王 毅 冀保峰 張松煒 閆利超 郭 慧 李春國 楊綠溪

(1. 鄭州航空工業(yè)管理學院電子通信工程學院， 河南鄭州 450046；2. 國家數字交換系統(tǒng)工程技術研究中心， 河南鄭州 450002；3. 河南科技大學信息工程學院， 河南洛陽 471023； 4. 東南大學信息科學與工程學院， 江蘇南京 210096)

1 引言

大規(guī)模多輸入多輸出(Massive MIMO)技術利用在基站部署的巨量天線陣列，獲得了相較傳統(tǒng)MIMO系統(tǒng)諸多不同的特性，特別是頻譜效率、能量效率、發(fā)送/接收機線性化操作、空間波束分辨率、空口延時和物理層控制信令開銷等方面取得了顯著的性能提升[1-3]。正因為如此，業(yè)內普遍認為未來5G移動通信系統(tǒng)關鍵性能指標的實現有賴于大規(guī)模MIMO這一物理層關鍵技術的突破[4- 6]。

然而，大規(guī)模MIMO技術的優(yōu)異性能是以基站獲取可靠有效的信道狀態(tài)信息(Channel State Information, CSI)為前提，而CSI的精確程度也直接決定了系統(tǒng)的下行空間波束復用、資源分配、檢測接收等環(huán)節(jié)的性能[7- 8]。對于目前占主流的頻分雙工(Frequency Division Duplexing, FDD)制式蜂窩系統(tǒng)而言(全球范圍內4G LTE FDD牌照超過300張，而時分雙工(Time Division Duplexing，TDD)牌照僅有40余張[9])，由于FDD制式中上下行信道不滿足互易性，必須通過基站發(fā)送下行導頻信號，在用戶側進行信道估計，進而反饋至基站再進行相應的預編碼或波束成型方案設計[2]。由于基站配置了大規(guī)模天線陣列，采用下行正交導頻序列時，其導頻長度將會隨著天線數增加而成倍增加，從而導致消耗較大的系統(tǒng)資源，影響整個系統(tǒng)的頻譜利用率[7]。與此同時，業(yè)內考慮到從4G FDD系統(tǒng)到5G系統(tǒng)的平滑過渡以及5G系統(tǒng)后向兼容性，必須著力解決FDD大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中的導頻開銷及導頻設計問題，這對于FDD制式下大規(guī)模MIMO技術的應用推廣具有重要的現實意義[9]。

文獻[10]研究了非正交條件下的導頻設計問題，利用信道反饋信息對導頻序列進行迭代優(yōu)化。文獻[11]聯合考慮了信道的空時兩維度相關性，借助于信道的時間相干性進行信道預測，進而設計了開環(huán)和閉環(huán)條件下的低開銷導頻和信道估計方案。文獻[12]挖掘信道空間相干性，以經典的信道估計均方誤差最小化為目標，對導頻信號進行優(yōu)化設計。文獻[13]則利用信道時間相關性和卡爾曼濾波器，并考慮低實現復雜度的有限射頻鏈路(Radio Frequency Chain, RF Chain)預編碼方案，設計了一種低開銷的周期性訓練序列發(fā)送方案。以上研究都考慮的是單用戶場景下的導頻設計，這是由于普通的多用戶場景下用戶的信道空時相關性各異，而基站發(fā)送的下行導頻是一致的，因此，無法使得單一導頻矩陣匹配所有用戶的信道特性。正如文獻[14]所述，針對FDD大規(guī)模MIMO系統(tǒng)多用戶普適場景下的導頻設計問題仍是一個開放性熱點問題，所以，現有的研究中多數是基于單用戶場景或者具有某種特性信道條件的多用戶場景。文獻[15]就是通過對具有相同信道空間相關陣的多個用戶進行分組，在特殊的多用戶場景下，提出一種基于塊迫零的兩級預編碼方案。通過假設組間用戶的協(xié)方差陣正交性，利用第一級預編碼進行組間干擾抑制，從而降低組內用戶的有效信道維度，從而減少可能的導頻開銷并簡化預編碼設計。然而，文獻[15]的重點在于兩級預編碼方案設計，而未給出相應的導頻優(yōu)化設計方案。

