北京亦莊實驗小學(xué)(101102) ()

五、歷史和文化課程全景建設(shè)的實施與運作過程

(一)實施和運作的兩大模塊及簡要說明

在縱、橫、越三個維度資料檢索的基礎(chǔ)上，進(jìn)行歷史和文化課程的實施與運作。

1.對三個維度中的歷史和文化資料進(jìn)行篩選。

教師、學(xué)生、家長的協(xié)同搜索，會搜集到很多與課本學(xué)習(xí)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)歷史和文化資料，但并不是所有的數(shù)學(xué)歷史和文化資料都能成為課程。這時最重要的工作就是教師要對搜集到的數(shù)學(xué)歷史和文化資料進(jìn)行甄別、篩選與整理，以符合課程教學(xué)需要。課程素材篩選和整理的標(biāo)準(zhǔn)如下：

它是不是學(xué)生當(dāng)下學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容；

它是不是能夠促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，對數(shù)學(xué)思想方法的感悟；

它是不是很有意思，很有趣；

它是不是具備學(xué)生當(dāng)下必須具有的相應(yīng)的教育功能；

它是不是有著豐厚的知識背景……

如果是，即使它與課本內(nèi)容出入甚大也必須補充，建設(shè)成綜合性的數(shù)學(xué)課程。當(dāng)然，最終還是要因人、因時、因地、因內(nèi)容的具體情況而定。

2.思考如何與常規(guī)的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容進(jìn)行整合，如何在教學(xué)中落實課程的實施。

選定素材后，有兩項最重要的工作：一是如何與課本中的內(nèi)容整合、重構(gòu)；二是如何在教學(xué)中實施，使數(shù)學(xué)的歷史和文化真正落地，浸潤學(xué)生身心，成為學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、人文素養(yǎng)的一部分。

不同的數(shù)學(xué)歷史和文化，篩選后與教材上常規(guī)課程內(nèi)容整合的時空順序不盡相同。如同樣的文化起源課程，有的宜放在常規(guī)教學(xué)內(nèi)容之前進(jìn)行學(xué)習(xí)，有的宜放在常規(guī)教學(xué)內(nèi)容之后進(jìn)行學(xué)習(xí)，有的則適合分散融入常規(guī)課程學(xué)習(xí)之中，貫穿教學(xué)始終。同樣是超越數(shù)學(xué)本身、跨越其他學(xué)科領(lǐng)域的歷史和文化知識，有的宜在課內(nèi)集中學(xué)習(xí)，有的則適合在課后讓學(xué)生自己閱讀和研究。

與課本內(nèi)容的整合，總體上可分為“前、中、后和貫”四種情況：“前”指在縱向的文化中，一些產(chǎn)生背景、知識萌發(fā)原狀態(tài)的文化一般在教材內(nèi)容集中學(xué)習(xí)之前進(jìn)行浸潤；“中”指對歷史和文化進(jìn)行橫向的了解與對比，更適合在學(xué)習(xí)過程中進(jìn)行探究；“后”指一些提升和跨越性的歷史和文化，更適合放在教材內(nèi)容集中學(xué)習(xí)之后進(jìn)行研究；“貫”指一些數(shù)學(xué)知識本身衍生的歷史和文化，往往需要貫穿實施過程的始終。當(dāng)然，這也不是絕對的，還要視其功用和學(xué)生的具體情況而定。

下面，我就以幾個教學(xué)案例，介紹如何在具體教學(xué)中進(jìn)行執(zhí)行和操作，使這些歷史和文化在學(xué)生心中落地生根。

(二)實施和運作的教學(xué)范式

●“貫”的范式：“長度單位”歷史和文化的全景建設(shè)(二年級)

其全景建設(shè)分為以下五個部分：

第一部分(縱1)，“源課程”——源于需要，度之以體。

長度的測量最初源于人們生活的需要，如認(rèn)識萬物、描述萬物、表達(dá)、交流、使用等，而最初的度量始于人自己的身體。世界各個民族，最初度量距離的參照物都是人體的外在器官，因為這樣的度量工具是“人人都有”“隨身攜帶”“不會丟失”“短時間內(nèi)長度不會改變”的。由于這樣的度量工具使用方便、快捷，而且形象，所以即使是測量工具發(fā)達(dá)的今天，人們在日常生活中仍然廣泛使用。因此，我首先要做的便是營建課程環(huán)境，把學(xué)生帶入一個需要測量的環(huán)境，“恰巧”撤去學(xué)生可以依賴的憑借(現(xiàn)代測量工具)，“逼迫”其回歸人(自己)的本能——自覺地用自己的身體去測量外物，與外在的世界鏈接和對話。

