胡衛(wèi)東，譚建輝，曾律弦，張?zhí)﹣?.湖南理工學院土木建筑工程學院，湖南 岳陽 44006；. 湖南大學巖土工程研究所，湖南 長沙 4008；.香港大學土木工程系，香港 999077)

土工合成加筋材料已廣泛應(yīng)用于邊坡、路堤和擋土墻等工程結(jié)構(gòu)中，其穩(wěn)定性分析理論與方法的研究一直受到人們關(guān)注，極限分析上限法無需準確確定破壞機構(gòu)內(nèi)部的應(yīng)力分布，而且能滿足材料本構(gòu)關(guān)系、位移和邊界條件，因此成為分析加筋邊坡穩(wěn)定性的一種有效方法。

在已有加筋邊坡穩(wěn)定性理論研究中，多數(shù)都局限于線性Mohr-Coulomb破壞準則，然而，巖土介質(zhì)服從非線性破壞準則，線性破壞準則只是其中一個特例[1～4]，非線性強度是巖土體非常重要的材料強度特性，對巖土工程力學行為有重要影響，因此，在極限分析方法中引入非線性破壞準則進行加筋邊坡穩(wěn)定性研究更符合實際工程需要。

國內(nèi)外學者利用極限分析上限理論研究加筋土邊坡穩(wěn)定性已取得很多重要成果，Porbaha等[5～6]基于上限理論采用對數(shù)螺旋面破壞機構(gòu)研究了加筋土坡的臨界高度，并利用離心模型試驗進行驗證研究；Jewell等[7]利用極限分析理論給出了加筋陡坡的設(shè)計圖表；Michalowski等[8～9]、Radoslaw等[10～11]假設(shè)筋材的破壞形式為拉伸破壞，通過計算滑動層內(nèi)筋材拉力所做的功對加筋土進行了研究；崔新壯等[12]研究了3種不同布筋模式對土坡臨界高度及滑裂面形狀與位置的影響；吳雄志等[13]假設(shè)筋材為拔出破壞，建立了通過坡角滑動破裂面的土工織物加筋土坡穩(wěn)定性的上限解；闕云等[14]結(jié)合豎直條分平移破壞機構(gòu)建立加筋路堤穩(wěn)定性計算公式，探討了多種因素對穩(wěn)定性的影響；鄧國瑞等[15]在非關(guān)聯(lián)流動法則下研究了加筋土邊坡的穩(wěn)定性問題；李秀娟等[16]基于廣義塑性理論的上限法研究了筋材能量耗散的計算。加筋邊坡內(nèi)土工筋材的能量耗散計算是應(yīng)用極限分析上限方法確定其臨界高度的關(guān)鍵，上述研究成果在一定程度上反映了水平分布筋材的力學變形機理，但并沒有充分考慮到極限狀態(tài)下滑動破壞面上筋材與土體會產(chǎn)生協(xié)調(diào)變形，致使加筋邊坡相應(yīng)協(xié)調(diào)變形下的許可速度場發(fā)生改變，筋材能量耗散計算公式也產(chǎn)生相應(yīng)變化，其臨界高度確定方法必然存在較大差別。因此，針對滑動破壞面上筋材與土體協(xié)調(diào)變形的特點展開深入研究，正是本文研究的核心內(nèi)容。

為此，本文將結(jié)合加筋土坡的工程性質(zhì)和力學變形機理，考慮破壞間斷面滑動層上筋材與土體變形協(xié)調(diào)特點及速度變化的連續(xù)性，分開計算素土內(nèi)力功和間斷面上筋材能量耗散功率，基于非線性破壞準則和外切線法，利用上限分析理論建立直線破裂面和對數(shù)螺線破裂面的加筋土坡臨界高度計算模型，以期完善加筋土坡穩(wěn)定性分析理論與方法。

1 非線性破壞準則

Zhang等[17]建立了Power-law非線性破壞準則來描述巖土材料的非線性強度關(guān)系，其表達式如下：

(1)

式中：c0，σt，m——巖土材料參數(shù)；

c0——曲線與縱軸的截距；

-σt——曲線與橫軸的截距。

曲線恒定通過(0，c0)和(-σt，0)兩點，m決定了曲線的彎曲程度，如圖1所示。m=1時，式(1)則轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性破壞準則。

