衛(wèi)志農, 朱梓榮, 趙靜波, 劉建坤, 孫國強, 臧海祥

(1. 河海大學能源與電氣學院, 江蘇省南京市 211100; 2. 國網江蘇省電力公司電力科學研究院, 江蘇省南京市 211103)

0 引言

最優(yōu)潮流(optimal power flow,OPF)計算于20世紀60年代由法國學者Carpentier[1]首次提出,是保證電力系統(tǒng)安全經濟運行的重要手段[2-3]。然而,交流最優(yōu)潮流(alternating current optimal power flow,ACOPF)模型具有很強的非線性特征,且其變量間的耦合十分緊密,這導致該模型的計算效率較低,無法滿足大規(guī)模系統(tǒng)的在線實時計算需求。因此,尋找合適的線性化OPF模型顯得尤為重要[4-8]。直流最優(yōu)潮流(direct current optimal power flow,DCOPF)是目前求解速度最快的線性化OPF模型。但由于該模型忽略了網損,且不考慮電壓幅值和無功功率的影響,導致其計算誤差較大,無法獲得完整的調度信息,存在一定的應用瓶頸[9-11],因此研究更精確的線性化模型具有重要的現(xiàn)實意義。

近年來,國內外眾多學者對OPF的線性化模型展開了大量研究。文獻[12]在DCOPF模型基礎上,通過追加無功功率的方式對系統(tǒng)有功平衡方程進行修正,有效提高了DCOPF的精度,但該模型依舊未考慮網損因素的影響。文獻[13]將線路損耗以變量的形式引入有功平衡方程中,并利用損耗特性對其增加約束,從而有效改善了系統(tǒng)的潮流分布。文獻[14]在直流模型線路兩端引入等效對地電阻,將線路有功損耗等效為兩端電阻的損耗,從而有效模擬了線路損耗因素對系統(tǒng)的影響,但該模型仍然沒有考慮無功功率和電壓幅值的影響。文獻[15]和文獻[16]對不同阻抗比下的功率平衡方程進行擬合,分別提出一種計及電壓幅值和無功功率的線性化潮流模型,有效提高了潮流計算的精度,豐富了可展示信息。但兩種模型都在一定程度上弱化了線路兩端的電壓幅值差異,因此在進行OPF計算時,無功調度信息的誤差較大。文獻[17]利用泰勒級數(shù)展開的方法對系統(tǒng)功率平衡方程進行線性化處理,同時考慮了無功功率和電壓幅值對系統(tǒng)的影響,但該模型基于熱啟動環(huán)境,操作點的選取會直接影響模型的計算精度。

基于此,本文首先對功率平衡方程中的三角函數(shù)項進行多項式擬合,再利用系統(tǒng)的運行特性將電壓幅值和相角解耦,然后對其進行不同程度的泰勒級數(shù)展開,最終得到一種解耦的半線性化模型和一種全線性化模型。針對半線性化模型,本文從交流模型線路有功損耗公式出發(fā),對現(xiàn)有網損等值負荷求解方式進行改良,提出一種基于改進網損等值負荷的DCOPF模型以為其提供良好的操作環(huán)境。而對于全線性化模型,本文將操作點代入循環(huán)中迭代更新,從而消除該模型對操作環(huán)境的依賴性。文章采用收斂性較好的原—對偶內點法(primal-dual interior point method,PDIPM)對各模型進行求解,結果表明,本文所提的幾種模型能兼顧高效性和精確性,具有較高的應用價值。

1 半線性化OPF模型

本節(jié)提出一種電壓相角線性但幅值非線性的OPF模型,由于模型中殘留部分非線性項,因此線性化并不完全。為方便敘述,本文將此模型定義為半線性化模型,后續(xù)小節(jié)將對此模型進行詳細推導。

1.1 ACOPF模型

ACOPF是一個典型的非線性規(guī)劃問題,其標準形式包括目標函數(shù)、等式約束和不等式約束三個部分。本文選用常用的發(fā)電費用作為OPF的目標函數(shù):

(1)