課程推進(jìn)過程如下：

我是包班教師，中午帶學(xué)生吃飯后，陪他們在沙坑和單雙杠下玩耍。玩時，我問學(xué)生：“同學(xué)們，如果有人問沙道有多寬、單杠有多高，你們怎么辦？”學(xué)生說：“回去拿尺子量??！”我激將道：“有尺子誰不會量啊！不用尺子，你有辦法告訴人家結(jié)果嗎？”馬上有學(xué)生想出應(yīng)對的方案：“用我們走的一步來測量，量量共有幾步。”我趁勢把這種“無尺”測量的挑戰(zhàn)推廣到操場上的所有物體(學(xué)生可自由選擇)，于是學(xué)生開始了自己創(chuàng)意無限的測量，如用雙臂測量網(wǎng)球場柵欄的長度、用拃測量秋千板的長度、用手指測量樹葉的長度、用身高測量單杠的高度、用腳長測量沙坑的長度、用掌寬測量花朵的大小、用步數(shù)測量跑道的長度等。

第二部分(縱2)，“器課程”——借助外物，解放自己。

在特定的測量環(huán)境中，面對特定的物體，即使沒有教師的引導(dǎo)，學(xué)生也完全可以自己創(chuàng)生出很多測量的方法，擺脫了對身體的依賴，任意選取其他物體(如紙、樹枝、筆等)為參照物，自定單位，進(jìn)行測量。這是人類測量史上第一個、最為關(guān)鍵的突破——借助外物測量，既解放自己，又超越了自己身體的局限。如一學(xué)生原來用身高測量單杠的高度，在后面測量雙杠的高度時，他卻不再使用身高進(jìn)行測量，而是找來一根樹枝作為參照物進(jìn)行測量。在集體分享的時候，我問他：“你為什么不用身體測量了呢？”他說：“我身高不夠??！”我繼續(xù)問道：“那你為什么不用拃去測量呢？”他說：“太麻煩了，再說我也夠不著啊！”也就是說，當(dāng)學(xué)生使用自己的身體無法進(jìn)行測量時，他便借助樹枝這個外物來解決問題。

同樣的問題，我也問過一個男生，他說：“我先用小腿測量，發(fā)現(xiàn)腳燈的高度在膝蓋下面，但是沒法做記號。我怕自己記不住，回來說不清楚，就用鉛筆量，發(fā)現(xiàn)它正好是3根鉛筆那么高。”一個女生也告訴我：“因為網(wǎng)球的球網(wǎng)高度在我的肚臍之上、胸口之下，不好記住到底在哪里，所以選擇了用紙張測量?！边@兩位學(xué)生由于用身體測量不好標(biāo)記，不便于記憶和表達(dá)，求簡的本能促使他們嘗試借助外物解決問題。

上述活動，無論是學(xué)生以身體測量，還是自由選取其他之物進(jìn)行測量，都屬于他們自己的測量，是他們自由嘗試、自主選擇、獨立思考和探索的結(jié)果，極具個性。

第三部分，“網(wǎng)課程”(一)——古代各地以身體為尺的歷史搜索和分享。

在家長的協(xié)助和指導(dǎo)下，學(xué)生自主搜索古代(縱)中、外(橫)人們是怎樣測量物體長度的資料。資料處理方案如下：與長度相關(guān)的資料都可以直接先下載下來，然后復(fù)制成word文檔，選擇、標(biāo)注出古代各國用身體測量的部分，并和自己獲得的身體測量的經(jīng)驗進(jìn)行對比。通過調(diào)查，學(xué)生驚奇地發(fā)現(xiàn)原來自己經(jīng)歷過的測量情形，正是古代測量單位產(chǎn)生時的狀態(tài)，他們“無意間”重新經(jīng)歷了古人測量物體長度的最初過程。于是，學(xué)生依次分享了古埃及、古印度、古巴比倫、古代中國、古代英國……的身體長度單位。如古代中國：人之身高為“仞”，也稱“一丈”；雙臂橫向展開之長為“庹”，也稱“一尋”；拃即“尺”，指即“寸”，掌寬即“膚”(扶)；邁出一只腳的距離為“跬”，邁出兩只腳的距離為“步”……古代英國：原始的長度單位也是“指”“掌”和“噚”；10世紀(jì)時英王埃德加把自己大拇指關(guān)節(jié)之間的長度定為一英寸，還規(guī)定臂長為“碼”，腳長為“英尺”(英國的單詞foot，表示身體上的腳，所以腳也是英國的一個長度單位“尺”)；“虎口”的英語為span，指手掌全部打開后拇指尖與中指尖之間的最大距離……古埃及和以色列的長度單位為“肘”，“腕尺”指自肘至中指端的長度……

