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        淺談“數(shù)形結(jié)合”思想在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

        2018-07-27 04:37:54甘肅謝彥仁
        關(guān)鍵詞:思想數(shù)學(xué)

        甘肅 謝彥仁

        數(shù)形結(jié)合,就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,通過把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問題去討論或者把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系來研究,從而解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法.

        縱觀近年來的高考試題,數(shù)形結(jié)合思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法已成為解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧,特別是在解決選擇、填空題時(shí)發(fā)揮著奇特功效.巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題,以形助數(shù)、以數(shù)輔形,可以使抽象的問題直觀化、代數(shù)的問題幾何化、復(fù)雜的問題簡單化,收到事半功倍的效果.下面根據(jù)筆者十幾年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),結(jié)合近幾年各省市高考題中的實(shí)例談?wù)勛约簩?duì)巧用數(shù)形結(jié)合思想解決高考數(shù)學(xué)問題的一些認(rèn)識(shí).

        一、代數(shù)問題“幾何化”——以形助數(shù)

        (一)方程問題中的數(shù)形結(jié)合

        在研究某些方程的根的個(gè)數(shù)、根的大小以及根的取值范圍等問題時(shí),都可以借助于數(shù)形結(jié)合思想,將抽象的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形來觀察方程根的情況.

        【例1】(1)已知0

        ( )

        A.1個(gè)_____________________ B.2個(gè)

        C.3個(gè) D.1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)

        解析:判斷方程的根的個(gè)數(shù)就是判斷圖象y=a|x|與y=|logax|的交點(diǎn)個(gè)數(shù),畫出兩個(gè)函數(shù)圖象,易知兩圖象只有兩個(gè)交點(diǎn).故方程有2個(gè)實(shí)根,故選B.

        (2)已知α是方程x+log2x=4的根,而β是方程x+2x=4的根,那么α+β=________.

        解析:由方程x+log2x=4得log2x=4-x,

        由2x+x=4得2x=4-x,作出y=log2x,y=2x,y=4-x的圖象,由圖象可知直線與兩曲線交點(diǎn)坐標(biāo)為A(α,4-α),B(β,4-β),

        而A,B關(guān)于直線y=x對(duì)稱,∴α=4-β,∴α+β=4.

        (二)不等式問題中的數(shù)形結(jié)合

        在解決一些不會(huì)解的抽象不等式時(shí),若利用常規(guī)方法無從下手,則可以考慮不等式的兩邊分別構(gòu)造函數(shù),在同一平面直角坐標(biāo)系中作出它們的函數(shù)圖象,結(jié)合圖象,數(shù)形結(jié)合得到它們的解集.

        【例2】若不等式|2x-m|≤|3x+6|恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

        解析:在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)y=|2x-m|及y=|3x+6|的圖象,如圖,由于不等式|2x-m|≤|3x+6|恒成立,所以函數(shù)y=|2x-m|的圖象應(yīng)總在函數(shù)y=|3x+6|圖象的下方,因此,函數(shù)y=|2x-m|的圖象也必經(jīng)過點(diǎn)(-2,0),所以m=-4,即m的取值范圍為{m|m=-4}.

        此題屬于不等式恒成立問題,先利用圖象的上、下位置關(guān)系確定直線的位置,然后再還原即可.解不等式或證明不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象,根據(jù)不等式中量的特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)(或多個(gè))函數(shù),利用兩個(gè)函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系來確定不等式的解集或證明不等式.

        (三)函數(shù)問題中的數(shù)形結(jié)合

        【例3】已知函數(shù)f(x)=|lg(x-1)|,若a>b,且f(a)=f(b),則a+2b的取值范圍是

        ( )

        C.[4,+∞) D.(4,+∞)

        解析:作出函數(shù)f(x)=|lg(x-1)|的圖象,

        ∵a>b,且f(a)=f(b),∴12.

        又由f(x)=|lg(x-1)|得|lg(a-1)|=|lg(b-1)|,

        而a-1≠b-1,∴l(xiāng)g(a-1)=-lg(b-1),

        ∴ab-a-b=0,∴a+b=ab,

        (四)集合問題中的數(shù)形結(jié)合

        在解決高考中的集合問題時(shí),常常借助于數(shù)軸、韋恩圖化抽象為具體,化復(fù)雜為簡單,把集合的交、并、補(bǔ)的關(guān)系直觀、形象的顯示出來,使問題得以簡化,運(yùn)算簡潔明了.