式中:ng為發(fā)電機個數(shù);a2i,a1i,a0i為第i臺發(fā)電機耗費特性參數(shù);PGi為第i臺發(fā)電機有功出力。

等式約束主要包括各節(jié)點的功率平衡方程:

(2)

式中:k∈i表示發(fā)電機k與節(jié)點i相連；PDi和QDi分別為節(jié)點i的有功負荷和無功負荷;Ui為節(jié)點i的電壓幅值;θij=θi-θj為節(jié)點i和節(jié)點j的電壓相角差;Gij和Bij分別為導納矩陣第i行第j列元素的實部和虛部;nb為系統(tǒng)的節(jié)點個數(shù)。

同時,不等式約束主要包括:

(3)

式中:QGi為第i臺發(fā)電機的無功出力;PLi和QLi分別為第i條支路的有功和無功潮流;nL為系統(tǒng)的支路條數(shù);下標-和上標-分別為各變量的下限和上限。

1.2 電壓幅值相角解耦及線性化處理

從ACOPF的標準模型可以看出,其非線性特征主要體現(xiàn)在節(jié)點功率平衡約束和線路潮流約束中,因此對線路潮流進行線性化處理是提高模型求解效率的關鍵。設i,j為線路L兩端節(jié)點的編號,則線路潮流可寫為:

(4)

式中:Pij和Qij分別為節(jié)點i流向節(jié)點j的有功功率和無功功率;gij和bij分別為線路的電導和電納。

由于式(4)中存在大量三角函數(shù)項,導致電壓幅值和相角的耦合比較緊密,不利于模型的線性化處理,因此需對其進行等效替換。根據(jù)系統(tǒng)線路兩端的相角差通常在-π/6到π/6之間[16]的特性,本文利用MATLAB擬合工具箱對其進行擬合,從而得到以下等效關系:

(5)

為方便后續(xù)表述,令C1=0.97,C2=0.49。

同時,由于UiUj≈1,因此可得以下近似:

(6)

將式(5)和式(6)代入式(4)中可得:

(7)

式(7)中電壓幅值和相角已完全解耦,但仍包含各變量的二次項,二次項的存在一定程度上會影響模型的求解效率,因此減少或去除模型中的二次項是提高模型求解效率的關鍵。目前對于二次項的線性化處理常采用泰勒級數(shù)展開的方式,但這需要在某一理想的操作點上進行,因此采用這一方法需要為其提供良好的操作環(huán)境。DCOPF僅通過相角表示系統(tǒng)平衡方程,具有求解速度快的優(yōu)點,只要提高其計算精度即可提供良好的相角操作點。因此本文將式(7)中的相角二次項進行線性化處理,以減輕其非線性程度。為此,將θij的二次項進行泰勒級數(shù)展開,取其一階項,并忽略截斷誤差,可得以下近似:

(8)

將式(8)代入式(7)中,可得:

(9)

此時,式(2)可變換為:

(10)

至此,電壓相角線性但幅值非線性的半線性化模型就已表述完畢,而其所需的相角操作點信息將在第2節(jié)中進一步說明。

1.3 基于改進網損等值負荷的DCOPF模型

本文采用網損等值負荷直流模型為半線性化OPF模型提供相角操作點。該模型最早由文獻[18]提出,文獻[14]將其應用到OPF領域,附錄A給出該模型的簡述,其具體推導過程可參見文獻[14]和文獻[18]。上述文獻均利用線路的有功功率和視在功率的關系近似描述線路損耗,該方法在等效過程中涉及線路視在功率幅值與有功功率幅值比例因子的計算。由于該參數(shù)在迭代過程中是一個不斷變化的量,而上述文獻將其設為定值,一定程度上會影響網損等值負荷模型的計算精度。基于此,本文從交流模型出發(fā),重新推導線路有功損耗的計算公式,以求提高該模型的計算精度,從而為半線性化OPF模型提供更為良好的相角操作環(huán)境。由式(4)可得,交流模型中線路i-j的有功損耗Ploss,ij可表述為:

(11)

將式(5)代入式(11)中可得:

(12)

