錢玉恒， 王佳偉， 楊亞非

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 飛行器控制實驗教學(xué)中心,哈爾濱 150001)

0 引 言

隨著航天科技高速發(fā)展，航天器種類愈加繁多，用途愈加廣泛，精度與穩(wěn)定性要求越來越高，要達(dá)到航天器高精度要求，姿態(tài)穩(wěn)定性控制是基礎(chǔ)。航天器的姿態(tài)控制一般采用控制力矩陀螺(Control Moment Gyroscope，CMG)作為執(zhí)行器[1-4]，如國際空間站應(yīng)用的單框架力矩陀螺或雙框架力矩陀螺，需要配置力矩陀螺構(gòu)型，使多個陀螺可協(xié)同動作，進而實現(xiàn)姿態(tài)控制作用。目前有近400個航天器采用CMG作為姿態(tài)控制系統(tǒng)的主要執(zhí)行器，我國天宮一號和二號已使用CMG作為飛船執(zhí)行機構(gòu)[5-6]，與此同時，針對CMG的有關(guān)研究成果越來越多[7-10]。美國ECP公司生產(chǎn)的Model 750型CMG是一種能夠全面驗證力矩陀螺特性的實驗裝置，已應(yīng)用到眾多世界知名大學(xué)，促進了對力矩陀螺的研究和教學(xué)。通過對CMG數(shù)學(xué)模型分析發(fā)現(xiàn)，陀螺框架之間存在耦合力矩，轉(zhuǎn)盤旋轉(zhuǎn)速度的變化會對外框架形成力矩干擾，造成外框架的速度波動，而內(nèi)外框架的耦合又會影響外框架速度精度，進而影響輸出力矩精度。針對力矩陀螺的耦合問題，已經(jīng)有文獻提出一些解耦方法[11-12]。

本文首先介紹Model 750 CMG的結(jié)構(gòu)及數(shù)學(xué)模型，隨后對軸鎖定時CMG單軸控制的有效性和局限性展開了控制方法實驗分析，這種單軸控制方法在軸自由狀況下無法取得較好的解耦控制效果。文中結(jié)合系統(tǒng)耦合二階模型特點，針對CMG的多軸耦合問題，采用了最優(yōu)控制方法實施解耦控制實驗，實驗表明該方法解耦控制有效。

1 實驗裝置組成及數(shù)學(xué)模型

1.1 實驗裝置組成

實驗裝置由機電部分、控制箱、運動控制卡及應(yīng)用程序組成。

(1) 機電部分是力矩陀螺主體，如圖1所示。主體部分有4個旋轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)子D和框架C、B、A分別繞軸1～4旋轉(zhuǎn)，每個軸安裝的編碼器分別測量各軸角位移；永磁直流伺服電動機1帶動大慣量轉(zhuǎn)子D旋轉(zhuǎn)，提供輸入慣量，永磁直流電動機2通過絞盤皮帶驅(qū)動框架C旋轉(zhuǎn)，輸入控制力矩，框架C、B、A分別帶有滑環(huán)。

圖1 機電部分

(2) 控制箱是運動控制卡和機電部分之間的接口部件，主要含電動機驅(qū)動、編碼器檢測、接口匹配及安全措施(慣性開關(guān)、制動器)等部分。

(3) 運動控制卡的核心任務(wù)是執(zhí)行實時控制程序，起到控制器作用。支持?jǐn)?shù)據(jù)采集、安全檢測、狀態(tài)判斷，可輸出各種控制信號。運動控制卡可接收和解釋計算機發(fā)出的程序指令，也能通過數(shù)據(jù)總線向計算機發(fā)送數(shù)據(jù)。

(4) 應(yīng)用程序依托計算機，支持“類C”語言的控制器設(shè)計、軌跡定義、數(shù)據(jù)采集、繪圖系統(tǒng)、執(zhí)行指令等。豐富的底層函數(shù)和良好的人機界面為裝置提供了一個非常強大的實驗環(huán)境。