圖1 非線性破壞準則曲線及切線Fig.1 Curve of a nonlinear failure criterion and its tangential line

對式(1)求導可得σn-τ曲線的切線斜率，切線完全位于破壞曲線外側(cè)，切線斜率(曲線的曲率)隨著σn的增加而逐步減?。?/p>

(2)

在上限分析中，經(jīng)常有學者采用“在結(jié)構(gòu)的任何部分提高材料的屈服極限，不會降低結(jié)構(gòu)的極限荷載”這一思想，由真實屈服面的外接屈服面計算得到的極限荷載，也將是真實極限荷載的上限解[18～19]。因此，在按實際屈服條件求解問題有困難的情況下，基于非線性破壞準則的上限分析可采用外切直線法，相應(yīng)提高巖土材料的屈服強度來獲得上限解，這種外切直線破壞準則下的上限解一定為真實的非線性破壞準則極限荷載的上限。

外切直線L的方程式為：

τ=ct+tanφtσn

(3)

式中：ct，tanφt——切線的截距和斜率。

如圖1所示，ct，tanφt的表達式為：

(4)

(5)

2 筋材的能量耗散分析方法

加筋土坡內(nèi)筋材的能量耗散分析方法是應(yīng)用極限上限分析理論確定其臨界高度的關(guān)鍵，為了建立合理的筋材能量耗散分析方法，首先作如下基本假定：

(1)n層筋材均勻水平布置在土坡內(nèi)，土體內(nèi)摩擦角為φ，基于小變形條件下，加筋土坡問題可視為平面問題；

(2)假定破壞間斷面上筋材與土體變形協(xié)調(diào)，邊坡土體達到極限狀態(tài)破壞時，筋材產(chǎn)生拉伸斷裂破壞，且筋材有足夠的錨固長度而不被拔出；

(3)土體服從相關(guān)聯(lián)流動法則，且本文的水平加筋材料為土工格柵、土工織物等柔性筋材，即不考慮其抗彎剛度的影響。

基于以上假定對筋材的能量耗散進行分析，取破壞間斷面上的Δl微段作為研究對象，由于不考慮筋材的抗彎剛度,筋材只能承擔拉力，隨著荷載的增加,滑動層內(nèi)的筋材會隨土體的滑動變形而逐漸改變其受拉方向。加筋土體達到極限狀態(tài)時沿著某一速度間斷面破壞，筋材與土體在間斷面薄滑動層上將會產(chǎn)生協(xié)調(diào)變形，為了最大程度地阻止土體發(fā)生滑動，變位后薄滑動層內(nèi)筋材的方向應(yīng)被動調(diào)整為與滑塊間斷速度[V]相反的方向[20～21]，如圖2所示。設(shè)薄滑動層厚度為t，破壞間斷面與水平方向的夾角為ξ，本文假定土體服從相關(guān)聯(lián)流動法則，則間斷速度[V]與間斷面成φ夾角。同理，當破壞間斷面為對數(shù)螺線面時,滑動層內(nèi)變位后的筋材方向與該處的曲率半徑相垂直。

圖2 微段Δl內(nèi)筋材的能量耗散Fig.2 Energy dissipation of reinforcement in segment Δl

設(shè)筋材變位前采用均勻布筋模式，豎向等距離布置水平筋材，如圖3所示，加筋層單位寬度極限抗拉強度為Tt，則加筋土坡內(nèi)筋材的平均抗拉強度kt可以表示為：

圖3 布筋模式Fig.3 Reinforcement distribution modes

(6)

(7)

式中：d——筋材豎向間距；

H——加筋土坡高度。

筋材與土體產(chǎn)生協(xié)調(diào)變形后，滑動破壞層內(nèi)筋材的間距d′可由圖2中的幾何關(guān)系求得，即：

(8)

(9)

當運動滑塊相對于靜止滑塊運動時，在速度間斷面這一薄滑動層內(nèi)，從相對靜止部分過渡到相對運動部分，筋材上任意連續(xù)點的速度方向與間斷面成φ角，其大小滿足變化的連續(xù)性，這里假設(shè)其為簡單的線性變化，表達式為：

(10)

式中：s——筋材上任意點變位后在滑動層內(nèi)的長度；

V——滑動層內(nèi)筋材任意點的速度矢量；

[V]——間斷速度矢量。

(11)

