周恭謙, 楊露菁, 劉 忠

(海軍工程大學(xué)電子工程學(xué)院, 湖北 武漢 430033)

0 引 言

多站時(shí)差定位(time difference of arrival,TDOA)/頻差定位(frequency difference of arrival,FDOA)[1-7]一直是無源定位研究的熱點(diǎn)問題。針對該定位算法一般基于迭代和解析兩種方法進(jìn)行研究。迭代定位解算方法有:極大似然估計(jì)法[8]、二次約束法[9]、基于約束總體最小二乘的單站TDOA/FDOA定位算法[10]以及約束加權(quán)最小二乘法[11](constrained weighted least squares, CWLS)。迭代定位解算方法在初值選擇不理想情況下,無法收斂到全局最優(yōu)解,且由于進(jìn)行多次迭代,算法復(fù)雜度較高。而解析方法無需迭代,算法計(jì)算復(fù)雜度低。著名的兩步加權(quán)最小二乘法[12](two-stage weighted least squares,TSWLS)是該方法的代表之一,然而盡管此方法計(jì)算復(fù)雜度低,但定位偏差較大,當(dāng)TDOA/FDOA噪聲較高時(shí),定位精度會偏離克拉美羅下限(Cramer-Rao lower bound,CRLB)。綜上所述,此兩類方法存在各自的缺陷,如何在較高TDOA/FDOA噪聲環(huán)境下,在不增加算法復(fù)雜度的前提下,使定位精度仍然能逼近CRLB是現(xiàn)實(shí)亟需解決的一個(gè)問題,針對此問題文獻(xiàn)[13]提出一種基于定位誤差修正的運(yùn)動目標(biāo)TDOA/FDOA無源定位方法,在不增加算法復(fù)雜度的情況下提高了定位精度,但當(dāng)噪聲增大時(shí),定位精度偏離CRLB。文獻(xiàn)[14]提出一種TDOA/FDOA的序列二次規(guī)劃(sequence quadratic program, SQP)定位算法,該算法在噪聲較大時(shí)能夠達(dá)到CRLB,但由于引入SQP方法,需要進(jìn)行多次迭代,算法復(fù)雜度高。文獻(xiàn)[15]提出一種改進(jìn)的CWLS的時(shí)差頻差聯(lián)合定位算法,該算法在低噪聲環(huán)境下提高了定位精度,且算法不需要迭代,然而其在較高噪聲條件下定位精度仍無法達(dá)到CRLB。針對這種情況,本文提出一種基于泰勒級數(shù)展開的非完全約束的TSWLS。該方法先將無源定位問題轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃問題,并對約束條件進(jìn)行簡化,應(yīng)用拉格朗日乘子法,求解目標(biāo)定位的值,然后將得到的解析解在原約束條件下進(jìn)行泰勒級數(shù)展開,利用獲得的結(jié)果進(jìn)一步優(yōu)化解析解。最后通過仿真對比了所提算法和兩步法、改進(jìn)的CWLS方法、基于定位誤差修正方法的均方根誤差(root mean square error, RMSE)和定位偏差。

1 多站TDOA/FDOA定位模型

第i個(gè)接收站到待測目標(biāo)的距離可表示為

(1)

式中,‖*‖為求2范數(shù)運(yùn)算。

待測目標(biāo)到接收站i與到第一個(gè)接收站的距離差可表示為

(2)

對式(1)求導(dǎo)可得距離關(guān)于時(shí)間的微分方程為

(3)

對式(2)求導(dǎo)可得距離差關(guān)于時(shí)間的微分方程為

(4)

在實(shí)際應(yīng)用中,包含噪聲的TDOA/FDOA觀測方程可重新表示成向量形式[7]為

α=αo+Δα

(5)

