劉孝祥, 張 晶,2

(1. 南京郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院, 江蘇 南京 210003; 2. 南京郵電大學(xué)通信技術(shù)研究所, 江蘇 南京 210003)

0 引 言

移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的出現(xiàn)推動(dòng)了數(shù)據(jù)業(yè)務(wù)的飛速發(fā)展,預(yù)計(jì)到2018年移動(dòng)數(shù)據(jù)將達(dá)到每月15.9艾字節(jié),且移動(dòng)端的數(shù)據(jù)流將占據(jù)所有IP流量的12%[1]。數(shù)據(jù)流量的爆炸式增長、各類新型業(yè)務(wù)和場景的不斷涌現(xiàn)以及海量移動(dòng)設(shè)備的接入,對(duì)移動(dòng)網(wǎng)絡(luò)的承載能力和處理能力提出了新的要求,這促進(jìn)了第五代(the fifth generation,5G)移動(dòng)通信系統(tǒng)的發(fā)展[2]。作為5G移動(dòng)通信的關(guān)鍵技術(shù)之一, 大規(guī)模多輸入多輸出(multiple input multiple output,MIMO)系統(tǒng)由貝爾實(shí)驗(yàn)室的科學(xué)家Marzetta于2010年提出[3],其核心思想是:時(shí)分雙工模式下,當(dāng)基站端配置的天線數(shù)趨于無窮時(shí),小區(qū)內(nèi)的干擾、快衰落和噪聲對(duì)系統(tǒng)容量的影響都可忽略不計(jì),只有導(dǎo)頻污染帶來的小區(qū)間干擾會(huì)限制系統(tǒng)容量。目前,大規(guī)模MIMO系統(tǒng)受到業(yè)界的廣泛關(guān)注,已經(jīng)成為國內(nèi)外研究熱點(diǎn)[4]。

然而,大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中尚存在諸多技術(shù)難題待解決。就信號(hào)接收而言,傳統(tǒng)MIMO系統(tǒng)中高效的接收機(jī)難以在大規(guī)模MIMO中發(fā)揮作用,在大規(guī)模MIMO上行鏈路中,當(dāng)使用最大似然(maximum likehood, ML)檢測時(shí),復(fù)雜度將急劇增加[5]。因此,針對(duì)大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的低復(fù)雜度檢測方案引起了人們的廣泛關(guān)注。為了獲得復(fù)雜度低且接近ML的最佳檢測性能,文獻(xiàn)[6-8]提出了非線性固定復(fù)雜度的球形解碼(sphere decoding,SD)算法和禁忌搜索(tabu search,TS)算法;但是,當(dāng)MIMO系統(tǒng)的維度很大或者調(diào)制階數(shù)很高時(shí),兩種算法的復(fù)雜度仍然很大[9-10]。隨著基站端天線數(shù)量的大幅度增加,信道之間逐漸趨于正交[4],基于這個(gè)特性,最大比合并(maximum ratio combining,MRC)、迫零(zero forcing,ZF)和最小均方誤差(minimum mean square error, MMSE)等線性檢測方法在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中都能獲得很好的性能。但是,這些線性檢測算法涉及復(fù)雜的矩陣求逆運(yùn)算;為了降低矩陣求逆帶來的計(jì)算復(fù)雜度,文獻(xiàn)[11-12]提出了Neumann級(jí)數(shù)展開算法,但是當(dāng)?shù)螖?shù)大于2時(shí),其計(jì)算復(fù)雜度減小的程度就不明顯了,并且當(dāng)基站端天線和用戶天線數(shù)量之比接近1時(shí),會(huì)帶來明顯的誤碼率(bit error rate,BER)性能損失[3],文獻(xiàn)[13-14]提出了Gauss-Seidel算法和Newton算法,但是它更多地關(guān)注精度并且計(jì)算復(fù)雜度也比較大。為了降低復(fù)雜度,本文主要和Neumann級(jí)數(shù)展開算法比較。

基于大規(guī)模MIMO系統(tǒng)MMSE濾波矩陣的對(duì)稱正定特性滿足Barzilai-Borwein(BB)迭代算法的全局收斂性[8],本文將BB迭代技術(shù)應(yīng)用于大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的信號(hào)檢測中,提出了BB迭代信號(hào)檢測算法,它通過迭代技術(shù)避免了MMSE算法復(fù)雜的矩陣求逆問題;為了加快算法的收斂速度,本文進(jìn)一步利用信道硬化特性優(yōu)化了迭代初始解[15]。仿真結(jié)果表明,BB迭代檢測算法能夠大幅降低矩陣求逆運(yùn)算帶來的計(jì)算復(fù)雜度,并且獲得精確的檢測性能。

1 大規(guī)模MIMO系統(tǒng)模型

大規(guī)模MIMO系統(tǒng)模型如圖1所示,該系統(tǒng)由部署N根天線的基站和K個(gè)單天線用戶組成,所有用戶在相同的時(shí)頻資源向基站發(fā)送數(shù)據(jù),通常設(shè)置N?K。