式中:Uij=Ui-Uj為線路兩端的電壓幅值差。

由于電力系統(tǒng)在運行過程中節(jié)點電壓一般都保持在1.0(標幺值)左右,因此線路首末端電壓幅值差的數(shù)值較小。而經過大量的算例驗證,也可得Uij?θij,因此可忽略式(12)中的Uij項,此時,式(12)可寫為:

(13)

因此,基于改進網損等值負荷的DCOPF模型的約束條件可表述為:

(14)

2 全線性化OPF模型

雖然1.2節(jié)將系統(tǒng)功率平衡方程中的電壓幅值和相角解耦,并對其中相角二次項進行了線性化處理,在一定程度上提高了模型的求解效率。但將其應用在小系統(tǒng)OPF問題時對計算效率的提升并不明顯,因此本節(jié)將對其中殘留的幅值二次項進一步線性化處理,從而得到一種約束條件完全線性的OPF模型,為方便敘述,本文定義該模型為全線性化模型。

2.1 類熱啟動方式下的線性表達式

熱啟動方式[19]是指將電力系統(tǒng)日內調度的前一斷面歷史數(shù)據(jù)或者現(xiàn)行斷面的潮流等類型的數(shù)據(jù)作為非線性項的泰勒級數(shù)展開的操作點。熱啟動方式下OPF模型的求解過程始終圍繞所選取的操作點進行,因此,操作點的質量將直接影響計算結果的精度。由于目前缺乏快速而有效的提供幅值操作點的方法,本文借鑒熱啟動方式的思想,將每一次迭代所得結果作為下一次迭代所需的操作點,本文將這種處理方式定義為類熱啟動方式。此時,只需任意選擇第一次迭代的操作點,隨著迭代的進行,操作點不斷更新,操作環(huán)境的質量也不斷得到優(yōu)化。采用這一方式,可有效消除模型對于操作環(huán)境的依賴性,從而避免操作點選擇不得當而引起的計算誤差和收斂性變差等問題。

基于上述類熱啟動方式,第k次迭代時有以下近似關系:

(15)

式中:θij,k-1,Ui,k-1,Uj,k-1分別為各變量第k-1次迭代所得結果。

將式(15)代入式(7)中,可得:

(16)

此時,式(2)可變換為:

(17)

2.2 操作點更新機制

因為線性化處理破壞了系統(tǒng)變量之間的固有關系,所以不存在最優(yōu)操作點的概念,如果在整個求解過程中一直不停地更新操作點,反而會使算法的收斂性變差,增加模型求解所需承受的時間代價。因此,尋找合適的時機停止更新操作點有利于進一步提高模型的求解效率。為此,本文對所選用算法作相應的適應性分析。

本文采用PDIPM對模型進行求解,該算法的收斂判據(jù)是其對偶間隙Gap小于某一設定閾值,因此Gap能有效反映出當前結果與最優(yōu)值之間的差距。而Gap可由式(18)求得[20]。

Gap=lTz-uTw

(18)

式中:l,u和z,w分別為PDIPM求解過程中引入的松弛變量和拉格朗日乘子。

以Polish 2736節(jié)點系統(tǒng)為例,附錄B給出PDIPM在求解該系統(tǒng)ACOPF問題時Gap的變化過程(無可爭議地,PDIPM在求解其他類似優(yōu)化問題時,也具有相似的收斂特性)。從中可以看出,僅通過前幾次迭代,該算法就將Gap快速收縮,此后Gap的變化趨勢逐漸趨于平緩。這說明PDIPM在前幾次迭代中就將目標函數(shù)快速收斂到最優(yōu)值附近,而在后續(xù)求解過程中,每次迭代對目標函數(shù)的影響逐漸減小。此時,迭代對操作環(huán)境的改善作用也逐漸變弱,如果繼續(xù)更新操作點,只會增加算法的計算成本。因此,當Gap的變化趨勢趨于平緩時,停止更新操作點,既有利于獲得良好的操作環(huán)境,也不會給算法造成過大的時間負擔。