于是，可求得土坡內(nèi)單層筋材每單位寬度的能量耗散率為：

(12)

綜合上述，聯(lián)立式(9)與(12)則可求出間斷面上單位面積的筋材能量耗散率dr′：

(13)

3 直線破裂面加筋土坡

對于加筋土坡，假定土坡的破裂面為直線破裂面，如圖4所示的屈服機構(gòu)，剛性滑塊ABC沿AB面下滑，間斷速度為[V]，其方向與破裂面成φ角。ABC剛性滑塊在自重作用下的外力功率為：

圖4 直線破裂面屈服機構(gòu)-速度場Fig.4 Failure mechanism for a linear crack surface

(14)

式中：β——邊坡坡角；

γ——土體重度；

θ——直線滑裂面與水平面的夾角。

加筋土坡內(nèi)能耗散率包括兩部分，一部分為AB速度間斷面上能量耗散率，其表達式為：

(15)

式中：c——巖土體黏聚力。

另外一部分為筋材的能量耗散，因直線破裂面機構(gòu)中ξ夾角與θ夾角相等，于是可得筋材的能量耗散率為：

(16)

(17)

(18)

(19)

基于非線性破壞準則，采用其破壞曲線的強度參數(shù)ct和φt，代入式(19)則可得非線性破壞準則下加筋土坡臨界高度表達式為：

(20)

非線性破壞強度準則中，ct和φt參數(shù)隨應(yīng)力狀態(tài)σn大小而變化，將式(4)和式(5)代入式(20)，臨界高度H可表示為以θ及φt為變量的函數(shù)式，即：

H=H(θ，φt)

(21)

(22)

將求解獲得的θ及φt代入式(21)，即得土坡臨界高度上限解：

Hc=H(θ，φt)min

(23)

4 對數(shù)螺線破裂面加筋土坡

加筋土坡穩(wěn)定性分析經(jīng)常按對數(shù)螺線曲面或圓弧滑動面進行研究。這里假定滑動破裂面為通過坡腳A的對數(shù)螺線面AB，如圖5所示的屈服破壞機構(gòu)，破裂面的曲線方程可表示為式(24)，機動許可速度場為剛性滑塊ABC繞極點O轉(zhuǎn)動的運動模式，速度間斷面上任意點的間斷速度由式(25)表示。

圖5 對數(shù)螺線破裂面屈服機構(gòu)Fig.5 Failure mechanism for the logarithmic spiral crack surface

由對數(shù)螺線方程式：

R=R0e(θ-θ0)tanφt

(24)

V=V0e(θ-θ0)tanφt

(25)

V0=ωR0

(26)

式中：R0——極徑OB的長度；

θ0——極徑OB與水平面夾角；

V0——B點間斷速度;

ω——剛性滑塊的轉(zhuǎn)動角速度。

由幾何關(guān)系可得：

(27)

(28)

式中：Ls——BC之間的距離；

θh——極徑OA與水平面夾角。其他符號見圖5所示，圖中3個參數(shù)θ0，θh及H即可完全確定土坡滑動面所在位置。

土體重力在ABC區(qū)域做功功率可以先分別求出OAB區(qū)域、OCB區(qū)域及OCA區(qū)域土重所做功率，然后再求三者代數(shù)和即可得到[22]，其表達式為：

(29)

(30)

(31)

(32)

速度間斷面上素土的內(nèi)能耗散率為：

(33)

(34)

f4=[e2(θh-θ0)tanφt-1]

(35)

由前面式(13)給出的速度間斷面單位面積上筋材能量耗散率可以計算出整個對數(shù)螺線速度間斷面上筋材的能量耗散率為：

(36)

(37)

(38)

將式(24)、(25)、(27)及(28)代入式(36)可得：

(39)

求解可得:

(40)

f5=e2(θh-θ0)tanφtsin(θh-φt)-sin(θ0-φt)

(41)

f6=2tanφt[e2(θh-θ0)tanφtcos(θh-φt)-cos(θ0-φt)]

(42)

在極限狀態(tài)下任何機動容許的速度場，加筋土體重力所做功率等于速度間斷面上素土內(nèi)能耗散功率和筋材能量耗散功率之和，加筋土坡對應(yīng)高度為臨界高度。

(43)

于是，可得到：

(44)

