孫 文 高 林 魏 平 廖紅舒

(電子科技大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，四川成都 611731)

1 引言

多站雷達(dá)中一般能夠獲取到的量測(cè)信息有：到達(dá)時(shí)間(Time of Arrival, TOA)[1-3]、接收信號(hào)強(qiáng)度、到達(dá)時(shí)間差(Time Difference of Arrival, TDOA)[4- 6]、到達(dá)頻率差(Frequency Difference of Arrival, FDOA)[7- 8]等。它們可以單獨(dú)或聯(lián)合起來(lái)用于目標(biāo)定位及跟蹤。本文著眼于僅使用TOA信息完成目標(biāo)跟蹤。在之前的研究中，文獻(xiàn)[9]使用基于區(qū)間分析的算法對(duì)唯距離信息進(jìn)行處理從而完成單目標(biāo)跟蹤，文獻(xiàn)[10]考慮了雜波情況下的唯距離多目標(biāo)跟蹤問(wèn)題，其跟蹤算法建立在卡爾曼濾波之上，對(duì)非線性量測(cè)方程跟蹤性能較差，文獻(xiàn)[11]使用TOA以及多普勒信息聯(lián)合完成多目標(biāo)跟蹤，取得了較好的效果。

當(dāng)前的某雷達(dá)發(fā)射器采用了多普勒容錯(cuò)波形，如線性調(diào)頻(LFM)信號(hào)，以提高目標(biāo)檢測(cè)的魯棒性，但是利用這類波形獲取TOA信息時(shí)會(huì)引入了一些額外的偏差，即距離-多普勒耦合(Range-Doppler Coupling， RDC-TOA)[12]。在這種情況下，使用基于卡爾曼濾波器的跟蹤算法性能下降十分嚴(yán)重。文獻(xiàn)[13]研究了距離-多普勒耦合情況下的單目標(biāo)跟蹤問(wèn)題，但作者僅將目標(biāo)建模至一維情況下(即目標(biāo)狀態(tài)為距離，距離變化率)。此外，文獻(xiàn)[14]給出了距離-多普勒耦合情況下目標(biāo)跟蹤的概率克拉美-羅界(PCRLB)，文獻(xiàn)[15]研究了距離-多普勒耦合情況下單目標(biāo)起始及跟蹤算法。以上算法均建立在理想跟蹤環(huán)境下，即單目標(biāo)，無(wú)雜波。而對(duì)于存在雜波的多目標(biāo)環(huán)境下的多普勒耦合TOA跟蹤則未見(jiàn)報(bào)道。此外，由于監(jiān)測(cè)環(huán)境內(nèi)隨時(shí)可能有目標(biāo)進(jìn)入或者消亡，目標(biāo)數(shù)量在各量測(cè)時(shí)刻間可能發(fā)生變化[16]。因此，多目標(biāo)跟蹤問(wèn)題應(yīng)同時(shí)考慮動(dòng)態(tài)估計(jì)目標(biāo)數(shù)量以及各目標(biāo)狀態(tài)。

經(jīng)典的雜波情況下多目標(biāo)跟蹤方法有聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法(JPDA)[17]以及概率假設(shè)密度(MHT)[18]等，其中，JPDA算法要求已知目標(biāo)數(shù)量，在做狀態(tài)估計(jì)之前通過(guò)關(guān)聯(lián)的方式將目標(biāo)狀態(tài)與量測(cè)信息對(duì)應(yīng)起來(lái)，耗費(fèi)較多時(shí)間。MHT算法可起始和刪除航跡，但它需要在每一時(shí)刻列舉量測(cè)的所有來(lái)源，計(jì)算量很大。最近，Mahler提出基于隨機(jī)有限集(RFS)[16]進(jìn)行貝葉斯框架下目標(biāo)跟蹤，可動(dòng)態(tài)估計(jì)目標(biāo)數(shù)量，受到廣泛關(guān)注。但是，最優(yōu)的RFS目標(biāo)跟蹤算法沒(méi)有解析解，需要進(jìn)行矩近似。成功的近似方法包括概率假設(shè)密度(PHD)[16]、勢(shì)概率假設(shè)密度(CPHD)[19]算法，將隨機(jī)有限集的狀態(tài)空間從高維度降至單目標(biāo)空間，大大降低了計(jì)算量，但PHD、CPHD算法本身也不具備解析解。它們的近似方法一般有高斯混合[20]以及粒子濾波[21]。其中，由于粒子濾波近似法能夠更好的處理非線性問(wèn)題，因而其成為最近使用最為廣泛的跟蹤算法。但它有兩個(gè)較為嚴(yán)重的問(wèn)題，一個(gè)由于粒子濾波自身引入，即粒子貧瘠問(wèn)題[22]；另一個(gè)則是在算法進(jìn)行目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)時(shí)需要進(jìn)行聚類，當(dāng)目標(biāo)數(shù)量估計(jì)有誤時(shí)，提取出的狀態(tài)與真實(shí)狀態(tài)相距甚遠(yuǎn)。RFS跟蹤方法的另一種近似算法為多伯努利濾波器(MeMBer)[23]跟蹤，它通過(guò)維持多個(gè)伯努利項(xiàng)，在狀態(tài)估計(jì)時(shí)無(wú)需使用聚類算法，提取精度較高。

