李星星 向 龍 熊智敏 王黨衛(wèi) 馬曉巖

(空軍預(yù)警學(xué)院, 湖北武漢 430019)

1 引言

2006年,P.Antonik等學(xué)者首次提出了頻率分集陣列(Frequency Diversity Array,FDA)雷達(dá)的概念[1],國(guó)內(nèi)也稱之為頻控陣?yán)走_(dá)[2],其可通過(guò)陣元間附加小的頻偏控制實(shí)現(xiàn)距離-角度依賴波束。受益于這種獨(dú)特波束,FDA雷達(dá)較傳統(tǒng)相控陣和多輸入多輸出(Multiple Input Multiple Output,MIMO)雷達(dá)在波束綜合[3- 8],高分辨成像[9-10],目標(biāo)定位[11-14],距離模糊雜波和干擾抑制[15-16]等方面提供了更優(yōu)的性能。

自適應(yīng)波束形成作為該雷達(dá)研究中的難點(diǎn)問(wèn)題,一直受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注[17-19]。為降低波束域距離-角度耦合,文獻(xiàn)[16]將FDA和MIMO技術(shù)結(jié)合起來(lái)并稱之為FDA-MIMO雷達(dá),該體制能同時(shí)利用FDA的距離波束特性和MIMO雷達(dá)的收發(fā)分集特性。文獻(xiàn)[17]研究了基于MVDR的頻率分集MIMO相控陣?yán)走_(dá)距離依賴波束形成,理論上證明了該體制雷達(dá)較傳統(tǒng)MIMO和相控陣?yán)走_(dá)具有更優(yōu)的波束性能;文獻(xiàn)[18]分析了FDA-MIMO雷達(dá)頻率增量誤差對(duì)波束性能的影響,文獻(xiàn)[15]對(duì)FDA-MIMO雷達(dá)距離欺騙干擾抑制問(wèn)題進(jìn)行了研究,且將最差性能最優(yōu)波束形成算法擴(kuò)展到該體制;而文獻(xiàn)[19]則進(jìn)一步將線陣FDA波束形成理論擴(kuò)展到面陣并分析了其常規(guī)波束形成性能。雖然上述成果對(duì)FDA-MIMO雷達(dá)波束形成進(jìn)行了較為深入的研究,但只考慮了回波數(shù)據(jù)包含信號(hào)的情況,并沒(méi)有研究如何抑制目標(biāo)到達(dá)角、陣列位置、幅相等誤差對(duì)輸出SINR帶來(lái)的不利影響,而且對(duì)于如何解決距離波束柵瓣引起的周期性輸出信干噪比(SINR)損失問(wèn)題亦未深入。

為了提高頻率分集雷達(dá)體制自適應(yīng)波束形成的穩(wěn)健性,本文在文獻(xiàn)[15]和文獻(xiàn)[19]的基礎(chǔ)上,提出了一種頻分子孔徑MIMO雷達(dá)(Frequency Diverse Subaperturing MIMO,FDS-MIMO)陣列結(jié)構(gòu),并對(duì)該體制的自適應(yīng)波束形成進(jìn)行了深入研究。不同于已有成果,本文所采用的面陣頻率分集陣列全維處理面臨高維度和高計(jì)算復(fù)雜度問(wèn)題,為此,本文基于所建立的信號(hào)模型,理論導(dǎo)出了基于等效載頻的權(quán)向量分解解析解,提出了一種分解迭代的穩(wěn)健波束形成新算法,通過(guò)將全維加權(quán)向量估計(jì)轉(zhuǎn)化為一個(gè)循環(huán)迭代的降維權(quán)向量估計(jì)問(wèn)題,有效提高了波束形成算法的運(yùn)算效率和魯棒性。同時(shí),通過(guò)子孔徑陣列間采用互質(zhì)頻偏實(shí)現(xiàn)了距離柵瓣的抑制,有效降低了傳統(tǒng)方法存在的周期性輸出SINR損失問(wèn)題。

2 FDS-MIMO雷達(dá)信號(hào)模型

(1)

dmn(θ,φ)=Crr′mnar=(m-1)dxcosθcosφ+

(2)

其中,目標(biāo)坐標(biāo)系中雷達(dá)視線歸一化方向矢量ar=r/r=(cosθcosφ, cosθsinφ, sinθ)T,而轉(zhuǎn)換矩陣為

(3)

從而子陣(p,q)的陣內(nèi)發(fā)射流形矢量可以寫成

apq(θ,φ)=[ap(θ,φ)°aq(θ,φ)]

(4)

Apq(θ,φ)=

(5)

其中,fpq表示子陣(p,q)的發(fā)射載頻,可以表示為

p=1,2,…,P;q=1,2,…,Q

(6)