另外值得注意的是，上述針對FDD大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的導頻設計方案，仍是以信道估計的精確程度為準則，即信道估計均方誤差，由此來設計低開銷的導頻方案。然而，導頻信號除了影響信道估計精度外，還將間接的影響基站下行波束向量的設計和信道匹配問題，進而影響系統(tǒng)的傳輸速率。與此同時，導頻信號所消耗的時長資源影響著后續(xù)的有效數據發(fā)送時長，也就會對系統(tǒng)的有效傳輸速率產生作用。而傳輸速率是通信系統(tǒng)所關注的重要指標，也直接反應系統(tǒng)性能的好壞。因此，以系統(tǒng)有效傳輸速率作為準則來優(yōu)化設計導頻信號具有更實際的意義。而目前，尚未見到有針對FDD大規(guī)模MIMO中基于傳輸速率的導頻設計方案。

基于上述分析，本文著眼于單用戶FDD大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中的導頻信號設計問題。利用信道空間相關性，并結合信道估計和數據波束成型發(fā)送對導頻信號設計的影響，以系統(tǒng)下行遍歷可達速率為優(yōu)化目標，并考慮系統(tǒng)總功耗約束，來優(yōu)化設計導頻信號矩陣。由于優(yōu)化問題的代價函數無解析表達式，借助于確定性等價方法，推導得出精確地近似閉合表達式，從而顯式的描述遍歷速率與導頻信號的數學關系?；诖?，進一步推導出了最優(yōu)導頻信號的矩陣結構特征，從而將原優(yōu)化問題轉換為等價的導頻功率分配問題。再利用拉格朗日對偶法，獲得了最優(yōu)導頻信號的解析形式解。最后，通過數值仿真驗證了所提出的速率最大化導頻方案的有效性。

文中符號說明：(·)H表示矩陣的共軛轉置。Tr{·}表示矩陣的跡。{·}表示統(tǒng)計期望運算。diag{a}表示以向量a為主對角元素構成的對角陣。表示服從均值向量為n協(xié)方差陣為R的循環(huán)對稱復高斯隨機分布。|·|，‖·‖和‖·‖0分別表示模運算，Frobenius范數和0范數。R(i,j)表示矩陣R的第i行第j列元素。rank(R)表示矩陣R的秩。

2 系統(tǒng)模型

考慮如圖1所示的單用戶FDD大規(guī)模MIMO下行鏈路傳輸系統(tǒng)，其中，基站配置大規(guī)模天線陣列，且天線數為N?1，用戶配置單天線[10-12]。假設基站到用戶之間的信道滿足瑞利平坦衰落，且信道相干間隔(channel coherent interval)為Tc(以符號長度計)，即信道系數在Tc時長內保持準靜止，而在不同的相干間隔塊內獨立變化[11]。在FDD制式下，基站需要通過下行信道估計、上行信道信息反饋和數據波束成型三個過程來完成下行鏈路數據傳輸[11,16]。

圖1 FDD大規(guī)模MIMO下行鏈路系統(tǒng)Fig.1 FDD massive MIMO downlink system

yp=XHh+np

(1)

(2)

根據MMSE估計的正交性原理[18]，可將信道向量h分解為

(3)

用戶獲得CSI估計值后，將其通過上行信道反饋至基站處。由文獻[11]和文獻[15]可知，在反饋信道條件較好時，即反饋信道處于發(fā)高射信噪比時，由反饋量化等因素帶來的誤差相對于信道估計誤差是可忽略的。由于本文著眼于基站側的聯合信道估計與下行波束成型兩個階段對導頻設計的影響，此處考慮完美的反饋信道條件，即零延遲和零誤差反饋信道，從而忽略反饋階段造成的影響，由此，基站可獲得精確的信道估計向量值[11,16]。

(4)

其中，ρd表示有效數據符號的發(fā)射功率，s表示具有單位功率的有效數據符號，即表示波束成型向量，且滿足功率歸一化表示數據發(fā)送階段用戶端受到的復加性高斯白噪聲。

由于用戶無法獲知信道估計誤差，根據最差情況不相干加性噪聲理論[18]，根據式(4)可以得到用戶的接收信噪比為

(5)

(6)

(7)

顯然，式(7)右邊為標準的瑞利瑞茲比形式。利用文獻[21]中類似的方法，可以直接得到最優(yōu)波束成型向量與對應的最大接收信噪比分別為

(8)

(9)

由此，可以得到下行鏈路的遍歷可達速率為

R=

(10)

結合式(2)和式(10)可以看到，導頻信號不單影響信道估計精度性能，更直接影響著波束向量與信道的匹配程度以及由此對系統(tǒng)可達速率造成的影響。基于此，以系統(tǒng)可達速率為目標，并考慮發(fā)射功率約束，建立關于導頻信號的數學優(yōu)化模型，如下所示，

s.t. Tr(XXH)≤P

(11)

