任宗孝 ，王翔 ，崔守凱 ，楊鮮鮮 ，楊強(qiáng)強(qiáng) ，畢剛

（1.西安石油大學(xué)石油工程學(xué)院，陜西 西安 710065；2.西安石油大學(xué)陜西省油氣井及儲(chǔ)層滲流與巖石力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710065；3.中國(guó)石油西南油氣田分公司勘探事業(yè)部，四川 成都 610041；4.中國(guó)石油青海油田分公司采油二廠，甘肅 敦煌 736202；5.中國(guó)石油青海油田分公司開(kāi)發(fā)處，甘肅 敦煌 736202）

0 引言

國(guó)內(nèi)致密油資源儲(chǔ)量豐富，得益于水平井以及大規(guī)模壓裂技術(shù)的發(fā)展，使致密油藏成為了一種現(xiàn)實(shí)的接替能源［1-2］。致密油藏特殊的地質(zhì)條件，導(dǎo)致在大規(guī)模水力壓裂過(guò)程中容易形成復(fù)雜的裂縫網(wǎng)絡(luò)［3-4］。裂縫在空間上任意交錯(cuò)導(dǎo)致地層滲流發(fā)生了較大的變化，近年來(lái)國(guó)內(nèi)外學(xué)者建立了大量的數(shù)學(xué)模型，模擬復(fù)雜縫網(wǎng)條件下分段壓裂水平井的滲流問(wèn)題。這些數(shù)學(xué)模型大致可分為解析模型、半解析模型以及數(shù)值模型等3類(lèi)，每類(lèi)模型均有其優(yōu)缺點(diǎn)。

2014 年，W.T.Zhou 等［5］建立了體積壓裂水平井產(chǎn)能模型，可將復(fù)雜縫網(wǎng)進(jìn)行線性離散，且能考慮每段裂縫不同的幾何及流動(dòng)屬性；但沒(méi)有考慮裂縫交叉時(shí)產(chǎn)量的“劈分”流動(dòng)。2015 年，W.D.Wang 等［6］在 Ozkan［7］三線性物理模型的基礎(chǔ)上，考慮分形流動(dòng)建立了非常規(guī)油藏體積壓裂水平井產(chǎn)能模型，并將油藏滲流劃分為 5 個(gè)流動(dòng)階段。2015 年，W.Luo 等［8］基于 Ozkan［9］面源函數(shù)建立了封閉板狀無(wú)限大油藏體積壓裂直井滲流模型，應(yīng)用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法考慮了裂縫傾角，但同樣沒(méi)考慮裂縫交叉時(shí)產(chǎn)量“劈分”流動(dòng)的問(wèn)題。2015年，Z.M.Chen 等［10］基于 Ozkan［9］面源函數(shù)建立了主裂縫上含有次生裂縫的縱橫垂直復(fù)雜縫網(wǎng)滲流模型，其優(yōu)點(diǎn)是每條裂縫的滲流屬性以及尺寸可以不同。2016年，任宗孝等［11］基于體積源函數(shù)［12］建立了縱橫垂直交錯(cuò)縫網(wǎng)滲流模型，但文中垂直縫網(wǎng)的假設(shè)過(guò)于理想。

本文基于改進(jìn)的Ozkan面源函數(shù)［13］建立了致密油藏體積壓裂水平井滲流模型，該模型既考慮了致密油藏雙重介質(zhì)滲流特點(diǎn)，又考慮了復(fù)雜縫網(wǎng)中裂縫傾角對(duì)油藏滲流的影響，以及裂縫相交后產(chǎn)量“劈分”流動(dòng)。應(yīng)用該模型識(shí)別出8種油藏滲流階段，揭示了致密油藏體積壓裂水平井滲流規(guī)律，并對(duì)關(guān)鍵性參數(shù)進(jìn)行了敏感性分析。

1 物理模型描述

圖1為致密油藏體積壓裂水平井示意圖，復(fù)雜縫網(wǎng)中，裂縫任意相交，共有16條裂縫。本文所建模型特征如下：1）致密油藏為上下封閉、無(wú)限大板狀油藏，油藏滲流滿足Warren等［14］提出的雙重介質(zhì)滲流特點(diǎn)。2）水平井在定產(chǎn)條件下開(kāi)采。3）縫網(wǎng)中裂縫相互交叉形式包括2條裂縫相交（如圖1中裂縫1，2）、Y字型裂縫交叉（如圖1中裂縫5—7）、十字型裂縫交叉（如圖1中裂縫2—5）以及多條裂縫交叉（如圖1中裂縫9—14）。4）復(fù)雜縫網(wǎng)中所有裂縫均垂直穿透地層，裂縫內(nèi)流體滿足一維達(dá)西滲流。5）單相流體微可壓縮，生產(chǎn)過(guò)程中油藏溫度保持不變。6）忽略液體毛細(xì)管壓力和重力的影響。