通過對這些課程內(nèi)容的探究，學(xué)生多多少少能了解到文明萌芽中的東西方，雖然地域、風(fēng)俗、文化不同，古代的人們卻不約而同地都以身體作為丈量長度的基礎(chǔ)，然后借助外物克服身體的弊端，解放自己。

第四部分，“準(zhǔn)課程”——分享交流，統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。

因為人的身體各異，以身體為尺，會一人一個標(biāo)準(zhǔn)，且任意取外物作為測量工具，單位也會不同，別人不能確定其長度到底是多少，所以不能進(jìn)行廣泛的交流和貿(mào)易。為了讓學(xué)生體驗到這一點，我借助學(xué)生自己測量的結(jié)果，設(shè)計了一個讓學(xué)生體驗到統(tǒng)一測量標(biāo)準(zhǔn)必要性的戲劇化場景：讓全班最高、步子最大的生1給“姚明”(由我扮演)打電話，介紹她測量到學(xué)校沙道的寬度。生1：“姚明叔叔，我們學(xué)校沙道的寬度為5步。”然后由全班個子最矮、步子最小的生2給“姚明”打電話，介紹她測量到學(xué)校沙道的寬度。生2：“姚明叔叔，我們學(xué)校沙道的寬度為8步?！薄耙γ鳌闭f：“我都糊涂了，你們學(xué)校沙道的寬度到底是幾步？算了，就按5步算吧。”于是，“姚明”自己跨了很大的五步后，說：“噢，沙道原來這么寬??！”學(xué)生看后紛紛反對：“姚明叔叔，你的步子太大了，我們的沙道沒有那么寬！”……由此，學(xué)生體會到了統(tǒng)一測量標(biāo)準(zhǔn)的必要性，而且這個標(biāo)準(zhǔn)要客觀、不變、統(tǒng)一。那么，人類是怎樣統(tǒng)一測量長度標(biāo)準(zhǔn)的呢？(進(jìn)入學(xué)生自己的專項研究時間)

第五部分，“書課程”“網(wǎng)課程”(二)和“工課程”。

1.“書課程”：借助教參和其他參考資料自學(xué)課本“測量”這個單元的內(nèi)容。

2.“網(wǎng)課程”(二)。

(1)古代中外是怎樣統(tǒng)一長度單位的(縱橫)？

(2)現(xiàn)代國際統(tǒng)一長度單位為米、分米、厘米，是怎么統(tǒng)一、規(guī)定的？

(3)提供相關(guān)名師的教學(xué)微視頻，進(jìn)行“翻轉(zhuǎn)”學(xué)習(xí)。

3.“工課程”：分別做米尺、分米尺、厘米尺并進(jìn)行測量，讓學(xué)生親身經(jīng)歷國際通用長度單位制作與應(yīng)用的過程，加深學(xué)生對長度單位的印象，建立起相應(yīng)的長度觀念。

在自學(xué)課本、看微視頻、進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)研究和動手制作、測量的基礎(chǔ)上，我讓學(xué)生進(jìn)行第二次分享。第二次分享，也是從“縱、橫、越”三個維度來進(jìn)行的。

縱向：

1.分享不同歷史時期的長度單位。

通過“人本身→黍→地球的本初子午線→……→光波定義單位米”，引導(dǎo)學(xué)生完整地了解“米”這個單位縱向統(tǒng)一的歷史，經(jīng)歷整個人類對長度單位不斷精致和精確化的全部過程，使學(xué)生明白在長度單位發(fā)展中人永遠(yuǎn)是規(guī)定測量標(biāo)準(zhǔn)的最終決定者，即“人是萬物的尺度”。

首先，分享和交流“米”的發(fā)展變化過程，即長度單位統(tǒng)一的縱向發(fā)展史。因為“米”是人類共同制定的第一個長度單位，是現(xiàn)代長度單位統(tǒng)一的起點，其他長度單位都是以它為單位分割或聚合而形成的，所以“米”也是整個國際長度單位系統(tǒng)的基礎(chǔ)和本源。學(xué)生通過自學(xué)和網(wǎng)絡(luò)研究很容易了解“米”的起源與發(fā)展變化過程：1790年5月由法國科學(xué)家組成的特別委員會，把地球子午線的長度平均分成四千萬份，確定其中一份的長度就是1米。1790年根據(jù)這個長度確定了檔案米，1872年根據(jù)檔案米制作了米原器，1960年以氪-86原子波長的1650763.73倍為1米(克服了米原器的弊端，具有穩(wěn)定性強、不變形、易復(fù)現(xiàn)、精度高等特點)，1983年又將米定義為1/299792458秒的時間間隔內(nèi)光在真空中行程的長度……