3 速率最大化導頻信號設計方法

3.1 遍歷速率解析表達式

對于式(10)中的遍歷速率表達式，其期望運算通常是非常困難的。然而，借助于大維隨機矩陣理論中的確定性等價方法[18]，可以獲得遍歷速率的一種精確近似閉合表達式，如引理1所述。

引理1 當基站采用式(8)中MRT波束成型向量進行下行數據發(fā)送時，用戶端的下行遍歷速率具有如下近似解析表達式，

(12)

證明過程參見附錄。

將式(12)代入式(11)中優(yōu)化問題目標函數，可以得到近似等價的優(yōu)化問題，如下所示

s.t. Tr(XXH)≤P

(13)

3.2 導頻優(yōu)化算法設計

由于優(yōu)化問題(13)中變量為矩陣，且函數形式較為復雜，不便于判斷凹凸性，因而，無法直接利用標準的凸優(yōu)化方法進行求解。然而，根據主導理論[22]，可首先推導得出最優(yōu)導頻信號所有的矩陣結構，如定理1所述。

定理1 若優(yōu)化問題(13)存在最優(yōu)解Xopt，則該最優(yōu)解具有如下形式，

Xopt=UQ

(14)

證明：將Ω=UΛUH代入式(13)中的目標函數并化簡，可以得到

(15)

(16)

(17)

由于矩陣Z是對角陣，且其對角元素降序排列。當且僅當矩陣V為對角陣，且其對角線元素的順序與矩陣Z對角陣元素順序相反時，即V對角線元素為升序排列，才能達到式(17)的上界[22]。因為S為對角陣，且對角線元素升序排列。因此，D=UHXXHU必是對角陣，且其對角線元素為降序排列。又因為rank(D)≤m，由此可得D具有如下形式，

(18)

對D進行平方根運算，并構造矩陣Q如下所示，

(19)

由此可以得到，

X=UQ

(20)

證畢。

進一步，利用定理1中導頻結構特性，并進行變量替換，可將優(yōu)化問題(13)中的導頻信號設計問題等價轉化為導頻序列的功率分配問題，如下所示，

(21)

根據文獻[23]中關于函數凹凸性的定義，容易驗證(21)中目標函數關于變量q是凹的，且當約束條件取等號時使得目標函數達到最大值。因此，可利用拉格朗日對偶法求解該問題。由式(21)中目標函數可得拉格朗日對偶函數為

(22)

其中，μ為非負的拉格朗日乘子，對應于發(fā)射功率約束項。

(23)

(24)

(25)

進一步化簡式(25)可以得到，

(26)

將式(26)代入式(23)的右側等式，合并化簡后可以得到

(27)

再根據二次方程的求根公式可以直接得到方程(27)的解為

(28)

(29)

同時，在進行導頻序列功率分配后，其最終使用的導頻序列長度應為‖q‖0，比預設的導頻序列長度可能會縮短，即‖q‖0≤K。這主要是因為導頻信號所使用的功率受制于系統(tǒng)的總功率約束。而從式(29)中也可以看到，在某些情況下，某些信道子特征方向上分配的導頻序列上功率值可能為0。然而，通常情況下，只有通過導頻功率分配后才能得到‖q‖0。另一方面，盡管無法預先獲知‖q‖0的值，但是，結合定理1推導過程及式(19)和式(20)可以發(fā)現，滿足優(yōu)化問題(13)中的導頻序列的最大長度(即Xopt的列維度)應是小于等于N的。換句話說，在進行導頻長度預設時，只需設定K≤N即可。從物理意義上來講，由于下行信道向量存在于N個信道特征子方向構成的特征子空間，因此，其所需要的導頻序列長度只需要對準這N個子特征方向進行即可，而無需使用更長的導頻序列。

最終，根據經典功率注水算法[23]，可以得到基于速率最大化的導頻信號設計算法的具體流程如下：

步驟1 初始化：計數變量n=1;

步驟2 Repeat;

步驟5 IFqm-n+1<0;

步驟6qm-n+1=0；

步驟7n=n+1；

步驟8 ENDIF;