圖1 致密油藏體積壓裂水平井示意

2 數(shù)學(xué)模型建立

2.1 油藏滲流模型

致密油藏含有大量的天然裂縫，不能用常規(guī)的均質(zhì)油藏模型進(jìn)行描述。本文用雙重介質(zhì)模型來(lái)描述致密油藏（見(jiàn)圖2）［14］，假設(shè)雙重介質(zhì)油藏由基質(zhì)系統(tǒng)和天然裂縫系統(tǒng)組成。基質(zhì)系統(tǒng)主要提供液體的儲(chǔ)集空間，裂縫系統(tǒng)主要提供液體滲流通道。

圖2 雙重介質(zhì)油藏示意

1991 年，Ozkan 等［9］在拉氏空間下建立了雙重介質(zhì)油藏面源函數(shù)，解決了雙重介質(zhì)油藏中分段壓裂水平井的滲流問(wèn)題。但Ozkan面源函數(shù)要求裂縫必須垂直或平行于水平井筒，不能解決復(fù)雜縫網(wǎng)中含大量?jī)A斜裂縫的滲流問(wèn)題。2017年，任宗孝等［13］在Ozkan面源函數(shù)基礎(chǔ)上，建立了新面源函數(shù)，使之能解決傾斜裂縫滲流問(wèn)題。單條傾斜裂縫滲流的拉氏空間解為

式中：p為壓力，Pa；q為產(chǎn)量，m3/s；l為裂縫半長(zhǎng)，m；K0為貝塞爾函數(shù)；s為拉氏變量；x，y為變量；θ為裂縫傾角，（°）；u為積分變量；下標(biāo)f表示裂縫；下標(biāo)D表示無(wú)因次變量；下標(biāo)w表示井筒；“—”表示拉氏空間。

式中：h為地層厚度，m；Kini為滲透率，m2；pini為地層初始?jí)毫?，Pa；pj為任意裂縫壓力，Pa；qf，Q 分別為裂縫、油井產(chǎn)量，m3/s；μ為原油黏度，mPa·s。

考慮體積縫網(wǎng)內(nèi)裂縫之間的相互干擾，由疊加原理［15］可知，任意一條裂縫的無(wú)因次壓降fDi為

忽略裂縫的滲流阻力，則：

各裂縫無(wú)因次產(chǎn)量之和為1的限制要求為

將式（2）—（4）寫(xiě)成矩陣方程形式為

2.2 復(fù)雜縫網(wǎng)內(nèi)滲流模型

2004 年國(guó)外學(xué)者 Karimi［16］應(yīng)用“星-三角形”變換方法建立了復(fù)雜縫網(wǎng)內(nèi)裂縫間傳導(dǎo)率計(jì)算公式，多裂縫交叉裂縫間傳導(dǎo)率計(jì)算通式為

式中：T為兩裂縫之間的傳導(dǎo)率，m3/（Pa·s）；K為人工裂縫滲透率，m2；D為兩裂縫面心到交界面的距離，m；A為兩裂縫的橫截面積，m2；n為裂縫內(nèi)法線單位向量；m為裂縫面心與交界面面心之間連線的單位向量。

基于裂縫間傳導(dǎo)率，在一維達(dá)西滲流假設(shè)的前提下，首先給出Y字型交叉裂縫每條裂縫的產(chǎn)量公式：

式（9）即為含有3條裂縫的較為簡(jiǎn)單的復(fù)雜縫網(wǎng)滲流模型，同理可以寫(xiě)出Y字型、十字型及圖1中復(fù)雜縫網(wǎng)滲流矩陣方程。由于圖1中復(fù)雜縫網(wǎng)滲流矩陣方程太大，在此僅給出其矩陣向量形式：

式中：K′為傳導(dǎo)率矩陣 16×16階。

2.3 半解析滲流耦合模型

忽略射孔孔眼壓降以及水平井筒變質(zhì)量管流壓降，則裂縫2、裂縫7及裂縫14的壓降相等，且等于井底壓降。由定產(chǎn)生產(chǎn)的條件知，射孔孔眼流量之和為

式中：QD2，QD7，QD14分別為裂縫 2、裂縫 7、裂縫 14 對(duì)應(yīng)孔眼處液體流量，m3/s。

聯(lián)立式（5）、式（11）、式（13），依據(jù)連續(xù)性條件（裂縫交界面處壓力和流量相等），寫(xiě)出圖1中致密油藏體積壓裂水平井滲流矩陣方程：