非線性破壞準則下，θ0參數(shù)與應(yīng)力狀態(tài)σn緊密相關(guān)，將式(4)和式(5)代入式(44)，H函數(shù)式則為θ0，θh及φt為變量的函數(shù)，即：

H=H(θh，θ0，φt)

(45)

(46)

將求解獲得的θh、θ0及φt代入式(45)，即得土坡臨界高度上限解：

Hc=H(θh，θ0，φt)min

(47)

5 算例分析

5.1 分析模型與優(yōu)化算法的驗證

為了驗證本文加筋土坡臨界高度分析模型和優(yōu)化算法的正確性，本文采用對數(shù)螺線滑裂面破壞機構(gòu)計算結(jié)果與采用加筋土離心模型試驗的文獻[6]、[23]和[24]結(jié)果，及同樣引入上限極限理論計算加筋土坡臨界高度的文獻[25]計算結(jié)果進行對比分析與討論，如表1所示。為了更好地進行對比分析，取m=1，將問題簡化為線性破壞準則下的臨界高度上限求解。

表1 離心模型試驗及理論分析的臨界高度Table 1 The critical height of centrifugal model test and theoretical analysis

注：試驗數(shù)據(jù)為文獻[6]、[23]和[24]的模型離心試驗結(jié)果；地基土重度γ=17.8 kN/m3，其他參數(shù)見表1；H*、Hcr和H分別為模型離心試驗、文獻[25]理論計算及本文理論計算的臨界高度值。

通過對比計算結(jié)果可以看出，本文方法計算結(jié)果與文獻[25]計算結(jié)果較接近，且本文計算臨界高度值略小，是較優(yōu)的上限解，主要是考慮了間斷面薄滑動層上變形的協(xié)調(diào)性及速度變化的連續(xù)性，這在一定程度上說明了本文分析模型和優(yōu)化算法的正確性和合理性；本文及文獻[25]計算得到的臨界高度值均比試驗實測值小，在10%～20%之間，主要是理論計算方法考慮的是破壞面上筋材能量耗散，而忽略了內(nèi)部土層筋材與土的摩擦能耗，另外，離心模型試驗箱壁與模型間的摩擦力也會產(chǎn)生一定誤差。

將本文方法計算結(jié)果與A.Porbaha加筋土離心試驗結(jié)果、文獻[26]和[27]的理論計算結(jié)果進行對比分析，如表2所示。表中Hc為加筋土坡裂縫開始出現(xiàn)時的高度，Hf為加筋土坡倒塌破壞時的高度。通過比較可以看出，本文與文獻[26]和[27]同樣都是采用上限極限分析方法進行研究，三種理論方法計算結(jié)果非常接近，且本文所得上限解更優(yōu)。

表2 臨界高度理論計算結(jié)果對比Table 2 Comparison of critical height

5.2 非線性破壞準則對臨界高度的影響

為了研究非線性破壞準則對加筋土坡臨界高度的影響，結(jié)合以上表1中M-48工程算例，m=1時土重度γ=17.8 kN/m3，c=18.6 kPa，φ=20.1°，即可得到相應(yīng)非線性強度參數(shù)下的破壞公式τ=18.6(1+σn/50.8)1/m，然后分別計算m=1.2～3.0，加筋土坡臨界高度值，計算結(jié)果如表3所示。

表3 計算結(jié)果比較Table 3 Comparison of computation results

從表3中可以看出，建立考慮變形協(xié)調(diào)條件下加筋土坡臨界高度分析模型，采用非線性破壞準則求解，隨著m的增大，臨界高度值逐步減小。

6 結(jié)論

(1)本文從加筋土坡的工程特性和變形機理出發(fā)，考慮破壞間斷面滑動層上筋材與土體的變形協(xié)調(diào)特點及速度變化的連續(xù)性，研究得到破壞間斷面上筋材能量耗散功率計算公式。

(2)引入上限分析方法，建立直線破裂面和對數(shù)螺線破裂面機構(gòu)的加筋土坡臨界高度確定方法，并利用序列二次規(guī)劃優(yōu)化算法得到上限解。

(3)對于巖土材料，非線性破壞準則更符合工程實際情況，引入非線性強度假設(shè)很有必要。非線性參數(shù)m對加筋土坡臨界高度有著重要影響，隨著m的增大臨界高度值減小。