步驟9 Untilql≥0,?l。

4 仿真結果與分析

本節(jié)將給出不同系統(tǒng)參數設置下，基于遍歷速率最大化的導頻方案的傳輸性能情況。為便于仿真并不失一般性，對系統(tǒng)參數做如下假設：基站到用戶的大尺度衰落因子歸一化為1，信道估計階段與數據傳輸階段的加性高斯白噪聲功率歸一化為1 W，信道相干間隔Tc=40，預設導頻序列長度K=10。對于信道相關矩陣Ω，此處采用滿足均勻線性天線陣列特性的指數衰減型模型，即Ω(i,j)=r|i-j|，(i,j=1,…,N)，其中，r∈(0,1)稱為信道空間相關性系數，用來表示信道的空間相關性強弱[16,24]，即信道相關性越強，r的取值越大，反正，r的取值越小。為了便于對比，給出兩種常用準則下的資源分配算法：為了便于比較，以文獻[17]中基于最小化MSE的導頻方案和文獻[16]中的等功率分配正交導頻方案為基準，進行性能比較。

圖2通過蒙特卡洛數值仿真驗證了本文引理1中給出的遍歷速率解析表達式的近似程度與精確性。由于引理2中涉及的導頻信號是任意形式的信號矩陣，為了便于仿真，此處采用大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中常用的列正交等功率導頻矩陣，且蒙特卡洛數值結果是由5000次獨立信道生成后取平均得到。從圖中可以看到，隨著天線數的增加，遍歷速率解析表達式所得到的近似值將越來越逼近于真實值，這表明采用該閉合表達式設計導頻信號具有有效性和精確性。

圖3給出了三種導頻方案下信道估計的歸一化均方誤差性能。首先，在不同的信道相關性條件下，基于MSE最小化的導頻方案所獲得信道估計性能始終是最好的，基于等功率分配正交導頻的方案性能居中，且其與MSE最小化導頻方案的性能差異相對較小，特別是在總功率較大時，二者幾乎重合，與文獻[17]中的結論一致。這是由于高發(fā)射功率區(qū)間，最小化MSE導頻方案就趨近于等功率分配。而本文所提出的導頻方案則在信道估計精度方面略差，特別是在強相關信道條件下，性能損失較為嚴重。其次，進一步觀察可以發(fā)現，在弱相關信道條件下，三種導頻方案的信道估計MSE性能差異很小，并且整體的信道估計精度相對于強相關信道條件下都大為降低。這主要是由于弱相關信道條件下，信道各個特征子方向上的強度趨于相同，想獲得好的精度則需要更長的導頻序列對準到各個特征子方向上。相對于強相關信道而言，在有限的導頻長度和總功率約束下，其所能獲得信道估計精度就會受到較大影響。最后，隨著總功率的增加，三種導頻方案的信道估計精度都變得越來越好，并且在高信噪比時，三種方案的MSE性能達到一致。

圖3 不同導頻方案下的歸一化均方誤差性能對比(N=100,ρd=10 dB)Fig.3 Comparison of normalize mean square error (NMSE) performance with different pilot schemes (N=100,ρd=10 dB)

圖4描述了三種導頻方案的下行遍歷可達速率隨總功率約束的變化趨勢對比。從圖中可以看出，本文所提出的導頻方案具有最優(yōu)的性能，特別是在強相關信道下以及總功率處于中低值區(qū)間時，本文所提方案的遍歷速率的優(yōu)勢更加明顯。然而，對比圖3會發(fā)現，在強相關信道條件下，本文所提導頻方案的信道估計精度卻遠差于其他兩種導頻方案。本文所提方案在由較差的信道估計值條件下，卻帶來了較好的可達速率性能，而這主要歸功于本文所提方案在導頻序列功率分配上的特性以及實際的導頻序列占用長度。具體在于：強相關信道下，信道增益主要分布在少數幾個強特征方向上，即若干少量的特征值占據了整個信道增益的較大比例。因此，在本文所提的導頻方案中，給出的導頻序列功率主要集中在少量的特征方向上，并且使用了較少的導頻序列長度，也正是如此，使得一個相干間隔內有更多的符號用于發(fā)送有效數據。結合圖5與圖6可以清晰看到，在總功率P=-10 dB和0 dB時，本文所提方案中的導頻序列長度分別為1和2，而此時MSE最小化的導頻方案卻使用了長度為4和9的導頻序列。值得注意的是，隨著信道相關性的減弱，三種導頻方案下的遍歷可達速率絕對值均有所下降，這主要是由于有限的導頻序列長度和總功率約束，使得三種導頻方案獲得的信道精度均大為下降，也削弱了本文所提導頻方案在可達速率方面的性能增益。綜上所述，本文所提方案以較少的信道估計精度損失，帶來了較好的遍歷可達速率增益，具有更好的使用價值，特別是在強相關信道下具有更強的應用場景。

圖4 不同導頻方案下的下行遍歷可達速率性能對比(N=100,ρd=10 dB)Fig.4 Comparison of downlink ergodic achievable rate performance with different pilot schemes (N=100,ρd=10 dB)