假設(shè)子陣(p,q)發(fā)射的信號(hào)為

(7)

(8)

圖1 FDS-MIMO雷達(dá)陣列結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Basic geometry of the FDS-MIMO radar

其中,τ表示任意時(shí)延。在點(diǎn)目標(biāo)的假設(shè)下,所有子陣發(fā)射信號(hào)和可建模如下

(9)

其中,wpq是子陣(p,q)的加權(quán)向量。假設(shè)所有的子陣波束都指向(θ,φ),則非自適應(yīng)波束形成權(quán)向量可以表示為

wpq=apq(θ,φ)/‖apq(θ,φ)‖F(xiàn)

(10)

因此(9)可以簡(jiǎn)化為

(11)

則第(m′,n′)個(gè)天線接收到的信號(hào)可以表示為

exp(j2πfpq(t-(τ0-τm′n′)))

(12)

其中,τ0=2r/c表示參考點(diǎn)與目標(biāo)之間的雙程時(shí)延,c表示光速,α是目標(biāo)的散射系數(shù),τm′n′=dmn(θ,φ)/c表示參考點(diǎn)和陣元(m′,n′)之間的傳播時(shí)延。利用波形φm′n′(t)exp(j2πfm′n′t)對(duì)xm′n′(t)進(jìn)行正交匹配濾波[7,15],可得第(m′,n′)個(gè)陣元的第(p,q)個(gè)通道的輸出為

α·exp(j2πfpq(τm′n′-τ0))Apq(θ,φ,fpq)=

α′·Bm′n′(θ,φ)Apq(θ,φ,fpq)Rpq(r)

(13)

X0=α′·U(θ,φ,r)

(14)

y=α′·νec[U(θ,φ,r)]

(15)

為簡(jiǎn)潔起見(jiàn),記u(θ,φ,r)=νec[U(θ,φ,r)],假設(shè)遠(yuǎn)場(chǎng)存在一個(gè)期望信號(hào)和J個(gè)非相干干擾,接收的回波信號(hào)為

(16)

其中,α′0和α′j分別為目標(biāo)和干擾的散射系數(shù),n是與信號(hào)和干擾不相關(guān)的噪聲。

3 提出的FDS-MIMO雷達(dá)分解迭代穩(wěn)健波束形成算法

3.1 基于不確定集的穩(wěn)健波束形成算法

最壞情況下性能最優(yōu)算法(Worst-Case)是一種常用的波束形成算法,其通過(guò)定義導(dǎo)向矢量的不確定集和優(yōu)化最壞情況下的性能來(lái)確定最優(yōu)對(duì)角加載因子[20]。文獻(xiàn)[15]將該方法擴(kuò)展到FDA-MIMO雷達(dá),其核心思想也是假定真實(shí)的導(dǎo)向矢量位于一個(gè)不確定的橢圓集內(nèi),并基于最差情況下的波束輸出SINR最高為準(zhǔn)則求解導(dǎo)向矢量,即

(17)

s.t.wHud(θ0,φ0,r0)≥ε‖w‖+1

Im{wHud(θ0,φ0,r0)}=0

(18)

其中,權(quán)向量w可利用內(nèi)點(diǎn)法求解。然而,由式(16)可知,本文FDS-MIMO雷達(dá)的權(quán)向量w維數(shù)很高,利用式(18)求解必然導(dǎo)致全維處理的計(jì)算復(fù)雜度高和快拍數(shù)需求大等問(wèn)題[21]。

3.2 FDS-MIMO雷達(dá)權(quán)向量分解

Δpq=2π(fb-fpq)τm′n′

(19)

其最大值為

(20)

更進(jìn)一步,根據(jù)文獻(xiàn)[22]的邊界條件,max(Δpq)≤π/4=0.785時(shí)對(duì)系統(tǒng)性能的影響可忽略。

圖2 三種頻偏下不同陣列維數(shù)最大相位誤差曲線Fig.2 The maximal phase error versus array dimension under three kinds of frequency offsets

Bm′n′(θ,φ)≈exp(j2πfb((m′-1)d21(θ,φ)+

(n′-1)d12(θ,φ))/c)

(21)

同理,可得發(fā)射陣間導(dǎo)向矢量的第(p,q)個(gè)元素Apq(θ,φ)可表示為

Apq(θ,φ)≈

(22)

為方便后續(xù)分析,定義輔助向量F(γ,P)=[1,exp(jγ),…,exp(j(P-1)γ)]T,從而可得

FT(2πfbKxd21(θ,φ)/c,P)

(23)

B(θ,φ)=F(2πfbd12(θ,φ)/c,N)·

FT(2πfbd21(θ,φ)/c,M)

(24)

(25)

相應(yīng)地,發(fā)射流形矢量可以表示為

AR(r,θ,φ)=R(r)⊙A(θ,φ)

F(-4πrΔfx/c+2πfbKxd21(θ,φ)/c,P)T

(26)

其中,⊙表示Hadamard乘積。從上式可知發(fā)射流形矢量不僅是角度依賴的,同時(shí)也是距離依賴的。對(duì)其按列進(jìn)行拉直操作有

ar(r,θ,φ)=

F(-4πrΔfx/c+2πfbKxd21(θ,φ)/c,P)?