學(xué)生在調(diào)查確定米、自己制作米尺的基礎(chǔ)上，體會到測量物體的長度短于米時，以米為單位不能準(zhǔn)確測量長度，故而將米平均分成十份得到分米；短于分米，分米不能測量，再將分米平均分成十份而得到厘米。這樣學(xué)生經(jīng)歷了“破‘米’→生‘分米’→破‘分米’→生‘厘米’”的過程，體會到創(chuàng)造更小長度單位的必要性。于是，我們的學(xué)習(xí)內(nèi)容和現(xiàn)行教材相比，結(jié)構(gòu)自然發(fā)生了改變：現(xiàn)行的教材一般先認(rèn)識米和厘米，再認(rèn)識分米和毫米，而我們的課程安排是米→分米→厘米，這和長度單位產(chǎn)生、統(tǒng)一的歷史過程一致，和學(xué)生的調(diào)查研究一致，既有助于學(xué)生理解為什么要不斷創(chuàng)造新的、更小的長度單位，又有利于學(xué)生的后繼學(xué)習(xí)，可以把這些思考和方法類推到更小、更大的長度單位的研究與學(xué)習(xí)。學(xué)生開始自覺地向更大、更小的長度單位去追溯和探究，于是進(jìn)行了第二次的縱向分享。

2.分享以米為起點的現(xiàn)代長度單位系統(tǒng)。

……1秒差距、堯米、澤米、艾米、光年、天文單位、帕米、太米、京米、兆米、公里、米、分米、厘米、毫米、絲米、忽米、微米、納米、皮米、飛米、阿米……

學(xué)生通過這個單位系統(tǒng)的調(diào)查和自己的動手實踐，縱向了解了長度單位創(chuàng)生的必要性和它們之間的進(jìn)制關(guān)系。

橫向：

學(xué)生通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，盡管東西方相距甚遠(yuǎn)，在沒有溝通和交流的情況下，借助測量長度的外物竟然如此驚人的相似。如古代英國用三個大麥粒的長度統(tǒng)一了英寸的長度，而中國西漢以黍統(tǒng)一了長度單位(1粒黍為1分)，古代中國和英國竟然不約而同地選擇了米粒作為測量單位。

跨越：

語文課上，在分享和學(xué)習(xí)與長度單位相關(guān)的字、詞、成語、典故、古詩文后，我引導(dǎo)學(xué)生討論：“為什么法國的長度單位能世界通用，而我們中國和英國的長度單位沒能世界通用？”這樣教學(xué)，讓學(xué)生認(rèn)識到只有客觀、公平、準(zhǔn)確的標(biāo)準(zhǔn)才能通行。

然后我將教學(xué)與科學(xué)整合，讓學(xué)生觀看《大宇宙：探索人類未知》科普片，了解星際距離，如天光年、天文單位等。最后讓學(xué)生再次進(jìn)行測量，使他們體會到身體、尺子、計算相結(jié)合測量物體長度的便利，認(rèn)識到“人最終還是萬物的尺度”。

通過這種歷史化的全景式的課題建設(shè)和研究方式，學(xué)生得到了充分的數(shù)學(xué)文化滋養(yǎng)，對長度單位有了更為完整的認(rèn)識，理解也更為深刻，掌握得更為牢固，更重要的是學(xué)生從中體悟到了數(shù)學(xué)思考和研究的一般方法。長期堅持這樣的全景式課程建設(shè)和研究，學(xué)生就會逐漸學(xué)會發(fā)現(xiàn)、學(xué)會分析、學(xué)會思考、學(xué)會創(chuàng)造，也就能像數(shù)學(xué)家那樣去研究和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)了。

如前文所述，即使同一類型的數(shù)學(xué)文化史料，面對不同的學(xué)生、不同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，編輯它的時機、方式以及發(fā)揮課程作用的角度也不盡相同。如同樣是“源課程”(指展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識萌發(fā)原態(tài)、最初產(chǎn)生過程的數(shù)學(xué)歷史和文化)，有的宜放在集中學(xué)習(xí)之前進(jìn)行研究，有的宜放在集中學(xué)習(xí)之后進(jìn)行研究。如“千克和克”的“源課程”放在教材單元學(xué)習(xí)之前，課程效果會更好，而“乘法口訣表”的“源課程”放在乘法口訣表學(xué)習(xí)之后，課程效果會更好。