式中：A為油藏滲流矩陣16×16階；I為16×16階單位矩陣；O為16×1階0向量；Θ為1×16階0向量。

其他向量具體表達(dá)式為

3 模型計(jì)算結(jié)果分析

3.1 致密油藏體積壓裂水平井滲流階段劃分

為揭示致密油藏體積壓裂水平井滲流規(guī)律，設(shè)計(jì)了一口簡(jiǎn)單的體積壓裂水平井，縫網(wǎng)中裂縫縱橫垂直交錯(cuò)。致密油藏基礎(chǔ)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 致密油藏基礎(chǔ)數(shù)據(jù)

在定產(chǎn)條件下求解體積壓裂水平井的解。在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中作無(wú)因次壓降pwD、無(wú)因次壓降導(dǎo)數(shù)p′wD與無(wú)因次時(shí)間tD的雙對(duì)數(shù)試井曲線（見(jiàn)圖3）。

圖3 致密油藏體積壓裂水平井試井曲線

由圖3可知，不同時(shí)間段無(wú)因次壓降導(dǎo)數(shù)曲線顯示的規(guī)律不同。結(jié)合前人對(duì)試井曲線的認(rèn)識(shí)，可將體積壓裂水平井劃分為8個(gè)滲流階段。

Ⅰ階段為復(fù)雜裂縫內(nèi)線性流。該階段最早出現(xiàn)且持續(xù)時(shí)間很短，水平井產(chǎn)出的液體主要來(lái)自復(fù)雜裂縫內(nèi)部。在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中，流動(dòng)階段Ⅰ的壓降導(dǎo)數(shù)曲線斜率約為0.50。Ⅱ階段為地層-裂縫雙線性流。隨著復(fù)雜縫網(wǎng)內(nèi)液體的逐漸產(chǎn)出，壓降波及到縫網(wǎng)附近的地層。地層內(nèi)的液體線性流入裂縫，這時(shí)水平井的產(chǎn)液量一部分來(lái)自復(fù)雜縫網(wǎng)、一部分來(lái)自地層。在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中，該流動(dòng)階段壓降導(dǎo)數(shù)曲線斜率約為0.25。Ⅲ階段為地層線性流。地層中的流體線性流入裂縫，該流動(dòng)階段的壓降導(dǎo)數(shù)曲線斜率約為0.50。Ⅳ階段為過(guò)渡流。該階段是地層線性流與縫網(wǎng)內(nèi)裂縫間相互干擾流的過(guò)渡階段。Ⅴ階段縫網(wǎng)內(nèi)裂縫間相互干擾流動(dòng)。隨著壓降的進(jìn)一步擴(kuò)大，復(fù)雜縫網(wǎng)中的裂縫發(fā)生相互干擾，壓降導(dǎo)數(shù)曲線出現(xiàn)“駝峰”狀凸起。公開(kāi)發(fā)表的文獻(xiàn)中尚未有學(xué)者對(duì)“駝峰”狀凸起進(jìn)行研究。本文分析找出了影響該階段滲流的主要因素。Ⅵ階段為天然裂縫系統(tǒng)擬徑向流。該階段出現(xiàn)之前，水平井產(chǎn)出的液體全部來(lái)自天然裂縫系統(tǒng)。其主要反映了天然裂縫擬徑向滲流特點(diǎn)。Ⅶ為竄流階段，是雙重介質(zhì)油藏特有的滲流階段，此階段代表基質(zhì)系統(tǒng)開(kāi)始向天然裂縫系統(tǒng)供給液體。其主要特征是壓降導(dǎo)數(shù)曲線有一“凹槽”，“凹槽”出現(xiàn)的早晚及持續(xù)時(shí)間的長(zhǎng)短受竄流系數(shù)和儲(chǔ)容比影響較大。Ⅷ階段為整個(gè)油藏系統(tǒng)擬徑向流。隨著開(kāi)采的持續(xù)進(jìn)行，天然裂縫系統(tǒng)和基質(zhì)系統(tǒng)都達(dá)到了擬穩(wěn)態(tài)徑向流，對(duì)應(yīng)壓降導(dǎo)數(shù)曲線為一水平線，且值為0.50［18］。

3.2 參數(shù)敏感性分析

3.2.1 縫網(wǎng)間距

致密油藏體積壓裂水平井如圖4所示，水平井中有2個(gè)縱橫垂直交錯(cuò)縫網(wǎng)，縫網(wǎng)內(nèi)共有24條裂縫。當(dāng)兩縫網(wǎng)間間距ΔL分別為200，500，1 000 m時(shí)，分析試井曲線的變化。