圖5 總功率約束P=-10 dB時，導頻序列對應于信道特征子方向上的功率分配(N=100,ρd=10 dB)Fig.5 Power allocation for different channel eigen-directions with total power constraint P=-10 dB (N=100,ρd=10 dB)

圖6 總功率約束P=0 dB時，導頻序列對應于信道特征子方向上的功率分配(N=100,ρd=10 dB)Fig.6 Power allocation for different channel eigen-directions with total power constraint P=0 dB (N=100,ρd=10 dB)

圖5至圖8展示了不同總功率約束條件下，導頻序列對應在不同的信道特征子方向分配的功率值。從圖中可以看到，兩種導頻方案均是在信道的強特征子方向上分配更多的功率，而弱信道特征方向上分配較少甚至為零功率。然而，所不同的是，本文所提出的導頻方案，在總功率較小時，會使用更少的導頻序列長度，而將功率盡可能多的分在強特征方向上。特別是在圖5中，本文所提導頻方案僅使用了一個導頻序列符號，并且將功率全部分配于該方向上，主要是為了在波束成型階段將功率匹配到最強的信道特征方向上，從而可以獲得更好地波束成型增益。盡管這樣做會對信道估計精度帶來一定影響，但是，從另一個角度來看，在一個信道相干間隔Tc內，導頻長度的減小則意味著留出了更多的時長資源用于發(fā)送有效數據，從而對整個系統(tǒng)的有效數據傳輸速率是有益的。隨著總功率約束的增加，可以看到，基于MSE最小化的導頻方案則趨于等功率分配，而本文所提導頻方案則始終呈現出明顯的階差功率分配特性。同時，兩種導頻方案隨著總功率約束的增加，可使用的導頻序列長度也在逐漸增加。但是，本文所提方案中，導頻序列的實際使用長度隨著總功率約束呈現緩慢增加的趨勢，而MSE最小化準則下的導頻方案，則是將有限的功率分配在盡可能多的導頻長度上。由此說明，不同的導頻設計方案下，導頻序列長度與實際系統(tǒng)的總功率有著迥異的關系。

圖7 總功率約束P=10 dB時，導頻序列對應于信道特征子方向上的功率分配(N=100,ρd=10 dB)Fig.7 Power allocation for different channel eigen-directions with total power constraint P=10 dB (N=100,ρd=10 dB)

圖8 總功率約束P=20 dB時，導頻序列對應于信道特征子方向上的功率分配(N=100,ρd=10 dB)Fig.8 Power allocation for different channel eigen-directions with total power constraint P=20 dB (N=100,ρd=10 dB)

5 結論

本文針對FDD大規(guī)模MIMO系統(tǒng)，聯合考慮信道空間相關性、信道估計進行以及下行波束成型方案對導頻信號設計過程中的影響，提出了一種以下行遍歷可達速率最大化為目標、以系統(tǒng)總功耗為約束的導頻信號優(yōu)化方法。由于原始優(yōu)化問題的代價函數無精確解析形式，無法顯示的表達遍歷速率與導頻矩陣變量的關系，根據確定性等價原理推導得出了遍歷速率的閉合形式表達式，從而定量的描述遍歷速率與導頻矩陣的數學關系?；诖耍ㄟ^主導理論，推導出了最優(yōu)導頻信號的矩陣結構特征，即列正交特性。該結構特性與基于最小均方誤差最小化的導頻方案具有類似的結構特性，也就是將導頻序列對準信道子特征方向。進而，利用該導頻的結構特性，將原優(yōu)化問題轉換為關于導頻序列的功率分配凹問題，再利用拉格朗日對偶法，得到了最優(yōu)導頻信號的解析解。從該最優(yōu)解表達式可以看到，所提出的導頻功率分配具有多級水平線注水特點，即針對不同強度的信道特征子方向，劃定不同的注水線。數值仿真結果首先驗證了遍歷速率閉合表達式與理論值的近似逼近程度，進而與基于最小均方誤差準則導頻方案和等功率正交導頻方案進行了性能比較，分析了其性能增益的主要原因。

附錄

引理1證明

由于用到大維矩陣理論中的漸進性分析，根據文獻[18]和文獻[24]所述，假設信道相關陣Ω具有一致有界譜范數。進而，根據文獻[25]引理1(或文獻[18]引理4)，可以得到接收信噪比的確定性等價近似量為

(30)

(31)

進而，利用主導收斂和連續(xù)映射理論[18]，可以得到式(10)中下行遍歷可達速率的確定性等價近似值為

(32)

證畢。