●“前”的范式：充分發(fā)揮“源課程”啟蒙、激趣和定標(biāo)的功能

課程案例：“千克和克”的教學(xué)

質(zhì)量單位是“量與計量”中最抽象的內(nèi)容之一，它們的測量不像用尺測量長度那樣直觀、具體、形象。除了體重外，在日常生活中，很少有需要二年級學(xué)生對一些物體質(zhì)量進(jìn)行精確量化的情況，所以學(xué)生對質(zhì)量量化的經(jīng)驗和對不同質(zhì)量感的有意識體驗是非常欠缺的。質(zhì)量感的抽象性，決定了學(xué)生僅靠課堂上的集中學(xué)習(xí)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，學(xué)習(xí)過程必須是長期的、生活浸潤式的。也就是說，教師要讓學(xué)生有意識地通過親手提、親手托、親自抱、親自背、親自掂等方式，進(jìn)行實實在在的負(fù)重體驗，并引導(dǎo)學(xué)生比較各種不同的負(fù)重感覺，使學(xué)生在真實的體驗過程中逐漸建立起相應(yīng)的質(zhì)量感和質(zhì)量觀念。

要引導(dǎo)學(xué)生有意識地進(jìn)行負(fù)重的體驗和對比，建立正確、標(biāo)準(zhǔn)的質(zhì)量感，就必須讓學(xué)生提前了解和認(rèn)識這些質(zhì)量單位。因此，對標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量單位的調(diào)查、了解就要安排在“質(zhì)量單位”這個主題學(xué)習(xí)的最前面，使學(xué)生對標(biāo)準(zhǔn)的質(zhì)量單位“先入為主”，初步建立標(biāo)準(zhǔn)單位的質(zhì)量感。

鑒于以上的思考和分析，學(xué)習(xí)質(zhì)量單位“千克和克”之前，我讓學(xué)生在感受到學(xué)習(xí)質(zhì)量單位必要性的基礎(chǔ)上，先搜集、調(diào)查標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量單位產(chǎn)生的歷史和相關(guān)文化，即先學(xué)習(xí)質(zhì)量單位的“源課程”。學(xué)生交流和分享的主要課程內(nèi)容與相應(yīng)的活動課程安排如下：

1.交流標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量單位千克和克的由來、狀況。

(1)千克這個質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)是1791年由法國科學(xué)院制定的，即將1立方分米的純水在4℃時的質(zhì)量約定為1千克，并用鉑銥合金制成原器，保存在巴黎，后稱國際千克原器。

(2)用千克這個單位沒法稱量一杯水、一個蘋果、一個硬幣等較輕物體的質(zhì)量，由于需要更小的質(zhì)量單位來測量，所以國際計量大會規(guī)定“把1千克平均分成1000份，每一份就是1克(大約相當(dāng)于一節(jié)小拇指大的一塊冰)”。

(3)1901年第三屆國際計量大會規(guī)定：千克用符號kg表示，克用符號g表示。千克和克是質(zhì)量單位，而不是重量單位。我們生活中通常說的“一個物體重多少”，實際上指的不是重量，而是數(shù)學(xué)上的質(zhì)量。

2.引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行體驗活動。

在分享史料后，我在教室里備足千克和克的標(biāo)準(zhǔn)碼，讓學(xué)生自由地進(jìn)行托、拿、提、頂?shù)润w驗活動。

3.借助天平測量。

讓學(xué)生借助大天平，用多個1千克標(biāo)準(zhǔn)碼來稱量幾千克的物體；借助小天平，用多個1克標(biāo)準(zhǔn)碼稱量幾克的物體。這里，不用直接顯示質(zhì)量數(shù)的電子秤稱，旨在讓學(xué)生把要稱量的物體和1千克、1克標(biāo)準(zhǔn)碼的個數(shù)鏈接與對比，體會這個物體的質(zhì)量是由幾個標(biāo)準(zhǔn)單位組成的，從而更好地建立質(zhì)量感。