1.2 數(shù)學(xué)模型

CMG框架坐標(biāo)系如圖2所示[13]，組成轉(zhuǎn)子D和框架C、B、A 4個固連坐標(biāo)系，對應(yīng)的4個轉(zhuǎn)動軸為1～4軸。其正交單位向量分別為di，ci，bi，ai(i=1,2,3)，設(shè)置慣性參考坐標(biāo)系N的正交單位向量為Ni(i=1,2,3)，每個坐標(biāo)系均滿足右手定則，q1定義為D在d2方向的角位移；q2定義為C繞c1相對B的轉(zhuǎn)角；q3為B繞b2相對A的轉(zhuǎn)角，q4被定義為A繞a3相對N的轉(zhuǎn)角，這4個角度確定了系統(tǒng)的構(gòu)形，圖2的構(gòu)形對應(yīng)角度為qi=0(i=1～4)。

圖2 控制力矩陀螺框架坐標(biāo)系

系統(tǒng)所有部件的質(zhì)心位于轉(zhuǎn)子D中心，它也是所有框架軸的中心。在只考慮旋轉(zhuǎn)動力學(xué)情況下，相對于其各自的坐標(biāo)系，給出主慣性矩陣如下：

(1)

式中：Ix,Jx,Kx(x=A,B,C,D)分別表示部件A、B、C和D中繞各自第i(i=1,2,3)方向的轉(zhuǎn)動慣量。

定義A在N中的角速度：

NωA=ω4a3

(2)

同理，定義以下角速度

AωB=ω3b2，BωC=ω2c1，CωD=ω1d2

(3)

則角速度關(guān)系式為

(4)

每個坐標(biāo)系都可以通過轉(zhuǎn)換矩陣轉(zhuǎn)換到慣性坐標(biāo)系?？紤]到由C施加于D的轉(zhuǎn)矩T1，以及由B施加于C的轉(zhuǎn)矩T2，有：

(5)

式(1)～(5)唯一地確定系統(tǒng)的動力學(xué)方程。通過拉格朗日方程可以求解運動方程，其形式為:

(6)

(7)

(8)

(9)

根據(jù)方程(6)～(9)在操作點附近的泰勒級數(shù)展開式的前兩項，就可求出其線性化運動方程。穩(wěn)定平衡點被定義為ω1=Ω，q2=q20，q3=q30，則線性化方程為:

(10)

(11)

JDΩsinq20·ω2-JDΩsinq20sinq30·ω4-

(12)

JDΩsinq20sinq30·ω3-JDΩcosq20cosq30·ω2+

(ID+KA+KB+KC+(JC+JD-ID-

KC)sin2q20+sin2q30

(IB+IC-KB-KC-(JC+JD-ID-KC)·

(13)

式(10)～(13)表示CMG在任意操作點下，各種構(gòu)形的線性動力學(xué)，式(10)～(11)為驅(qū)動方程，式(12)、(13)為約束方程，式(10)～(13)簡化為狀態(tài)方程：

(14)

式(14)表明，力矩陀螺各旋轉(zhuǎn)軸之間存在耦合，控制系統(tǒng)完全是多輸入多輸出系統(tǒng)(MIMO)。

2 零平衡點雙軸控制實驗

(15)

式中，ω3和ω4已無耦合。對式(15)進行拉氏變換，得出下列傳遞函數(shù)：

(16)

q4/T2=

(17)

q2/T2=

(18)

將參數(shù)代入式(16)～(18)得:

(19)

(20)

(21)

說明系統(tǒng)為單輸入單輸出系統(tǒng)，ω3和ω4之間無耦合。其中，q3/T1是大慣性對象的反作用陀螺力矩問題，大慣性對象屬于典型對象，在鎖定2、4軸時，采用PID方法控制單軸輸出角度q3已獲得較好控制效果[13]。而q4/T2是串級對象的控制陀螺力矩問題，在鎖定3軸時，應(yīng)用PID、極點配置和LQR等方法控制單軸輸出角度q4，均取得較好控制效果，經(jīng)過控制實驗結(jié)果比較，LQR控制方法較其他方法具有更好的動態(tài)和靜態(tài)特性[14]。

如果取消軸鎖定條件，系統(tǒng)自由度變?yōu)?個，各軸旋轉(zhuǎn)波動將會形成互擾耦合，如果實驗初始位置正確(見圖3)，互擾將會較弱，采用PID和LQR方法分別控制q3和q4，控制效果也是比較理想[15]。

根據(jù)式(16)，PID控制q3框圖見圖4。圖中：r1、u1為控制算法輸入和輸出；KA3=-ke3ku1，負(fù)號表示轉(zhuǎn)動方向相反；ku1=1.28×10-5為控制算法輸出對應(yīng)的扭矩T1輸出增益；ke3=2 547×32為編碼器3增益。

