聲的協(xié)方差矩陣為

(22)

算例1

假設(shè)CD為常數(shù)，其真實值為0.35。用CD為0.35計算出來的理論值(速度，位置坐標(biāo))加上高斯白噪聲v來模擬觀測值。對于CD為常數(shù)的情況，用EKF和UKF辨識結(jié)果如圖1～圖2所示。從圖1和圖2可以看出，兩種方法辨識的CD最終都收斂在0.35，但UKF具有更快的收斂速度。

算例2

實際情況中，阻力系數(shù)CD是馬赫數(shù)的函數(shù)，本算例所采用的數(shù)值如表1所示。

根據(jù)變化的CD計算出的理論值，加上高斯白噪聲v的值，將其用來模擬觀測值。將EKF與UKF辨識的馬赫數(shù)與真實的馬赫數(shù)之差畫成曲線在一起對比，如圖3所示。

圖1 EKF辨識CD不變

圖2 UKF辨識CD不變

Ma0.50.751.01.251.51.75CD0.159 20.1570.299 50.321 40.296 20.275 7Ma2.02.252.52.753.0CD0.2580.239 90.225 70.207 90.191 5

圖3 馬赫數(shù)辨識誤差曲線

圖3不但表示了CD隨馬赫數(shù)變化的情況，而且可看出UKF辨識的馬赫數(shù)誤差較小，EKF辨識的馬赫數(shù)誤差較大。但是最大的誤差不超過10-3，為原馬赫數(shù)的0.05%，因此認(rèn)為兩種方法辨識的馬赫數(shù)是準(zhǔn)確的。CD雖然是馬赫數(shù)的函數(shù)，但是為了便于比較研究，將真實CD曲線、EKF辨識CD曲線和UKF辨識CD曲線對比，如圖4所示。

從圖4可以看出，前后兩端三者差別不大，現(xiàn)在選取中間20～50 s的時間段，參見圖5。

圖4 EKF與UKF辨識結(jié)果對比(1)

圖5 EKF與UKF辨識結(jié)果對比(2)

圖5中，從上至下分別是真實CD曲線、UKF辨識曲線和EKF辨識曲線。經(jīng)過比較，UKF辨識曲線的精度較EKF高，兩者的差距在0.002 5左右。UKF辨識的誤差為0.8%，EKF辨識的誤差為1.6%。由此可見，參數(shù)辨識的結(jié)果具有可行性。

5 結(jié)論

1)CD不變的情況下，EKF方法與UKF方法都能快速收斂到真值，且UKF具有較快的收斂速度。

2)CD隨馬赫數(shù)變化的情況下，EKF方法與UKF方法都能有效辨識出阻力系數(shù)，且UKF較EKF具有更高的辨識精度。