4.準(zhǔn)備1立方分米的學(xué)具盒子，讓學(xué)生用自己的水杯、礦泉水瓶灌滿水并用手掂量，再和1克進(jìn)行對比。

5.讓學(xué)生對1千克物體的質(zhì)量進(jìn)行體驗活動，繼續(xù)建立質(zhì)量感。

學(xué)生了解了千克原器的由來，對千克的認(rèn)識會更全面、更深入，對它的情感也會更濃厚。同時，學(xué)生通過調(diào)查還了解到“為了保持千克原器的質(zhì)量的恒定”，知道把千克原器密封起來是為了防銹蝕、防磨損等，了解了砝碼保護的常識。由于有了這樣的一種“閱歷”，所以很多學(xué)生使用砝碼時都自覺地用鑷子，放在手上感受時也自覺地用紙張隔開。那一刻我也悟到，學(xué)生很多時候不是不愛惜東西，而是不知道需要愛惜、為什么要這樣愛惜。

●“后”的范式：乘法口訣認(rèn)識的拓展、提升與超越學(xué)科的歷史和文化(以2011年10月我在杭州安吉路良渚實驗學(xué)校執(zhí)教為例)

乘法口訣的歷史與文化課程內(nèi)容，我安排在學(xué)生理解乘法的含義、學(xué)習(xí)乘法口訣之后進(jìn)行的。活動內(nèi)容和流程安排如下：

1.九九口訣表的歷史。

我先和學(xué)生一起了解“九九”的來歷，在各國的傳播、發(fā)展和演變過程。

“九九歌”是我們中國人創(chuàng)造的。1400年前向東傳入高麗、日本，向西經(jīng)過絲綢之路傳入印度、波斯，繼而流行全世界。九九乘法歌訣是古代中國對世界文化的一項重要貢獻(xiàn)！

我國2700多年前的春秋時期就有乘法口訣的記載，最初口訣是從“九九八十一”開始，到“二二如四”結(jié)束，因為開頭兩個字是“九九”，所以古人就把乘法口訣稱為“九九歌”。

大約1600年前，“九九”添加了“一一如一”到“一九如九”的口訣。大約在1000年前的宋朝，口訣的順序才演變成和我們現(xiàn)在背誦的一樣，從“一一如一”開始到“九九八十一”結(jié)束。元代的時候，人們把“九九歌”稱為“九數(shù)法”?，F(xiàn)在的乘法口訣有兩種：一種是我們現(xiàn)在背誦的，共45句，稱為“小九九”；另一種從1×1一直到19×19，共81句，稱為“大九九”，最早的記載在清朝。

2．欣賞與乘法口訣有關(guān)的瓷器、木簡、漢磚等，并和現(xiàn)在的九九乘法口訣表進(jìn)行對比。

如湖南省出土的秦代木牘是目前發(fā)現(xiàn)最早的乘法口訣表，它的后面還有“一二而二”“二半而一”兩句口訣，共38句，最后一句口訣為“凡千一百一十三字”，意思是“每句口訣最后的結(jié)果都加起來一共是1113”。

3.欣賞與“九九”有關(guān)的典故。

比如，齊桓公招賢納士和“小九九”的故事：春秋明君齊桓公，為了廣招賢人奇士，張貼了“招賢榜”，很久也沒有人來應(yīng)征。一天，終于來了個秀才模樣的人。齊桓公很高興，親自到門口迎接。沒想到，來人二話沒說，開口就背：“九九八十一，九八七十二，九七六十三……二二得四。”背完后，他向齊桓公作了一個揖，說道：“大王，見笑了?！饼R桓公和手下的人聽完都哈哈大笑，并問道：“難道會背‘九九歌’就表示你有才學(xué)嗎？”來人卻一本正經(jīng)地回答道：“大王，我會背‘九九歌’算不上有才學(xué)，但是大王對我都能以厚禮相待的話，天下有才學(xué)的人還愁不會接連地來投奔您嗎？”齊桓公聽了，說：“言之有理。那么，先生就是我招來的第一位賢士了。”從此，賢人們都紛紛來投奔齊桓公，齊國越來越強大了。

4.欣賞與乘法口訣有關(guān)的成語、短語、笑話、俚語、兒歌、節(jié)氣歌等。

成語有“九九八十一難”“九九歸一”等，短語有“不管三七二十一”等，俚語有“小九九”等。同時，我還特別分享了“最中國”的《九九節(jié)氣歌》?！毒啪殴?jié)氣歌》不僅有冬季的，也有夏季的。最特別的是夏季的節(jié)氣歌，它是乘法口訣表示文學(xué)與數(shù)學(xué)的跨界和統(tǒng)一。

