冉 杰，劉衍民，王常春，王正偉

（遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，貴州遵義563006）

1 引言

混沌偽隨機(jī)序列的復(fù)雜性是指?jìng)坞S機(jī)序列接近隨機(jī)序列的程度。越接近隨機(jī)序列，其復(fù)雜度越大，因此，偽隨機(jī)序列復(fù)雜性是衡量保密通信系統(tǒng)抗干擾、抗截獲能力的重要指標(biāo)之一[1]。因此復(fù)雜度的分析具有重要的研究?jī)r(jià)值。

關(guān)于復(fù)雜度的分析已經(jīng)有大量的學(xué)者研究。一些有關(guān)混沌時(shí)間序列復(fù)雜度研究的工作如下：文獻(xiàn)[1]對(duì)Logistic映射、Gaussian映射和TD-ERCS系統(tǒng)的混沌時(shí)間序列進(jìn)行了復(fù)雜度分析。孫克輝等計(jì)算了TD-ERCS離散混沌偽隨機(jī)序列的復(fù)雜度大小[2]。文獻(xiàn)[3]采用強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度算法，分別對(duì)離散混沌系統(tǒng)(TD-ERCS)和連續(xù)混沌系統(tǒng)(簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng))進(jìn)行復(fù)雜度分析。羅松江等以Logistic映射和耦合映像格子映射產(chǎn)生的混沌序列和多進(jìn)制混沌偽隨機(jī)序列為例，用增強(qiáng)統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度方法，分析了混沌偽隨機(jī)序列的復(fù)雜度[4]。更多復(fù)雜度的研究見文獻(xiàn)[5-11]。

雖然關(guān)于復(fù)雜度的研究已經(jīng)有大量的成果，但是這些成果遠(yuǎn)不能滿足實(shí)際需求。復(fù)雜度的研究仍然是一個(gè)艱巨而深遠(yuǎn)的研究主題。關(guān)于復(fù)雜度的研究工作還需進(jìn)一步的深入。基于此，本文借助譜熵算法，討論二維離散Lorenz混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度。

2 譜熵復(fù)雜度算法

譜熵(spectralentropy,SE)采用傅里葉變換，通過傅里葉變換域內(nèi)能量分布，結(jié)合香農(nóng)熵得出相應(yīng)譜熵值，其算法流程如下[1]：

第2步：離散傅里葉變換，對(duì)序列作如下傅里葉變換：

第4步：計(jì)算譜熵，利用Pk，得信號(hào)的譜熵（SE）為：

當(dāng)序列功率譜分布越不均衡時(shí)，序列頻譜結(jié)構(gòu)越簡(jiǎn)單，信號(hào)中具有明顯的振蕩規(guī)律，得到的SE測(cè)度值越小，即復(fù)雜度越小，否則復(fù)雜度越大[1]。

3 二維離散Lorenz混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度分析

利用上述的SE復(fù)雜度算法，計(jì)算二維離散Lorenz混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度，并討論參數(shù)的取值情況。

二維離散Lorenz混沌系統(tǒng)[8-10]如下：

其中，a和h為系統(tǒng)參數(shù)。當(dāng)a=0.85，h=1，系統(tǒng)（5）展現(xiàn)出混沌吸引子如圖1。下面我們討論系統(tǒng)（5）在 a∈［0，1］和h∈［0，1］之間的復(fù)雜度。計(jì)算結(jié)果如圖2所示?；趫D2，我們?nèi)=0.95，h=1系統(tǒng)（5）展現(xiàn)出比圖1更加復(fù)雜的混沌吸引子，如圖3所示。

圖 1 系統(tǒng)（5）的混沌吸引子，a=0.85，h=1。

圖 2 系統(tǒng)（5）的 SE 復(fù)雜度，a∈［0，1］和 h∈［0，1］。

圖 3 系統(tǒng)（5）的混沌吸引子，a=0.95，h=1。

4 結(jié)論

通過以上的分析，我們發(fā)現(xiàn)在圖2的右上角區(qū)域具有較高的復(fù)雜度。進(jìn)一步，當(dāng)參數(shù)a∈［0.9，1］和h∈［0.9，1］時(shí)，系統(tǒng)的復(fù)雜度達(dá)到了0.9.也就是說當(dāng)我們采用二維離散 Lorenz混沌系統(tǒng)作加密運(yùn)算時(shí)，參數(shù)就可以選擇在這個(gè)參數(shù)區(qū)間，讓密匙更加復(fù)雜，難以破解。因此二維離散Lorenz混沌系統(tǒng)具有較好的應(yīng)用前景。