海事部門要積極與當(dāng)?shù)卣e極溝通協(xié)調(diào)，聯(lián)合海洋漁業(yè)局等相關(guān)職能部門，加大對非法占用防臺應(yīng)急錨地的查處力度。充分發(fā)揮VTS、智慧海事監(jiān)管服務(wù)系統(tǒng)的作用，結(jié)合現(xiàn)場執(zhí)法，加大對錨地的巡航巡查，及時制止?jié)O業(yè)養(yǎng)殖等非法占用防臺錨地行為。協(xié)調(diào)地方政府相關(guān)職能部門對在錨地水域設(shè)置的養(yǎng)殖區(qū)進行清理整頓。開展聯(lián)動執(zhí)法，減少漁業(yè)養(yǎng)殖等非法用?；顒訉Υ板^泊帶來的影響。

根據(jù)式(17)，LQR控制q4框圖見圖5。圖中：

D(s)=(IC+ID)(ID+KA+KB+

KC)s3+Ω2JDs

(21)

圖3 零平衡點雙軸控制力矩陀螺的位置

圖4 PID控制軸3框圖

圖5 LQR控制軸4框圖

N2(s)=ke2ku2(ID+KA+KB+KC)s

(22)

N4(s)=-ke4ku2ΩJD

(23)

r1、u1為控制算法輸入和輸出；ke2=3 883×32為編碼器2增益；ku2=9.07×10-5為控制算法輸出對應(yīng)的扭矩T2輸出增益；ke4=2 547×32為編碼器4增益；kpf為濾波器增益，r2(s)與q4(s)的匹配項。

同時輸入幅值r1=r2=200的方波階躍信號，雙軸零平衡點控制經(jīng)過反復(fù)調(diào)試。控制q3的PID參數(shù)確定為：kp=4.5；kd=0.89；ki=0。借助LQR參數(shù)優(yōu)化思路，控制q4的LQR參數(shù)經(jīng)尋優(yōu)后，確定

K=[k1k2k3]=[-4.5 0.076 -0.23]

kpf=-4.5

控制曲線如圖6所示。

圖6 零平衡點雙軸控制階躍響應(yīng)曲線

同理，零平衡點雙軸控制斜坡跟蹤曲線見圖7。圖中：r1為軸1控制輸入；q3為軸3控制輸出；r2為軸2控制輸入；q4為軸4控制輸出。

受框架不平衡力矩和框架軸承摩擦等影響，q3與q4存在互擾耦合。雙軸階躍響應(yīng)曲線表明，q4的階躍變化對q3交叉耦合略大；q3的階躍變化對q4交叉耦合較少。雙軸斜坡響應(yīng)曲線在q4飽和情況下，對q3交叉耦合不明顯。因此，在零平衡點處，上述PID、LQR控制方法可行。

圖7 零平衡點雙軸控制斜坡跟蹤曲線

3 非零平衡點雙軸控制實驗

在零平衡點條件下，各軸之間的互擾輕微，采用普通的控制方法就能達(dá)到控制效果。根據(jù)實驗現(xiàn)象，系統(tǒng)耦合隨著非零平衡點角度增加而變大，在q2=20°和q3=-20°時(見圖8)，耦合現(xiàn)象十分明顯，這與式(14)的理論分析一致。將圖8角度作為耦合控制實驗位置能較好地反映控制的解耦效果，確定有效的控制方法和策略。為便于控制曲線分析，將q2=20°和q3=-20°初始位置的控制指令和編碼器輸出設(shè)置為零，即參量零化處理后，進行階躍響應(yīng)和斜坡跟蹤響控制實驗，觀察控制效果。

框架角度 q20=20,q30=20軸4制動:關(guān)軸3制動:關(guān)軸2制動:關(guān)

圖8 非零平衡點雙軸控制力矩陀螺的位置

3.1 反作用力矩和陀螺力矩激勵的雙軸控制

仍采用上述雙軸控制方法，非零平衡點反作用力矩和陀螺力矩激勵的雙軸控制階躍響應(yīng)和斜坡跟蹤曲線如圖9和圖10所示。從圖9、10可見，非零平衡點控制比零平衡點控制交叉耦合嚴(yán)重，特別是q3耦合極其明顯。這是由于在陀螺力矩作用下，軸2旋轉(zhuǎn)力矩將引起一個繞軸3的力矩，在q2≠0狀況下，q2的變化會引起q3狀態(tài)變化。同理，q4的速度突變，也會引起q3狀態(tài)變化。這說明，反作用力矩和陀螺力矩激勵的雙軸控制方法在非平衡點處解耦效果不佳。