本文主要為解決只使用RDC-TOA信息做多目標(biāo)跟蹤時(shí)面臨的問(wèn)題。首先，本文將文獻(xiàn)[13,15]中的場(chǎng)景擴(kuò)展至更符合實(shí)際的含雜波環(huán)境的被動(dòng)聲吶系統(tǒng)多目標(biāo)跟蹤場(chǎng)景。此外，本文引入最近提出的基于RFS的多傳感器多伯努利算法解決本文建立的場(chǎng)景，介紹了三種基于RFS的多傳感器多目標(biāo)跟蹤框架。在此基礎(chǔ)之上，本文分析了RDC-TOA信息的可觀性，理論上得出了僅使用RDC-TOA信息做目標(biāo)跟蹤時(shí)需要的最少傳感器數(shù)量。最后，基于仿真結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所提結(jié)論。

2 問(wèn)題描述

2.1 理想條件下的跟蹤模型

(1)

xm(k+1)=Fxm(k)+Γν(k)

(2)

其中F表示目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模型，常見(jiàn)的有勻速運(yùn)動(dòng)、轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)及勻加速運(yùn)動(dòng)等。ν(k)表示高斯白噪聲，Γ表示噪聲功率。

假定所有雷達(dá)所有接收站能夠被精確同步，第i個(gè)傳感器中源于目標(biāo)m的量測(cè)為：

(3)

(4)

(5)

式中，κ代表距離-多普勒耦合因子。若發(fā)射站使用LFM信號(hào)，其脈寬為Tp，信號(hào)起始頻率為f1，終止頻率為f2，則：

(6)

2.2 本文使用的跟蹤模型

實(shí)際環(huán)境中，由于目標(biāo)可隨時(shí)進(jìn)入或運(yùn)動(dòng)出監(jiān)測(cè)區(qū)域，第k+1次采樣時(shí)的目標(biāo)數(shù)量相對(duì)于k次采樣時(shí)可能發(fā)生變化，則目標(biāo)狀態(tài)應(yīng)被建模為：

Xk+1=C(Xk)∪B(Xk)∪B

(7)

其中，C(Xk)表示由k時(shí)刻存活下來(lái)的目標(biāo)按式(2)轉(zhuǎn)移后得到的狀態(tài)；B(Xk)表示k時(shí)刻目標(biāo)衍生出來(lái)的目標(biāo)，如潛艇發(fā)射的魚(yú)雷等；B表示完全自然新生的目標(biāo)，一般由先驗(yàn)知識(shí)或直接從量測(cè)中采樣得到。由于衍生目標(biāo)在建模上一般直接賦予另外一個(gè)運(yùn)動(dòng)模型，本質(zhì)上與存活目標(biāo)相似，因此本文僅考慮存活目標(biāo)與新生目標(biāo)。

(8)

(9)

3 多傳感器多模型多伯努利濾波器(MS-MM-MeMBer)

3.1 勢(shì)平衡多伯努利濾波器

令k時(shí)刻監(jiān)測(cè)區(qū)域內(nèi)共有M個(gè)目標(biāo)，按照RFS理論，目標(biāo)m可建模為伯努利RFS，其分布πm(Xk)表示為：

(10)

(11)

其具體表示為：

(12)

按貝葉斯理論，多伯努利濾波器可分為預(yù)測(cè)，更新兩步。如下式所示：

(13)