夏季的《九九節(jié)氣歌》，其中的“九九”與冬天相對應(yīng)，從6月22日夏至算起，到9月中旬也有九九八十一天。同時，我出示明代的夏季節(jié)氣歌：“一九二九，扇子不離手；三九二十七，冰水甜如蜜(古代有冰窖，冬天藏冰，夏天取出應(yīng)用)；四九三十六，汗出如洗??；五九四十五，難戴秋葉舞；六九五十四，乘涼人佛寺；七九六十三，床頭尋被單；八九七十二，思量蓋夾被；九九八十一，階前鳴促織(促織指蛐蛐)?！?/p>

5．了解象棋、圍棋與“小九九”和“大九九”的淵源。

6.領(lǐng)略手掌上的神奇。

7．激勵學(xué)生背誦“小九九”，甚至挑戰(zhàn)背誦“大九九”。

8.讓學(xué)生填寫特制的乘法口訣表(如下)，然后借助這個表發(fā)現(xiàn)與體會乘法口訣的對稱美、規(guī)律美、和諧美。

通過九九乘法口訣的“源課程”建設(shè)，我和學(xué)生一起感受到“九九”文化的博大精深，不僅開闊了學(xué)生的視野，豐富了學(xué)生的文化底蘊，而且培養(yǎng)了學(xué)生良好的數(shù)學(xué)情感，使學(xué)生對乘法口訣有更完整、更系統(tǒng)的了解和認(rèn)識，收到了非常好的課程效果。

●“中”的范式

前文中，橫向的中外分?jǐn)?shù)寫法和讀法的對比、東西方對周長的界定對比，都屬于把數(shù)學(xué)歷史和文化史料融入相應(yīng)內(nèi)容學(xué)習(xí)過程中的案例。這種類型的數(shù)學(xué)文化史料課程，不僅能夠促進(jìn)學(xué)生對正在學(xué)習(xí)的內(nèi)容有更深入、更全面的理解，還是學(xué)生下一步進(jìn)行學(xué)習(xí)研究的基礎(chǔ)和工具。這里，我再次以“千克”相關(guān)的其他文化史料為例，展示與說明如何編制、實施數(shù)學(xué)歷史和文化課程。

讓學(xué)生能“數(shù)學(xué)地生活”是小學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)的重要目標(biāo)之一?！扒Э撕涂恕钡膶W(xué)習(xí)，不僅是未來研究和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科知識的需要，更是每日生活的需要。質(zhì)量單位的學(xué)習(xí)目標(biāo)，必須經(jīng)歷“前期浪漫的生活經(jīng)驗——精確學(xué)習(xí)——后續(xù)長線的有意應(yīng)用”的過程才能有效達(dá)成。在我國的日常生活中，最常用的質(zhì)量單位不是“千克”和“克”，而是“斤”和“兩”。因此，在“千克和克”的精確學(xué)習(xí)到“千克和克”的學(xué)后應(yīng)用之間，必須讓學(xué)生了解和掌握“斤”“兩”這兩個“中國概念”，會把這兩個中國的質(zhì)量單位和國際標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量單位進(jìn)行橫向?qū)Ρ?，厘清它們之間的聯(lián)系并能進(jìn)行正確的換算。

另外，像“斤”“兩”這樣的中國質(zhì)量單位，不僅是尋常百姓日常生活中不能離開的工具，更重要的是，這些質(zhì)量單位還和中國的傳統(tǒng)文化、民風(fēng)民俗血脈相連。這些質(zhì)量單位的學(xué)習(xí)，既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要，又影響著學(xué)生對中國文化、文化傳統(tǒng)的理解和認(rèn)同。因此，構(gòu)建“對中國質(zhì)量單位歷史文化史料的了解和認(rèn)識”的課程就成為教學(xué)中不可或缺的一環(huán)。

我首先讓學(xué)生對我國質(zhì)量單位的歷史進(jìn)行搜索和整理，然后在調(diào)查的基礎(chǔ)上，選取和交流的內(nèi)容包括以下幾個方面。

1.認(rèn)識中國的質(zhì)量單位。

中國的質(zhì)量單位有石、鈞、斤、兩、錙、錢、銖等，目前每天都還在使用的質(zhì)量單位有斤、兩、錢(集市和中藥鋪)，其中1石=4鈞=120斤、1鈞=30斤。這樣教學(xué)有利于學(xué)生理解“錙銖必較”“雷霆萬鈞”“千鈞一發(fā)”等詞語的含義，明白“你要清楚自己的斤兩”這句話原來是說一個人要清楚自己的分量。同時，還使學(xué)生了解到同樣的質(zhì)量單位在不同的朝代表示的輕重其實是不一樣的(漢朝1斤約222克，一錙約3克半，合一銖合0.57克，即約半克；唐朝1斤約596克，現(xiàn)在1斤500克；古代1斤16兩，現(xiàn)在1斤10兩)，從而促進(jìn)學(xué)生深刻理解“寧吃飛禽四兩，不吃走獸半斤”“半斤八兩”等詞、句的意思。