本文基于上述多站TDOA/FDOA定位模型,提出下述基于泰勒級數(shù)展開的非完全約束WLS定位算法。該算法首先將無源定位問題轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃問題,并簡化約束條件,然后通過拉格朗日乘子法,求解目標(biāo)定位值,然后將解在原約束條件下進(jìn)行泰勒級數(shù)展開處理,利用求得的定位誤差進(jìn)一步優(yōu)化定位結(jié)果從而獲得最終值。

2 基于泰勒級數(shù)展開的非完全約束WLS定位算法

(6)

對式(6)關(guān)于時(shí)間求微分,可得到方程為

(7)

(8)

(9)

綜合式(8)、式(9)可求得其對應(yīng)的矩陣表達(dá)式為

(10)

其中

(13)

(14)

首先,對式(10)求WLS解，即

(15)

W1=E[(EΔα)(EΔα)T]=EQαET

(16)

式中,Qα為噪聲向量Δα的協(xié)方差,將約束條件式(14)代入式(15),則約束條件下的WLS解等價(jià)于對式(17)求最小化,即

(17)

即將TDOA/FDOA無源定位問題轉(zhuǎn)化成了二次規(guī)劃問題。

(18)

其中

(19)

Σ11=Σ12=Σ21=diag (1,1,1,-1)；0表示對應(yīng)維數(shù)的零矩陣；Σ為對稱可逆矩陣。再采用拉格朗日乘子[15]來對此條件極值求解，即

(20)

(21)

求解式(21)可得

(22)

(23)

(24)

式中,Λ=diag{η1,η2,…,η8}為對角矩陣。將式(24)代入式(23),可得到14階方程為

(25)

(26)

(27)

(28)

同時(shí)令

(29)

結(jié)合式(27)、式(28)和式(29)可得偽線性方程為

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

綜上所述,本文提出的基于泰勒級數(shù)展開的非完全約束WLS定位算法的流程如下:

步驟2利用卷積運(yùn)算將f(λ)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)多項(xiàng)式,通過求根運(yùn)算對多項(xiàng)式方程求解,且由于拉格朗日乘子λ是實(shí)數(shù),所以方程的解只保留實(shí)數(shù)根;

步驟5將步驟4的結(jié)果代入式(35),計(jì)算在非完全約束條件下的估計(jì)誤差;

步驟6將步驟4、步驟5結(jié)果代入式(36)求解可得到目標(biāo)位置和速度的最終估計(jì)值。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

在仿真實(shí)驗(yàn)中,設(shè)定目標(biāo)位置的單位為m,速度的單位為m/s。參考文獻(xiàn)[12]布站,如表1所示,接收站和目標(biāo)的空間分布情況如圖1所示。

表1 接收站和待測目標(biāo)的位置與速度

圖1 定位系統(tǒng)幾何分布Fig.1 Geometric distribution of the positioning system

(37)

(1) 近距離目標(biāo)定位

圖2 近距離目標(biāo)定位偏差值對比Fig.2 Comparison of location deviation of close range target

從圖2可以看出,隨著噪聲的增大,本文所提出的算法與CWLS算法對目標(biāo)定位的偏差值均顯著小于兩步WLS算法及基于誤差修正WLS算法,這是因?yàn)閮刹絎LS算法和基于誤差修正的WLS算法在第一步對目標(biāo)進(jìn)行定位時(shí),將目標(biāo)的定位值與目標(biāo)到參考接收站的距離及速度視為彼此獨(dú)立的,從而偽線性化處理非線性方程,得到目標(biāo)的解析解,第二步利用約束關(guān)系提高目標(biāo)定位解定位精度,當(dāng)噪聲較大時(shí),第一步目標(biāo)定位偏差值隨之增大,此時(shí)第二步對目標(biāo)定位精度的改進(jìn)效果不明顯。當(dāng)噪聲較小時(shí),無論是對目標(biāo)的位置估計(jì)還是速度估計(jì),本文提出的算法定位偏差都是很小的,證明了該方法是漸進(jìn)無偏的。此外,由于定位方程的非線性,在定位的過程中忽略了二階及其以上的噪聲,隨著噪聲的增大,噪聲對定位結(jié)果的影響將變得越來越顯著,定位偏差值將增大,但相比較而言本文算法是影響最小的,這是由于本文算法利用非完全約束加權(quán)最小二乘提高了定位解精度,同時(shí)利用泰勒級數(shù)在約束條件展開下對定位結(jié)果進(jìn)行不斷修正,從而提高了定位精度。