3.2 MIMO雙軸解耦控制

考慮到力矩陀螺屬性和實驗現(xiàn)象，可判斷出系統(tǒng)輸出變量q3,q4,ω2,ω3,ω4均對耦合有影響。為此選取q2,q4,ω2,ω3,ω4作為狀態(tài)反饋變量，從中分析各變量對耦合的影響程度。而式(10)～(13)表明，q3和q4之間的耦合呈現(xiàn)二階系統(tǒng)特征，適合采用PD控制策略解耦，考慮到系統(tǒng)軟件平臺功能和實驗的可實現(xiàn)性，結(jié)合實驗教學(xué)效果等因素，最終選用LQR最優(yōu)控制方法實施MIMO控制，利用求得最優(yōu)狀態(tài)反饋增益矩陣，獲取最優(yōu)控制律。最優(yōu)多變量控制框圖如圖11所示。

圖9 反作用力矩和陀螺力矩激勵雙軸控制階躍響應(yīng)曲線

圖10 反作用力矩和陀螺力矩激勵雙軸控制斜坡跟蹤曲線

圖11 最優(yōu)多變量控制框圖

LQR反饋控制律設(shè)計為u=-Kx，其中參數(shù)矩陣為

式中：k12、k15是控制q3輸出的去耦合PD控制參量；k21、k24是控制q4輸出的去耦PD控制參量，從中起到消減交叉耦合作用。

針對q20=20°,q30=-20°非平衡點模型，通過求解Riccati方程，使用LQR綜合算法找到可以最小化代價函數(shù)J的控制器K，代價函數(shù)，

選擇Q=C′C，使得預(yù)期輸出q3和q4的誤差最小，

解耦控制實驗的難點在于反饋矩陣參數(shù)K調(diào)試，反復(fù)實驗最終確定反饋增益矩陣

MIMO雙軸解耦控制的階躍響應(yīng)和斜坡跟蹤曲線如圖12和圖13所示。

圖12 MIMO雙軸解耦控制階躍響應(yīng)曲線

圖13 MIMO雙軸解耦控制斜坡跟蹤曲線

反饋矩陣參數(shù)實驗曲線表明q3,q4,ω4對參數(shù)耦合程度影響較為明顯，反饋增益矩陣的q3,q4,ω4在反饋控制律中所占權(quán)重最大，反饋增益參數(shù)既起到了控制作用又發(fā)揮了解耦作用。對q20=20°，q30=-20°情況，由于引入LQR代價函數(shù)J使q4的誤差最小化，當(dāng)q4階躍信號狀態(tài)時，q3交叉耦合與前面控制方法相比減少很多。但受到q4帶寬略增影響，對q3的階躍輸入時，q4的交叉耦合與前面控制方法相比有輕微增加。在斜坡跟蹤控制效果圖能看出，解耦控制跟蹤效果很好。

注意，上述LQR解耦方法對PD控制有效的耦合關(guān)系解耦效果顯著，對于復(fù)雜的耦合系統(tǒng)，LQR方法有效性需要實驗驗證。另外，本實驗也可拓展至其他非零平衡點，獲取更多非零平衡點最優(yōu)控制參數(shù)，為其他智能化方法提供研究參考。

4 結(jié) 語

本文以Mode 1750控制力矩陀螺裝置為研究對象，分析了動力學(xué)模型的耦合特征，對多框架反作用力

矩和陀螺力矩的相互作用，完成了零平衡點和非零平衡點的耦合控制實驗。

實驗結(jié)果表明，多框架自由時在零平衡點處各變量間互擾耦合微弱，在非零平衡點處受反作用和陀螺力矩影響各變量耦合明顯。這也表明，反作用力矩和陀螺力矩激勵的雙軸控制方法解耦效果較差，僅適合耦合程度微弱的狀況。LQR最優(yōu)控制解耦方法在MIMO雙軸解耦控制實驗中控制性能指標(biāo)良好，解耦效果顯著。