圖1 大規(guī)模MIMO系統(tǒng)Fig.1 Massive MIMO system

令s=[s1,s2,…,sK]T表示發(fā)射信號(hào)矢量,H∈CN×K表示復(fù)信道增益矩陣,H中元素是均值為0、方差為1的獨(dú)立同分布復(fù)高斯隨機(jī)變量,n=[n1,n2,…,nN]T表示均值為0、方差為σ2的復(fù)加性高斯白噪聲。假設(shè)信道增益矩陣H已知,則基站端接收到的信號(hào)矢量y可以表示為

y=Hs+n

(1)

基站端多用戶信號(hào)檢測的目標(biāo)是從接收信號(hào)矢量y中估計(jì)發(fā)射信號(hào)矢量s。對(duì)于上行大規(guī)模MIMO系統(tǒng),MMSE線性檢測算法可以實(shí)現(xiàn)接近ML的檢測性能[20],其發(fā)射信號(hào)矢量s的接收估計(jì)值可以表示為

(2)

W=HHH+σ2IK

(3)

2 基于BB迭代的信號(hào)檢測算法

2.1 BB迭代算法

BB迭代算法是Barzilai和Borwein提出的兩點(diǎn)步長梯度法。不同于傳統(tǒng)的最速下降法采用固定步長,它的獨(dú)特之處是沿著最速下降方向選擇合適的步長。該算法存儲(chǔ)量和計(jì)算復(fù)雜度很小,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是凸二次函數(shù)時(shí),Barzilai和Borwein證明BB迭代算法是R-超線性收斂的[21];Raydan證明BB迭代算法對(duì)n維嚴(yán)格凸二次函數(shù)具有全局收斂性[16-17],文獻(xiàn)[18-19]進(jìn)一步證明了二維嚴(yán)格凸二次函數(shù)的BB迭代算法有R-超線性收斂性和n維嚴(yán)格凸二次函數(shù)有R-線性收斂性。

對(duì)于K維線性方程，即

Ax=b

(4)

式中,A是K×KHermitian正定矩陣;x是K×1解向量;b是K×1測量向量。式(4)可以轉(zhuǎn)換成最小化問題，即

(5)

而且,Φ(x)的梯度可以表示為

(6)

為了獲得對(duì)解向量x的估計(jì),設(shè)計(jì)BB迭代過程為

x(i+1)=x(i)-α(i)g(i)

(7)

式中,i表示迭代次數(shù);α(i)表示常量,并且有

(8)

(9)

si-1=x(i)-x(i-1)

(10)

yi-1=g(i)-g(i-1)

(11)

2.2 基于BB迭代的大規(guī)模MIMO信號(hào)檢測

引理1上行大規(guī)模MIMO信號(hào)檢測,MMSE濾波矩陣W=G+σ2IK是Hermitian正定的。

證明在上行大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中,考慮N?K,信道矩陣H列滿秩,方程Hq=0有唯一解,即q是K×1零向量,因此,對(duì)于任意K×1非零向量x,可得

(Hx)HHx=xH(HHH)x=xHGx>0

(12)

GH=(HHH)H=HHH=G

(13)

這表明格拉姆矩陣G=HHH是正定的,且矩陣G是Hermitian的,所以矩陣G是Hermitian正定的。而噪聲方差σ2是正數(shù),故MMSE濾波矩陣W=G+σ2IK也是Hermitian正定的。

證畢

基于引理1,可以利用BB迭代方法去檢測大規(guī)模MIMO接收信號(hào),實(shí)現(xiàn)對(duì)發(fā)射信號(hào)矢量的估計(jì)?？紤]式(1)所示的線性方程,迭代過程設(shè)計(jì)為

(14)

(15)

α(i)是常量,可以表示為

(16)

(17)

(18)

ni-1=g(i)-g(i-1)

(19)

進(jìn)一步地,詳細(xì)描述BB迭代信號(hào)檢測算法的流程。

MMSE濾波矩陣W,由式(3)計(jì)算得到;

初始化

2)g(0)=-b

4)i=0

5) Whileg(i)≠0

8)ni-1=g(i)-g(i-1)

11)i=i+1

12) end

2.3 迭代初始值的優(yōu)化

初始值和系數(shù)矩陣的條件數(shù)會(huì)影響迭代的收斂速度[23],選擇一個(gè)合適的初始值可以加快收斂速度,并且能獲得更好的檢測性能。因此,有必要對(duì)迭代初始值進(jìn)行優(yōu)化。

(20)

2.4 算法復(fù)雜度分析

終上,BB信號(hào)檢測算法每次迭代需要進(jìn)行K2+3K次乘法運(yùn)算,因此其計(jì)算復(fù)雜度可以計(jì)算為(i-1)(K2+3K)。相比MMSE信號(hào)檢測算法中僅W-1的計(jì)算復(fù)雜度已隨用戶數(shù)K呈立方增長,BB信號(hào)檢測算法的計(jì)算復(fù)雜度大大降低了。

(21)