為了量化“平緩”的定義,本文根據(jù)PDIPM的收斂特性,定義當連續(xù)兩次迭代所得的Gap之間的變化量小于第1次迭代時Gap的1%時,Gap的變化趨于“平緩”。由直線y=0.01x的斜率和PDIPM前幾次迭代Gap的變化趨勢易知,上述定義下Gap的變化趨勢已足夠平緩。同時,附錄C給出PDIPM在求解OPF問題過程中,當Gap滿足上述“平緩”條件時,目標函數(shù)與最優(yōu)值之間的誤差,進一步驗證了本文對于“平緩”定義的有效性。此時,該模型的求解流程圖如附錄D所示。

至此,基于類熱啟動環(huán)境的全線性化模型及其操作點更新機制就已表述完畢。

3 算例分析

本文采用PDIPM對各模型進行求解,在MATLAB 2014a平臺上實現(xiàn)算法編程。為驗證各模型的有效性,本文對IEEE 300節(jié)點系統(tǒng)、Polish 2383節(jié)點系統(tǒng)、Polish 2736節(jié)點系統(tǒng)和一個8304節(jié)點大系統(tǒng)進行算例測試。為了方便表述,本文將ACOPF模型定義為AC,DCOPF模型定義為DC,文獻[14]提出的基于網損等值負荷的直流模型定義為M1,本文1.3節(jié)所述基于改進網損等值負荷的直流模型定義為M2,文獻[17]提出的基于熱啟動環(huán)境下的線性化OPF模型定義為M3,本文1.2節(jié)所述半線性化OPF模型定義為M4,本文2.1節(jié)所述全線性化OPF模型定義為M5。

為了保證測試環(huán)境的統(tǒng)一性,本文在求解各模型時,均采用相同的稀疏技術和收斂精度,以避免算法上的差異導致測試結果的不準確。

3.1 改進網損等值負荷直流模型校驗

為驗證M2為M4提供相角操作點的能力,本文先對其計算精度進行驗證。表1給出AC,DC,M1和M2的計算結果,其中相對誤差指的是該模型與AC模型之間的相對誤差。由表1可知,M1和M2可有效提高DC模型的計算精度。同時,由于M2更精確地表述了線路損耗的近似公式,該模型成功將計算誤差控制在了0.5%以內。

表1 直流類模型計算精度對比Table 1 Calculation accuracy comparison of DC-type models

而相對于目標函數(shù),調度人員更關心OPF計算結果中的調度信息。同時,由于上述模型通過相角表述系統(tǒng)的平衡方程,調度信息的準確性間接反映出相角操作點的質量。因此表2給出上述模型的發(fā)電機有功出力情況,其中誤差是指各模型與AC模型結果之間的誤差。從中可以看出,M2有效改善了系統(tǒng)的潮流分布,提高了調度信息的準確度,既可以為M4提供良好的相角操作點,同時又具備成為獨立的OPF模型投入實際應用的條件。

表2 直流類模型調度信息(發(fā)電機有功出力)對比Table 2 Scheduling information (generator active power) comparison of DC-type models

3.2 熱啟動類模型校驗

M3,M4和M5均屬于熱啟動類OPF模型,這一類模型對操作點的要求較高,操作點的質量會直接影響計算結果的精度。為驗證各模型的精度和其對操作點的依賴性,本文分別選用系統(tǒng)的當前潮流和常用的平啟動值(即電壓幅值設為1.0(標幺值),電壓相角設為0°)作為操作點對M3和M5進行校驗,M4采用M2所得結果作為操作點。為方便敘述,本文定義潮流操作環(huán)境下的M3和M5分別為M31和M51,平啟動操作環(huán)境下的M3和M5分別為M32和M52。

表3給出上述模型的計算結果,其中相對誤差是指該模型與AC模型之間的相對誤差。從中可以看出,對于絕大多數(shù)系統(tǒng),M31均保有較高的精度,但M32的計算誤差均超過1.5%,對于Polish 2383節(jié)點系統(tǒng),其計算誤差甚至達到了4.9%,這說明M3的計算精度與操作點的質量密切相關。而對于8304節(jié)點大系統(tǒng),無論是以當前潮流還是平啟動值作為操作點都無法為M3提供足夠良好的操作環(huán)境,從而導致M31和M32在求解該系統(tǒng)OPF問題時無法有效收斂,這進一步說明了M3對操作環(huán)境的質量具有很強的依賴性,因此該模型的實際應用具有一定的局限性。