圖3所示為不同TDOA噪聲強(qiáng)度條件下,TSWLS、改進(jìn)CWLS、誤差修正的WLS和本文提出算法對近距離目標(biāo)定位RMSE值對比結(jié)果。

圖3 近距離目標(biāo)定位RMSE對比Fig.3 Comparison of location RMSE of close range target

從圖3可以看出,當(dāng)噪聲較小時(shí),本文算法與TSWLS算法以及基于誤差修正的WLS算法均可以達(dá)到CRLB。當(dāng)噪聲增大到8 dB和16 dB時(shí),TSWLS算法和基于誤差修正的WLS算法對目標(biāo)位置的估計(jì)精度開始偏離CRLB,當(dāng)噪聲增大到10 dB時(shí)和20 dB時(shí),TSWLS算法和基于誤差修正的WLS算法對目標(biāo)速度的估計(jì)精度與CRLB之間已經(jīng)發(fā)生偏離。本文算法直到25 dB還未偏離CRLB。證明本文所提出算法相較于TSWLS算法和基于誤差修正的WLS算法具有更強(qiáng)的魯棒性。

(2) 遠(yuǎn)距離目標(biāo)定位

圖4 遠(yuǎn)距離目標(biāo)定位偏差值對比Fig.4 Comparison of location deviation of long distance target

圖5所示為不同TDOA噪聲強(qiáng)度條件下,TSWLS、改進(jìn)CWLS、誤差修正的WLS和本文所提算法對遠(yuǎn)距離目標(biāo)定位RMSE值對比結(jié)果。

圖5 遠(yuǎn)距離目標(biāo)定位RMSE對比Fig.5 Comparison of location RMSE of long distance target

從圖4可以看出,當(dāng)噪聲較小時(shí),4種算法的定位偏差均較小,是漸近無偏的。隨著噪聲的增大,本文所提出的算法的定位偏差值是4種算法中最小的。

從圖5可以看出,與近距離目標(biāo)定位的結(jié)果類似,本文所提出的算法在一定的噪聲條件下,對目標(biāo)的定位結(jié)果能達(dá)到CRLB,相較于其他的算法具有更強(qiáng)的魯棒性。

最后對比10 000次Matlab仿真實(shí)驗(yàn)4種算法所需的運(yùn)算時(shí)間,TSWLS消耗的時(shí)間為16.125 s,誤差修正的WLS消耗的時(shí)間為18.681 s,CWLS消耗的時(shí)間為30.433 s,本文算法消耗時(shí)間為31.618 s。對比實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，本文算法所需時(shí)間最長,主要這是因?yàn)楸疚乃惴ǖ谝徊酵ㄟ^分解矩陣、多項(xiàng)式求根等方法求取拉格朗日乘子提高了計(jì)算復(fù)雜度,盡管如此本文算法進(jìn)行一次定位耗時(shí)相對最少的TSWLS也只增加了1.5 ms,在滿足實(shí)時(shí)性的同時(shí)在較高噪聲環(huán)境下能夠保持良好的定位精度。

4 結(jié) 論

本文提出一種基于泰勒級數(shù)展開的非完全約束的TSWLS。該方法先將無源定位問題轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃問題,簡化約束條件,應(yīng)用拉格朗日乘子法,求得待測目標(biāo)定位值,然后將得到的解在原約束條件下進(jìn)行泰勒級數(shù)展開,利用獲得的結(jié)果進(jìn)一步優(yōu)化解析解。實(shí)驗(yàn)證明了該算法在較高噪聲環(huán)境下定位精度優(yōu)于兩步法、CWLS、基于定位誤差修正方法。