實(shí)際系統(tǒng)中,為了保證信號(hào)檢測精度,Neumann級(jí)數(shù)展開算法的截短階數(shù)通常很大才能獲得接近MMSE信號(hào)檢測的性能,這意味著算法的計(jì)算復(fù)雜度并無明顯改善;而BB迭代檢測算法不包含矩陣求逆運(yùn)算,即使迭代次數(shù)很大,其計(jì)算復(fù)雜度依然很小,且算法結(jié)構(gòu)很簡單,非常適合應(yīng)用于大規(guī)模MIMO系統(tǒng)。

3 仿真分析

考慮N×K=64×8和N×K=128×16兩種典型的大規(guī)模MIMO系統(tǒng),基帶信號(hào)調(diào)制方式為64-QAM,傳輸信道為準(zhǔn)靜態(tài)瑞利衰落信道,圖2對(duì)BB迭代算法的收斂性進(jìn)行仿真分析,圖3～圖5對(duì)BB迭代算法、Neumann 級(jí)數(shù)展開算法以及MMSE算法的BER性能進(jìn)行仿真分析。

圖2 BB迭代算法信號(hào)檢測的均方誤差Fig.2 Mean square error of signal detection for the BB iterative algorithm

圖3 不同檢測算法的BER性能比較(N×K=64×8)Fig.3 BER perform comparison of each detection algorithm (N×K=64×8)

圖4 不同檢測算法的BER性能比較(N×K=128×16)Fig.4 BER Perform comparison of each detection algorithm (N×K=128×16)

圖5 BB迭代檢測算法初值優(yōu)化前后性能比較(N×K=128×16)Fig.5 Performance comparison of BB iterative detection algorithm before and after initial value optimization (N×K=128×16)

在N×K=64×8的大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中,當(dāng)初始值為0時(shí),圖2遞歸地顯示了BB迭代算法信號(hào)檢測的均方誤差,在迭代次數(shù)等于8時(shí),均方誤差減小到0,曲線表明BB迭代算法信號(hào)檢測的均方誤差嚴(yán)格單調(diào)收斂,并且收斂的速度還很快。

圖3和圖4比較了3種算法的BER性能,其中圖3對(duì)應(yīng)N×K=64×8的大規(guī)模MIMO系統(tǒng),而圖4對(duì)應(yīng)N×K=128×16的大規(guī)模MIMO系統(tǒng)。從圖3和圖4可以看出,隨著BB算法迭代次數(shù)和Neumann級(jí)數(shù)展開算法截短階數(shù)的增加,信號(hào)檢測性能不斷提高;但是,截短階數(shù)i=3的Neumann級(jí)數(shù)展開檢測算法與MMSE信號(hào)檢測算法相比,其性能損失超過了3 dB,并且其計(jì)算復(fù)雜度和MMSE信號(hào)檢測計(jì)算復(fù)雜度相當(dāng)。對(duì)于BB迭代信號(hào)檢測算法,當(dāng)?shù)螖?shù)i=4時(shí),其性能優(yōu)于所有截短階數(shù)的Neumann級(jí)數(shù)展開算法;而當(dāng)?shù)螖?shù)i=5時(shí),其性能幾乎接近MMSE信號(hào)檢測算法。

圖5給出了BB迭代檢測算法在初始值優(yōu)化前后的檢測性能?？梢钥吹?對(duì)初始值進(jìn)行優(yōu)化后,BB信號(hào)檢測算法能夠更快地收斂,并獲得更優(yōu)的檢測性能。當(dāng)?shù)螖?shù)i=3,接收信噪比為10 dB時(shí),經(jīng)過初始值優(yōu)化的BB迭代信號(hào)檢測算法比優(yōu)化前算法的性能高出約一個(gè)數(shù)量級(jí),并且曲線收斂更快;在迭代次數(shù)i=5時(shí),優(yōu)化后的BB迭代檢測算法能達(dá)到接近MMSE算法的檢測性能,而優(yōu)化前的算法相比MMSE算法還有一定性能差距。上述結(jié)果表明,經(jīng)過初始值優(yōu)化,BB迭代算法的檢測性能獲得了有效提高,且算法的收斂速度進(jìn)一步加快了。

4 結(jié)束語

本文將高效低復(fù)雜度信號(hào)檢測算法——BB迭代算法引入大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的信號(hào)檢測中,利用MMSE濾波矩陣的對(duì)稱正定特性,通過迭代方法避免了復(fù)雜的矩陣求逆運(yùn)算,將MMSE算法的復(fù)雜度從O(K3)降到了O(K2);隨后利用信道硬化特性對(duì)算法的迭代初始值進(jìn)行了優(yōu)化,進(jìn)一步加快了算法的收斂速度。理論和仿真結(jié)果表明,該算法無論在復(fù)雜度或是檢測性能方面均優(yōu)于最近提出的Neumann級(jí)數(shù)展開算法,并且收斂速度較快,通過少量的迭代即能夠達(dá)到接近MMSE信號(hào)檢測算法的性能。

本文所提出的算法結(jié)構(gòu)簡單且具有較好的移植性,可以擴(kuò)展應(yīng)用到無線通信的其他信號(hào)處理問題,例如應(yīng)用于大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的下行線性預(yù)編碼領(lǐng)域。