        【例5】某校先后舉行數(shù)理化三科競賽,學(xué)生中至少參加一科的:數(shù)學(xué)807人,物理739人,化學(xué)437人;至少參加兩科的:數(shù)理593人,數(shù)化371人,理化267人;三科都參加的213人,試計(jì)算參加競賽總?cè)藬?shù).

        解析:我們用圓A,B,C分別表示參加數(shù)理化競賽的人數(shù),那么三個(gè)圓的公共部分正好表示同時(shí)參加數(shù)理化小組的人數(shù).用n表示集合的元素,則有n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(A∩C)-n(B∩C)+n(A∩B∩C)=807+739+437-593-371-267+213=965,即參加競賽總?cè)藬?shù)為965人.

        (五)解析幾何中的數(shù)形結(jié)合

        解析幾何的基本思想就是數(shù)形結(jié)合,在解題中要善于將數(shù)與形的對(duì)立統(tǒng)一巧妙運(yùn)用于對(duì)點(diǎn)、線、曲線的性質(zhì)及其相互關(guān)系的研究中.

        ∴該拋物線焦點(diǎn)F(0,1),準(zhǔn)線l的方程為y=-1,

        取P為拋物線上的任一點(diǎn),過點(diǎn)P作PP′⊥l,垂足為P′,

        則P點(diǎn)在x軸上的射影為M(如圖所示).

        欲使|PA|+|PM|最小,則|PA|+|PP′|最小,

        即|PA|+|PF|最小,

        解本題時(shí),不少同學(xué)可能會(huì)依常理“出牌”——構(gòu)造函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,然而其最值很難求得.事實(shí)上,求拋物線的焦點(diǎn)(或準(zhǔn)線)相關(guān)的最值問題,更多的是考慮數(shù)形結(jié)合,利用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化,然后利用三點(diǎn)共線或三角形的三邊關(guān)系加以處理.

        二、幾何問題“代數(shù)化”——以數(shù)輔形

        【例7】函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,f(x)為奇函數(shù),其定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),則不等式x[f(x)-f(-x)]<0的解集是

        ( )

        A.(-3,0)∪(0,3) B.(-∞,-3)∪(0,3)

        C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-3,0)∪(3,+∞)

        解析:x[f(x)-f(-x)]<0,即2x×f(x)<0.當(dāng)x<0時(shí),則f(x)>0,由圖象知-30時(shí),則f(x)<0,由圖象知0

        從上面的例子可知,在題設(shè)情境為圖象時(shí),常常需要進(jìn)行由“形”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)化,即將形所含的信息轉(zhuǎn)化為數(shù)和式的表達(dá)式或關(guān)系式,以數(shù)析形,然后推理求解.

        ( )

        A.2 B.4

        C.6 D.8

        解析:依題意,兩函數(shù)的圖象如圖所示,

        由兩函數(shù)的對(duì)稱性可知交點(diǎn)A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8的橫坐標(biāo)滿足x1+x8=2,x2+x7=2,x3+x6=2,x4+x5=2,即x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=8,

        故選D.

        三、數(shù)形互化、相得益彰

        【例9】已知二次函數(shù)y=f1(x)的圖象以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過點(diǎn)(1,1),反比例函數(shù)y=f2(x)的圖象與直線y=x的兩個(gè)交點(diǎn)間距離為8,f(x)=f1(x)+f2(x).

        (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;

        (Ⅱ)證明:當(dāng)a>3時(shí),關(guān)于x的方程f(x)=f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解.

        解析:(Ⅰ)由已知,設(shè)f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1,

        它的圖象與直線y=x的交點(diǎn)分別為

        (Ⅱ)證明:(方法一)由f(x)=f(a),

        ∴當(dāng)a>3時(shí),在第一象限f3(x)的圖象上存在一點(diǎn)(2,f3(2))在f2(x)圖象的上方.

        ∴f2(x)與f3(x)的圖象在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn),

        即f(x)=f(a)有兩個(gè)正數(shù)解.

        因此,在a>3時(shí),方程f(x)=f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解.

        由a>3,Δ=a4+32a>0,得

        ∴x1≠x3.故原方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解.

        在解答此類問題時(shí),教師就要注意引導(dǎo)學(xué)生將方程f(x)=g(x)轉(zhuǎn)化成函數(shù),然后在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象,通過研究函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù),來確定方程解的個(gè)數(shù)或函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

        從以上的內(nèi)容及分析可知,數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要思想之一,而且是一種常用的教學(xué)方法.數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)在于“以形助數(shù)”,通過“以形助數(shù)”,將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖形巧妙結(jié)合起來,使得復(fù)雜的問題簡單化,抽象的問題具體化,從數(shù)的“定量”和形的“定性”上統(tǒng)一的來解決問題.

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