式中，fk|k-1(·),gk(·)分別表示目標(biāo)的多目標(biāo)狀態(tài)轉(zhuǎn)移及多目標(biāo)似然方程。式中的積分為隨機(jī)有限集積分[24]，直接計(jì)算上兩式無(wú)法獲得解析解。在將目標(biāo)按式(11)進(jìn)行伯努利表示后，預(yù)測(cè)后的伯努利項(xiàng)由兩部分組成：存活目標(biāo)與新生目標(biāo)，如下式所示：

(14)

在式(14)中，Mk-1表示k-1時(shí)刻遺留下來(lái)的目標(biāo)數(shù)，MBk表示k時(shí)刻新生的目標(biāo)數(shù)，Mk|k-1表示預(yù)測(cè)完成后的總目標(biāo)數(shù)。式中幾個(gè)參數(shù)項(xiàng)的計(jì)算可由下式完成：

(15)

(16)

(17)

更新后的伯努利項(xiàng)由兩部分組成：未被量測(cè)更新的漏檢目標(biāo)以及被量測(cè)更新的目標(biāo)，如下所示：

(18)

在式(18)中的變量定義如下：

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

3.2 SMC-MeMBer濾波器

令多伯努利項(xiàng)可由多簇粒子表征，如下所示：

(24)

預(yù)測(cè)：

對(duì)于存活目標(biāo)：

(25)

(26)

上式中的參數(shù)表示如下：

(27)

(28)

(29)

(30)

在式(30)中變量定義如下：

(31)

(32)

(33)

更新：

對(duì)于漏檢目標(biāo)：

(34)

(35)

上式中的參數(shù)表示如下：

(36)

(37)

(38)

對(duì)于量測(cè)更新目標(biāo)：

(39)

(40)

上式中的參數(shù)表示如下：

(41)

(42)

(43)

重采樣：

此外，由于每次迭代將額外產(chǎn)生|Zk|個(gè)伯努利項(xiàng)，隨著迭代次數(shù)增加，算法計(jì)算負(fù)擔(dān)加重。因此，在更新完成后將對(duì)當(dāng)次迭代得到的伯努利項(xiàng)進(jìn)行修枝與合并，即去除掉強(qiáng)度小于某閾值的伯努利項(xiàng)，同時(shí)合并代表相同目標(biāo)的伯努利項(xiàng)，具體可以兩個(gè)伯努利項(xiàng)之間的距離，若已知伯努利項(xiàng)之間的互協(xié)方差矩陣時(shí)，可以馬氏距離作為判斷標(biāo)準(zhǔn)[23]。

3.3 序貫更新多傳感器多伯努利濾波(MS-MeMBer)

在應(yīng)對(duì)多傳感器多目標(biāo)跟蹤問(wèn)題時(shí)，Mahler提出了RFS框架下序貫更新后驗(yàn)概率的方法，在多伯努利情況下，算法更新流程為：

4 RDC-TOA量測(cè)觀測(cè)性分析

在沒(méi)有多普勒耦合時(shí)，單運(yùn)動(dòng)站唯距離跟蹤的觀測(cè)性分析在之前的文章中已有詳盡的分析。借鑒文獻(xiàn)[26]中的方法，此處給出多普勒耦合下的唯距離跟蹤觀測(cè)性分析。

z(k)≈F·x(k)

(44)

x(k)為第k時(shí)刻的目標(biāo)狀態(tài)變量，由于只對(duì)k時(shí)刻的觀測(cè)性進(jìn)行分析，所以為了簡(jiǎn)化表示，省略k時(shí)刻的表示，則線性觀測(cè)矩陣F有如下表示形式：

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

5 仿真實(shí)驗(yàn)

5.1 算法參數(shù)設(shè)置

假定機(jī)動(dòng)目標(biāo)一共通過(guò)兩個(gè)模型來(lái)描述，分別是勻速直線運(yùn)動(dòng)(CV)以及勻速轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)(CT)，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣及其方程噪聲功率如式(56)所示，其中轉(zhuǎn)彎速率θ=90°，其軌跡圖如圖1所示。

(56)

圖1 目標(biāo)軌跡及發(fā)射站、接收站示意圖Fig.1 The sketch map of target trajectory, transmitter and receivers

令監(jiān)測(cè)區(qū)域內(nèi)有1個(gè)發(fā)射站及4個(gè)被動(dòng)接收聲吶(N=4)，它們的位置分別為：

(57)