表3 熱啟動類模型計算精度對比Table 3 Calculation accuracy comparison of hot-start models

M4保留了功率平衡方程中的電壓幅值二次項,因此較好地擬合了系統(tǒng)功率平衡方程與電壓幅值之間的關系,而得益于M2為其提供的良好操作環(huán)境,該模型在求解各系統(tǒng)OPF問題時,均將計算誤差控制在了0.5%以內。對于對操作點要求較高的8304節(jié)點大系統(tǒng),該模型仍能有效收斂,且保有較高精度。因此結合本文所提模型M2,模型M4滿足實際工程應用對計算精度的要求,具有較高的實用價值。

M5通過對操作點迭代更新的方式對操作環(huán)境進行了優(yōu)化,因此無論是M51還是M52,在求解各模型的OPF問題時,也都將計算誤差控制在了0.5%以內。同樣對于對操作環(huán)境依賴性較高的8304節(jié)點大系統(tǒng)，M5也能有效收斂,且計算精度高,滿足實際工程應用要求。從結果可以看出,M51和M52的結果基本一致,這說明2.2節(jié)對于“平緩”的定義是合理且正確的,該處理方式有效消除了M5對操作點的依賴性,擴大了模型的應用范圍,使其具有較高的實用價值。

雖然目標函數(shù)可在一定程度上反映模型的精確程度,但無法有效表征系統(tǒng)無功調度信息的準確度。由M2可知,有功調度信息與電壓相角的關聯(lián)性較大,因此僅通過相角即可有效表述。不同于有功調度信息,無功調度信息需要由電壓幅值和相角同時決定,所以發(fā)電機的無功出力可間接反映出系統(tǒng)狀態(tài)變量的準確度。因此表4給出各模型解出的無功出力與AC模型所得結果之間的誤差(本文采用的基準功率為100 MVA),為了更直觀且清晰地展示各模型間的差異,附錄E給出發(fā)電機數(shù)較少的IEEE 300節(jié)點系統(tǒng)的無功出力情況。可以看出,M4和M5較M3具有更高的精度,而由于M4保留了電壓幅值的二次項,其無功調度信息較M5更為準確,與AC模型所得結果基本一致。雖然M4和M5所得結果中有極個別發(fā)電機的無功出力與交流最優(yōu)解間的誤差較大,但這并不會破壞系統(tǒng)的交流特性,附錄F對這一結論進行了詳細的分析驗證。同時,M4和M5較好地解決了熱啟動類模型對操作點依賴性高的問題,且對8304節(jié)點大系統(tǒng)仍保有較高精度,因此,較M3具有更廣泛的應用范圍。

表4 熱啟動類模型調度信息(發(fā)電機無功出力)對比Table 4 Scheduling information (generator reactive power) comparison of hot-start models

3.3 各模型的計算效率對比

除了計算精度,計算效率也是評估線性化模型質量的重要指標之一。因此圖1給出各模型在求解不同系統(tǒng)時所需的計算時間和迭代次數(shù)。

圖1 不同模型所需計算時間和迭代次數(shù)對比Fig.1 Comparison of calculation time and iterations for different models

需要說明的是,圖1中M4的計算時間未考慮操作點獲取所需時間,因此其總耗時需要加上M2的計算時間。由圖1可以看出,得益于MATLAB強大的計算能力和稀疏技術的應用,AC模型在求解大多數(shù)系統(tǒng)的OPF問題時,均能在50次迭代、7 s內有效收斂。但對于本文測試的8304節(jié)點大系統(tǒng),AC模型需迭代796次,收斂用時約為165 s,遠遠超出了在線應用對于計算效率的要求,因此本文對線性化OPF模型的探究具有重要的現(xiàn)實意義。