2.鞏固認(rèn)識千克和克。

課堂上讓學(xué)生記住1千克=2斤、1斤=500克、1斤=10兩、50克=1兩、1千克=20兩等重要的換算關(guān)系，幫助學(xué)生建立斤的質(zhì)量感和質(zhì)量觀念，進(jìn)一步鞏固學(xué)生對千克和克的認(rèn)識，提高學(xué)生解決實際問題的能力。

3.對質(zhì)量測量工具的認(rèn)識——中國古代的秤的文化知識。

了解古代的秤設(shè)計為16兩背后的數(shù)學(xué)文化淵源：中國古代的星相學(xué)認(rèn)為，北斗七星主亡，南斗六星主生，再加旁邊的福、祿、壽三星，正好十六星。“人在做，天在看”，是說做買賣的人，如果短斤少兩，要受到懲罰；少一兩減祿，少二兩減福，少三兩減壽。這樣教學(xué)可使學(xué)生在獲得更多認(rèn)識的同時，感受到小小的一桿秤中也蘊含著深厚的中國文化。

六、數(shù)學(xué)歷史和文化課程重建的反思與質(zhì)疑的回應(yīng)

對于數(shù)學(xué)歷史和文化課程重建的內(nèi)容，很多教師會質(zhì)疑：“有些文化史料從某種意義上說，貌似只是與數(shù)學(xué)有關(guān)聯(lián)的‘外圍知識’，是不是走偏了？”其實，我也在不斷地追問自己：“這還是數(shù)學(xué)嗎？我是不是忘記了當(dāng)初的出發(fā)點？我是不是忘了數(shù)學(xué)的‘本’？”經(jīng)過多次的思考與實踐，我認(rèn)為恰恰相反。這些貌似“外圍”的非課本、非課標(biāo)規(guī)定的內(nèi)容和非數(shù)學(xué)知識，以及相應(yīng)的非“教材”的數(shù)學(xué)教學(xué)，其實都是從不同的角度和側(cè)面反映數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。學(xué)生越是對某一數(shù)學(xué)內(nèi)容相關(guān)的知識了解得越多，對這部分內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識就越深刻、越全面、越完整。更重要的是，學(xué)生通過研究這些所謂“外圍”的知識，能溝通數(shù)學(xué)內(nèi)部與數(shù)學(xué)外部之間的聯(lián)系，不再孤立地學(xué)數(shù)學(xué)、看數(shù)學(xué)，而是多維度地建立起數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)本身、數(shù)學(xué)與世界、數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的結(jié)構(gòu)，有利于理解、記憶、提取和應(yīng)用數(shù)學(xué)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和文化底蘊的積淀。它對學(xué)科來說也許是“外圍”的知識，對任教教師來說也許是“外圍”的內(nèi)容，但對學(xué)生成長而言絕不是“外圍”的東西。它不一定是學(xué)生后繼學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必不可少的內(nèi)容，但它只要是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的那個人成長和發(fā)展所必需的，那無論是哪個學(xué)科的教師都必須有所作為且責(zé)無旁貸！

時間有限，萬物守恒，此長必然彼消。課程是這樣，教學(xué)也是這樣，課程和教學(xué)中最重要的是我們選擇“消”什么、“長”什么。

我知道對學(xué)生成長而言什么才是最重要的：

讓學(xué)生的數(shù)學(xué)生活充滿爛漫的童真童趣，培養(yǎng)學(xué)生濃厚、持久的興趣；

讓學(xué)生獲得更為豐富、廣博、厚重的智力背景和文化底蘊；

讓學(xué)生獲得豐沛的情感體驗，靈活、深刻、獨創(chuàng)的思維，獨特、完善的思維方式；

讓學(xué)生獲得超越數(shù)學(xué)的一般思想、方法和人文精神；

讓學(xué)生具備全景、完整地用數(shù)學(xué)洞察和研究世界與生活的眼光，成長為全面完整認(rèn)識數(shù)學(xué)、認(rèn)識世界和認(rèn)識自己的人，即用全景式的數(shù)學(xué)課程培養(yǎng)全面發(fā)展的人。

這是全景式數(shù)學(xué)教育“用數(shù)學(xué)育人”的追求，也是我更深遠(yuǎn)地為學(xué)生的現(xiàn)在和未來的堅守！