為了驗(yàn)證所提算法的有效性和對(duì)比不同參數(shù)對(duì)算法性能的影響，我們將仿真條件設(shè)定為三種情況，令所有被動(dòng)接收聲吶量測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)偏差στ=0.001，監(jiān)測(cè)區(qū)域內(nèi)雜波呈均勻分布，為計(jì)算方便，不失一般性，令信號(hào)的傳播速度c=1500[15]。新生目標(biāo)強(qiáng)度為0.2，由Lmin個(gè)粒子表征。

第一種對(duì)比情況：

雜波數(shù)量服從期望值為1的泊松分布。算法對(duì)于單個(gè)伯努利項(xiàng)粒子數(shù)量設(shè)置為：Lmin=200,Lmax=5000。

第二種對(duì)比情況：

雜波數(shù)量服從期望值為1的泊松分布。算法對(duì)于單個(gè)伯努利項(xiàng)粒子數(shù)量設(shè)置為：Lmin=500,Lmax=8000。

第三種對(duì)比情況：

雜波數(shù)量服從期望值為1.5的泊松分布。算法對(duì)于單個(gè)伯努利項(xiàng)粒子數(shù)量設(shè)置為：Lmin=200,Lmax=5000。

由于基于RFS的濾波器同時(shí)估計(jì)監(jiān)測(cè)區(qū)域內(nèi)的目標(biāo)數(shù)量及各目標(biāo)狀態(tài)，傳統(tǒng)的評(píng)價(jià)方法無(wú)法正確評(píng)估它們的性能。本文采用計(jì)算OSPA距離進(jìn)行評(píng)估，其截?cái)鄥?shù)設(shè)置為1，p參數(shù)設(shè)置為300。所有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)均由200次Monte Carlo仿真平均后得來(lái)。其中，基于Monte Carlo仿真的平均OSPA距離估計(jì)對(duì)比如圖2所示，平均目標(biāo)數(shù)估計(jì)對(duì)比如圖3所示?？梢钥闯觯诳紤]了多普勒耦合這一觀測(cè)現(xiàn)象之后，目標(biāo)跟蹤和目標(biāo)數(shù)的估計(jì)效果得到了顯著提高，從圖2中的對(duì)比情況可以看出，在雜波的期望值一定時(shí)，把粒子數(shù)提高會(huì)使跟蹤性能提高，當(dāng)粒子數(shù)一定時(shí)，增大雜波的期望值時(shí)，會(huì)使目標(biāo)的跟蹤性能降低。但是這三種對(duì)比情況對(duì)目標(biāo)數(shù)的估計(jì)性能均無(wú)影響。

圖2 OPSA估計(jì)對(duì)比Fig.2 The comparison of the estimation of OPSA

圖3 目標(biāo)數(shù)估計(jì)對(duì)比Fig.3 The comparison of the estimation of target number

6 結(jié)論

本文主要研究了分布式場(chǎng)景下唯距離多目標(biāo)跟蹤問(wèn)題。近來(lái)，隨著多站(被動(dòng))雷達(dá)重新受到重視以及MIMO雷達(dá)成為研究熱點(diǎn)，多傳感器多目標(biāo)跟蹤必將吸引研究目光。至目前為止，共有多種傳感器融合框架被用于多傳感器多目標(biāo)跟蹤，但其技術(shù)手段遠(yuǎn)未達(dá)到成熟。若要達(dá)到精確的信息融合，必然帶來(lái)無(wú)法企及的計(jì)算量，而低計(jì)算量算法往往又會(huì)引入量測(cè)信息的損失。作為研究多傳感器多目標(biāo)跟蹤的“潛力股”，RFS必將在分布式目標(biāo)跟蹤下受到廣泛重視。本文使用了最近提出的多伯努利濾波器解決了在多站被動(dòng)聲吶系統(tǒng)下的多目標(biāo)跟蹤問(wèn)題，本文只使用了TOA做為量測(cè)信息，并且假定量測(cè)受到多普勒耦合干擾。在引入多模型后，MS-MM-MeMBer成功跟蹤了目標(biāo)數(shù)量變化下的多機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤。然而該算法尚有很多不足之處：序貫性更新方法的跟蹤效果受傳感器排序的影響較大，并且MS-MM-MeMBer無(wú)法獲得多目標(biāo)的連續(xù)航跡，這將是接下來(lái)工作的重點(diǎn)內(nèi)容。