在幾種線性化模型中,由于DC模型對系統(tǒng)功率平衡方程做了大量簡化,因此其迭代次數(shù)最少,計算效率最高,且對節(jié)點數(shù)較少的小系統(tǒng)該模型對效率的提升也十分明顯。M1和M2的迭代次數(shù)和計算時間基本一致,由于這兩個模型中都殘留有非線性部分,因此其迭代次數(shù)和計算時間都略多于DC模型。但即便如此,其對OPF計算效率的提升仍然十分顯著,即使是8304節(jié)點大系統(tǒng),仍將計算時間控制在了2 s以內,相對AC模型減少了99%。

M3和M5在處理小系統(tǒng)OPF問題時,兩者的計算效率基本相同。但對于大系統(tǒng),例如Polish 2736節(jié)點系統(tǒng),由于操作點的質量較差,M3的計算效率要略低于M5。而對于8304節(jié)點大系統(tǒng),M3無法收斂,M5則仍能在50次迭代以內有效收斂,其計算時間較AC模型縮短了95%。

由于M4中殘留有電壓幅值二次項,因此在求解小系統(tǒng)OPF問題時,其對計算效率的提升并不明顯,加之需要M2為其提供操作環(huán)境,該模型在求解IEEE 300和Polish 2383及Polish 2736節(jié)點系統(tǒng)的OPF問題時,相較AC模型只能縮短15%左右的時間。但對于8304節(jié)點大系統(tǒng),M4對幅值和相角解耦處理的效果得以有效體現(xiàn),將計算時間縮短到了12 s,相較AC模型減少了93%。

3.4 各模型的綜合評述

3.1節(jié)至3.3節(jié)對各模型的計算精度和計算效率進行了詳細的對比,基于上述結果,本節(jié)對各模型作簡要評述。AC模型保留了系統(tǒng)全部特性,在求解小系統(tǒng)OPF問題時速度較快,因此當系統(tǒng)節(jié)點數(shù)在300以內時,可直接采用AC模型進行求解。DC模型雖然求解速度快,但其計算結果誤差較大,調度信息不準確,因此無法投入實際應用。M2有效改善了網損等值負荷模型的計算精度,且并未因此影響其求解速度,故較M1具有更高的實際應用價值。M3通過泰勒級數(shù)展開的方式對三角函數(shù)進行線性化處理,因此其擬合程度較本文更高,但也正因為如此,其對操作點的依賴性很強,從而導致結果不夠理想,若能快速為其提供更為良好的操作環(huán)境,該模型將具有很高的實用價值。M4和M5都對模型進行了解耦處理,有效提升了求解速度,且兩者的計算精度都較高,具有較高的實用價值。但由于M4中仍殘留非線性部分,因此在處理小系統(tǒng)OPF問題時,M4在提高求解效率方面略顯乏力。相對的,由于M5對模型進行了全線性化處理,因此其計算精度較M4更低,因此,在實際應用過程中,對于兩者的選用需對計算效率和精度作一定權衡。

4 結論

針對ACOPF計算效率低的問題,本文提出3種線性化OPF模型,通過對IEEE 300節(jié)點系統(tǒng)、Polish 2383節(jié)點系統(tǒng)、Polish 2736節(jié)點系統(tǒng)和一個8304節(jié)點大系統(tǒng)的算例測試,可以得到以下結論。

1)本文改進了網損等值負荷模型中等值網損的求解方式,從而有效提高了模型的計算精度,使其即可為本文所提半線性化模型提供良好的操作環(huán)境,也可成為獨立的線性化OPF模型投入實際應用。

2)本文所提解耦的半線性化模型和全線性化模型包含完整的調度信息,計算精度高,求解效率較快,有效解決了熱啟動類模型對操作環(huán)境依賴性高的問題,具有較高的實用價值。但對于兩者的選用需在求解效率和計算精度之間作一定權衡。

未來可進一步研究線性化模型在N-1校驗、機組組合、預防/校正控制等方面的應用,以進一步體現(xiàn)線性化模型的優(yōu)勢。

附錄見本刊網絡版(http://www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx)。