(27)

其中,?表示kronecker乘積,而將B(θ,φ)按列拉直操作則有

b(θ,φ)=νec[B(θ,φ)]=F(2πfbd21(θ,φ)/c,M)?

F(2πfbd12(θ,φ)/c,N)

(28)

于是陣列的發(fā)射-接收聯(lián)合流行矢量可以寫成如下的kronecker積形式

u(θ,φ,r)=F(-4πrΔfx/c+2πfbKxd21(θ,φ)/c,P)?

F(2πfbd21(θ,φ)/c,M)?F(2πfbd12(θ,φ)/c,N)

(29)

為表示方便,記u(θ,φ,r)=ap?aq?am?an。根據(jù)導(dǎo)向矢量u(θ,φ,r)的可分解性,權(quán)向量w也可以進(jìn)行分解[23-24],于是全維權(quán)向量w可以表示為4個(gè)低維權(quán)向量的kronecker積形式

w=wp?wq?wm?wn=

(Ip?wq?wm?wn)wp=

(wp?Ip?wm?wn)wq=

(wp?wq?Ip?wn)wm=

(wp?wq?wm?Ip)wn

(30)

將上式代入式(18)可得對(duì)應(yīng)的代價(jià)函數(shù)為

s.t. (wp?wq?wm?wn)Hu≥

ε‖wp‖‖wq‖‖wm‖‖wn‖+1

Im{(wp?wq?wm?wn)Hu}=0

(31)

3.3 FDS-MIMO雷達(dá)分解迭代穩(wěn)健波束形成算法

雖然優(yōu)化問(wèn)題(31)是一個(gè)多元二次代價(jià)函數(shù),難以直接求解,但如果固定其中三個(gè)變量,就可以轉(zhuǎn)化為二次凸優(yōu)化問(wèn)題,此外易知4個(gè)低維權(quán)向量之間存在尺度模糊,為了不損失輸出SINR的情況下消除這一模糊,可進(jìn)行歸一化處理,即‖wq‖=‖wm‖=‖wn‖=1。下面基于循環(huán)迭代的思想[25]求解式(31),若假定wq,wm和wn已知且范數(shù)為1,則根據(jù)式(30)和(31)可得如下關(guān)于wp的代價(jià)函數(shù)

(32)

ε‖wp‖‖wq‖+1

(33)

ε‖wp‖‖wm‖+1

(34)

ε‖wp‖‖wn‖+1

(35)

1)給定初始值wq(0),wm(0)和wn(0)并進(jìn)行歸一化使其范數(shù)為1;

2)將wq(i-1),wm(i-1)和wn(i-1)代入式(32)求解wp(i)(i=1,2,…);

3)將wp(i),wm(i-1)和wn(i-1)代入式(33)得到wq(i);

4)將wp(i),wq(i)和wn(i-1)代入式(34)計(jì)算wm(i);

5)將wp(i),wq(i)和wm(i)代入式(35)計(jì)算wn(i);

6)其中,步驟3)～5)求得的權(quán)向量要進(jìn)行范數(shù)歸一化處理,重復(fù)步驟2)～5),直到max{‖wq(i)-wq(i-1)‖,‖wm(i)-wm(i-1)‖,‖wn(i)-wn(i-1)‖}≤δ(0<δ?1)迭代結(jié)束,此時(shí)的權(quán)向量估計(jì)為w=wp(i-1)?wq(i-1)?wm(i-1)?wn(i-1)。

3.4 提出方法性能分析與討論

本節(jié)從兩個(gè)方面討論所提算法的性能。

(1)樣本需要量和計(jì)算復(fù)雜度:由上述分析可知本文方法分別需要估計(jì)Mi×Mi,i=P,Q,M,N的4個(gè)協(xié)方差矩陣,由此可知所提算法的訓(xùn)練樣本只需不小于max{P,Q,M,N}。全維Worse-Case算法需要估計(jì)的協(xié)方差矩陣為C×C(C=PQMN)維,由于采用了系統(tǒng)的全部自由度,樣本數(shù)大于等于C時(shí)才能保證內(nèi)點(diǎn)法正常工作。用內(nèi)點(diǎn)法求解時(shí),Worst-Case算法的計(jì)算復(fù)雜度為O(BP3Q3M3N3),其中B為迭代次數(shù),一般需要10次左右[20],而本文算法求解4個(gè)低維的凸優(yōu)化問(wèn)題的運(yùn)算量為O(B(P3+Q3+M3+N3)),其分解迭代次數(shù)一般為4～5次,可以看出到本文方法的運(yùn)算量O(5B(P3+Q3+M3+N3))?O(BP3Q3M3N3),因此與Worst-Case算法相比,本文方法的計(jì)算復(fù)雜度和訓(xùn)練樣本需求都明顯降低。

