江蘇淮安市實驗小學(xué)新城校區(qū)（223001） 張 超

“三角形面積的計算”是蘇教版教材五年級上冊的內(nèi)容，這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)難點是理解“除以2”的意義。推導(dǎo)三角形面積計算公式需要很強的探究性，但學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)嚴(yán)重制約著探究效率，使得很多探究活動流于形式，只見動靜大，未見真效果。有時探究剛剛有“眉目”，便因時間有限而被緊急叫停。那么，如何才能讓探究真正落到實處呢？現(xiàn)筆者以“三角形面積的計算”的教學(xué)為例進行論述。

一、分解步驟，扎牢探究基礎(chǔ)

要想引領(lǐng)學(xué)生，首要的是找準(zhǔn)學(xué)生的學(xué)習(xí)起點。通過前測發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生習(xí)慣用直角三角形進行研究，通常先畫出直角三角形，然后割補成長方形，再得出三角形的面積；少數(shù)學(xué)生選擇用等腰三角形進行研究，沿著等腰三角形的底邊中線裁剪，然后拼貼成長方形，從而間接求出三角形的面積。前測中，學(xué)生自動摒棄用任意三角形為模型的想法，道理很簡單，直角三角形和等腰三角形更容易轉(zhuǎn)化成長方形。

要實現(xiàn)真正的“數(shù)學(xué)探究”，應(yīng)該創(chuàng)設(shè)足夠的思考、嘗試、推理、表達的空間，放手讓學(xué)生探索如何推導(dǎo)三角形面積公式，讓學(xué)生在具體實踐中自主發(fā)現(xiàn)，體驗到自主發(fā)現(xiàn)、自主解決問題的成就感。

依據(jù)前測，筆者決定放緩節(jié)奏，循序漸進，將探究過程延展成以下三個層次。

第一層次，探究直角三角形的面積求法。

學(xué)生自主探究出兩種方法（見圖1）。

圖1

受直角三角形特殊性的影響以及自身經(jīng)驗的限制，在第一層次探究中，學(xué)生并未采用教材提供的“平行四邊形拼合法”，基本上都是用圖1的兩種方法。方法一：將兩個直角三角形拼合成一個長方形，求其面積的一半。方法二：將直角三角形沿某條直角邊的中位線剪切，然后拼貼成一個長方形，拼貼后的長方形與原三角形面積相等，長方形與三角形同底，高則是其一半，于是得到三角形的面積=底×（高÷2）。

看著自己的探究成果，學(xué)生變得自信起來。

第二層次，探究等腰三角形的面積求法。

學(xué)生創(chuàng)造出四種方法（見圖2）。

圖2

以直角三角形的探究為基礎(chǔ)，學(xué)生的思路徹底打開了，實現(xiàn)了“真探究”“真交流”。結(jié)合等腰三角形的特性，學(xué)生共創(chuàng)造出四種方法。整體思路是將原圖形進行等面積的割補變換，“方法四”中的整體旋轉(zhuǎn)復(fù)制法，雖然只有兩位學(xué)生想到，但這已經(jīng)是自主探究的飛躍。

第三層次，探究任意三角形的面積求法。

學(xué)生共創(chuàng)造出三種方法（見圖3）。

圖3

在展示匯報后，學(xué)生的思維軌跡暴露無遺，教師就可以順著學(xué)生的思路進行引導(dǎo)，將最大的發(fā)揮空間留給學(xué)生，使學(xué)生經(jīng)歷多元化思維。探究任意三角形面積求法確實比探究直角三角形面積難度大，但是轉(zhuǎn)化思想是一個漸進的過程，學(xué)生通過前兩次特殊三角形的轉(zhuǎn)化實踐，對于任意三角形的轉(zhuǎn)化也能慢慢熟練起來。

二、真實互動，滲透數(shù)學(xué)思想方法

“為什么用任意三角形為素材可以研究出三種方法？而用等腰三角形研究還多出一種方法？”學(xué)生在對比質(zhì)疑中發(fā)現(xiàn)，對于前一個問題，以任意三角形為素材研究出的三種面積求法中，圖3的“方法一”和“方法二”屬于一類，都是將三角形擴充至2倍大小的四邊形（“方法一”轉(zhuǎn)化是為平行四邊形，“方法二”是轉(zhuǎn)化為長方形）后再還原成原來的面積大小，所以要除以2，是先求面積再除以2，而“方法三”則是將三角形轉(zhuǎn)化成等面積的長方形，除以2的理由是三角形的高在中點處被切斷，是先除以2后再求面積。對于后一個問題，等腰三角形比任意三角形多出一個“方法二”（如圖2）——將等腰三角形沿著底邊中線（高線）切割，分成兩個全等的直角三角形，然后演變成直角三角形中的“方法一”。當(dāng)學(xué)生用一幅幅生動的圖畫解析問題時，一部分學(xué)生深受啟發(fā)，在驚嘆“我怎么沒想到”之余，感知到特殊三角形和一般三角形之間的異同，從而歸納出一般性結(jié)論，總結(jié)出三角形面積的計算公式：S=a×h÷2 或 S=a×（h÷2）。可見，推導(dǎo)三角形面積的計算公式時，要著眼長遠，開放式地整體構(gòu)架，以“自主探究”貫穿全程，在“三探三思”中，以探究為橫線，以交流為總線，做理性探索。因為教師沒有過多的干涉和要求，所以學(xué)生的轉(zhuǎn)化方法百花齊放；因為教師沒有過分的干預(yù)和掣肘，所以學(xué)生在探究活動中更深入，更收放自如，經(jīng)歷了“形變”到“質(zhì)變”的思維過程，體驗了公式的來歷和原理，學(xué)會了從特殊到一般進行合情推理，能夠用不完全歸納法得出三角形面積的計算公式，感悟到轉(zhuǎn)化、歸納、抽象等數(shù)學(xué)思想。

三、放慢節(jié)奏，讓探究變得真實

在教學(xué)三天后，再次安排測試。測試題如下。

正是由于體驗維度擴展了，積淀變得更有層次感。測試結(jié)果顯示，在公式中遺漏“除以2”的學(xué)生只有一個。這樣，推導(dǎo)三角形面積的計算公式，從調(diào)查到測試，每個步驟都分散穿插于各教學(xué)課時的正常教程之中，潛移默化地完成了“三角形面積計算公式”的探究活動，耗時5天。

三個層次的探究，學(xué)生的體驗是深刻、豐富、積極的，探究成果是豐碩的，上臺交流是熱情洋溢的，這種成功的體驗是終身銘記的。其實，對于教材中的教學(xué)內(nèi)容，機械重復(fù)練習(xí)實在沒有必要，而探究活動卻值得我們花費大量心血去設(shè)計規(guī)劃。作為教師，應(yīng)該為探究性強的內(nèi)容規(guī)劃一條較長的教學(xué)路線，拉長戰(zhàn)線，與其一課時教完三角形面積內(nèi)容，再花費大量時間去做鞏固練習(xí)，一點點地試錯、糾錯慢慢積累，倒不如放慢步子，循序漸進，分步推進，讓探究活動變得真實有效。