圖4 致密油藏體積壓裂水平井縫網(wǎng)示意

縫網(wǎng)間距主要影響流動(dòng)階段Ⅴ（復(fù)雜縫網(wǎng)間相互干擾），對(duì)其他流動(dòng)階段沒(méi)有影響。隨著縫網(wǎng)間距的增加，壓降曲線以及壓降導(dǎo)數(shù)曲線逐漸降低，“駝峰”狀凸起也隨之降低，說(shuō)明縫網(wǎng)間相互干擾減弱。

3.2.2 體積縫網(wǎng)滲透率

假設(shè)復(fù)雜縫網(wǎng)中所有裂縫滲透率都相等，當(dāng)裂縫滲透率分別為 108×10-3，107×10-3，106×10-3，105×10-3，104×10-3μm2時(shí)，分析試井曲線的變化。計(jì)算可知，縫網(wǎng)滲透率主要對(duì)前3個(gè)流動(dòng)階段影響較大。隨著滲透率的逐漸增大，裂縫線性流以及雙線性流持續(xù)時(shí)間越來(lái)越短。地層線性流持續(xù)時(shí)間越來(lái)越長(zhǎng)，當(dāng)裂縫滲透率增大到108×10-3μm2時(shí)，裂縫線性流以及雙線性流消失。說(shuō)明此時(shí)的裂縫滲透率極高，進(jìn)入裂縫的液體幾乎瞬間到達(dá)水平井筒。

3.2.3 壓裂區(qū)體積

在縫網(wǎng)密度一定的情況下，為了分析壓裂區(qū)體積大小對(duì)產(chǎn)能的影響，做了以下3組計(jì)算。3組計(jì)算中壓裂區(qū)體積分別為 1.6×106，3.2×106，6.4×106m3。壓裂區(qū)體積大小對(duì)水平井前5個(gè)滲流階段影響較大，對(duì)后面的滲流影響較小。壓裂區(qū)體積越大，無(wú)因次壓降越小，說(shuō)明相同產(chǎn)量下地層“能耗”越低；所以，在現(xiàn)場(chǎng)施工過(guò)程中應(yīng)盡可能增加壓裂區(qū)體積。

3.2.4 體積壓裂區(qū)縫網(wǎng)形狀

為了研究縫網(wǎng)形狀對(duì)水平井生產(chǎn)的影響，對(duì)比了3種縫網(wǎng)（裂縫縱橫垂直交錯(cuò)矩形縫網(wǎng)、裂縫縱橫垂直交錯(cuò)橢圓形縫網(wǎng)，以及裂縫不規(guī)則分布的復(fù)雜縫網(wǎng)）的生產(chǎn)情況。在3組算例中人為設(shè)定，縫網(wǎng)的體積以及裂縫的總長(zhǎng)度相等。計(jì)算可知，在壓裂區(qū)體積和裂縫總長(zhǎng)度相同的情況下，不同形狀的縫網(wǎng)無(wú)因次試井曲線幾乎完全重合。這說(shuō)明在縫網(wǎng)規(guī)模一定的情況下，裂縫的形態(tài)對(duì)水平井生產(chǎn)幾乎沒(méi)有影響。

4 結(jié)論

1）精確劃分了體積壓裂水平井滲流階段，各階段從早到晚依次出現(xiàn)的順序?yàn)椋簭?fù)雜裂縫內(nèi)線性流（Ⅰ）、地層-人工裂縫雙線性流動(dòng)（Ⅱ）、地層線性流（Ⅲ）、過(guò)渡流（Ⅳ）、縫網(wǎng)內(nèi)裂縫相互干擾流動(dòng)（Ⅴ）、天然裂縫系統(tǒng)擬徑向流（Ⅵ）、竄流（Ⅶ）、整個(gè)系統(tǒng)擬徑向流（Ⅷ）。

2）研究了縫網(wǎng)內(nèi)裂縫間相互干擾流動(dòng)階段，發(fā)現(xiàn)縫網(wǎng)間距對(duì)其影響較大。縫網(wǎng)間距越小，“駝峰”狀凸起越大，縫網(wǎng)內(nèi)裂縫間相互干擾越嚴(yán)重。

3）壓裂區(qū)體積對(duì)水平井生產(chǎn)影響較大，壓裂區(qū)體積越大，相同產(chǎn)量下油井的無(wú)因次壓降越低，地層“能耗”越小。在壓裂區(qū)體積以及縫網(wǎng)長(zhǎng)度一定的情況下，縫網(wǎng)形狀對(duì)水平井的開(kāi)發(fā)幾乎沒(méi)有影響。