(2)SINR損失分析:當(dāng)干擾源離目標(biāo)很近時(shí)將會(huì)導(dǎo)致干擾抑制性能的損失,文獻(xiàn)[15]定義了SINR損失來(lái)衡量,其定義為

(36)

(37)

(38)

rj-r0=Px·c/(2NxΔf)

(39)

(40)

(41)

4 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文所提算法的有效性,設(shè)FDS-MIMO雷達(dá)包含M×N=6×6個(gè)天線單元并劃分為P×Q=3×3個(gè)子陣,傾斜角β=10°,載頻fc=300 MHz,天線間距為半波長(zhǎng),基礎(chǔ)頻偏Δf=3 kHz,迭代停止門限δ=0.01。噪聲建模為復(fù)高斯白噪聲,目標(biāo)位于{10°, 50°, 30 km},其散射系數(shù)服從Swerling-II模型[26]。同時(shí),為了對(duì)比分析本文方法的性能,仿真實(shí)驗(yàn)添加了3種算法進(jìn)行對(duì)比,分別是采樣求逆算法(SMI);對(duì)角加載算法(LSMI),其加載量為噪聲功率的10倍;以及文獻(xiàn)[15]中采用的Worst-Cases算法。

仿真 1 導(dǎo)向矢量精確已知

圖3 SINR損失隨干擾距離變化曲線Fig.3 SINR loss versus the range of interference

仿真 2 導(dǎo)向矢量距離角度失配

仿真 3 導(dǎo)向矢量隨機(jī)失配

本試驗(yàn)在仿真2的基礎(chǔ)上,考察導(dǎo)向矢量隨機(jī)誤差對(duì)算法性能的影響。設(shè)隨機(jī)導(dǎo)向矢量誤差服從零均值,方差為0.01的高斯分布,其他參數(shù)與仿真2一致。圖5給出了導(dǎo)向矢量隨機(jī)失配情況下各算法性能對(duì)比曲線,其中圖5(a)中采用的快拍數(shù)為648,圖5(b) SNR為5 dB。對(duì)比圖4(a)和圖5(a)可以看出在隨機(jī)導(dǎo)向誤差情況下Worst-Case算法受隨機(jī)誤差影響較大,性能有較大下降,而本文方法性能基本保持不變,其原因在于當(dāng)導(dǎo)向矢量存在隨機(jī)誤差時(shí),ε不再是最佳的球形不確定集值,特別是當(dāng)ε小于實(shí)際的最佳值時(shí),Worst-Case算法性能會(huì)明顯下降,而本文的迭代算法能夠通過(guò)迭代逐步收斂到真實(shí)的導(dǎo)向矢量,這也是本文算法抗隨機(jī)誤差更加穩(wěn)健一個(gè)原因。此外,對(duì)比圖4(b)和圖5(b)可以看出在隨機(jī)誤差情況下,本文算法性能幾乎不受影響,且明顯優(yōu)于其他3種方法,進(jìn)一步證實(shí)了本文提出算法的穩(wěn)健性。

圖4 導(dǎo)向矢量距離角度失配情況下各算法性能對(duì)比Fig.4 Algorithms performance comparison under the steerig vector mismatch in range and angle

圖5 導(dǎo)向矢量隨機(jī)失配情況下各算法性能對(duì)比Fig.5 Algorithms performance comparison under the random steerig vector mismatch

5 結(jié)論

針對(duì)頻分MIMO雷達(dá)穩(wěn)健波束形成問(wèn)題,本文建立了米波頻分子孔徑MIMO雷達(dá)信號(hào)模型,理論導(dǎo)出了其導(dǎo)向矢量分解的解析表達(dá)式,并進(jìn)一步提出了一種分解迭代穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法。研究表明,通過(guò)將原始的全維問(wèn)題轉(zhuǎn)化為低維權(quán)向量的估計(jì)問(wèn)題,較大的提高了計(jì)算效率。同時(shí),本文算法能夠有效抑制距離柵瓣帶來(lái)的周期性SINR損失問(wèn)題,且在導(dǎo)向矢量失配時(shí)較之傳統(tǒng)全維算法具有更高更穩(wěn)健的輸出SINR。