湖北省孝感市云夢縣黃香高級中學 田永紅

函數(shù)與方程思想其實是包括兩個方面的內(nèi)容：函數(shù)思想與方程思想。函數(shù)思想指的是運用函數(shù)的概念和性質(zhì)來分析數(shù)學問題、轉化數(shù)學問題并解決數(shù)學問題，而方程思想則是從遇到的數(shù)學問題中找到數(shù)學關系，運用我們掌握的數(shù)學語言把問題中的已知條件轉化為可以解答的數(shù)學模型。在我們學習和教學的過程中，會遇到許多函數(shù)的問題，我們要運用方程的方式進行解決和理解，也會遇到很多方程的問題需要我們通過函數(shù)思想來解決，所以說，函數(shù)和方稱二者是可以相互轉化的，兩者關系密切。我們以高中數(shù)學人教A版為例，對函數(shù)與方程思想在解決問題中的應用進行簡單的分析和說明。

在高中數(shù)學學習的過程中，我們可能會遇到以下幾類需要運用函數(shù)與方程思想的題型：

一、用轉化函數(shù)與方程、表達式相互轉化的觀點解決函數(shù)、方程、表達式的問題

（1）設t=k2，若函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)性相同，求k的取值范圍;

（2）是否存在正實數(shù)k，都能找到t∈[1，2]，使得關于x的方程f（x）=g（x）在[1，5]上有且僅有一個實數(shù)根，且在[－5，－1]上至多有一個實數(shù)根？若存在，請求出所有k的值的集合；若不存在，請說明理由。

此題考查的是運用導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性，求解參數(shù)的取值范圍，并且還對應方程解的問題，可以將其轉化為圖象與圖象的交點問題來進行處理。

二、通過構造函數(shù)或方程來解決問題

在進行數(shù)學學習的過程中，我們會遇到需要通過構造一個函數(shù)或者方程才能解決的數(shù)學題，例如：設f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當 x＜0 時，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＞0，且g（-3）=0，則不等式f（x）g（x）＜0的解集是？

我們會在解題的過程中首先可以構造一個函數(shù)h（x）=f（x）g（x），x∈R，我們可以得到h（x）是定義在R上的奇函數(shù)，通過題意，可得h（x）在（-∞，0）區(qū)間是單調(diào)遞增的，并且零點是-3，通過數(shù)形結合，我們就可以得出h（x）＜0的解集是：（-∞，-3）∪（0，3）。

三、數(shù)列問題也可以運用函數(shù)與方程的思想

數(shù)列問題是高考中的一個重要部分，但是，很多時候，數(shù)列問題的解決并不是只靠數(shù)列的公式就可以的，而是需要結合函數(shù)與方程思想。

例如：已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列。（1）若a1=2，且a2，a3，a4+1成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式an；（2）在（1）的條件下，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，設bn=若對任意的n∈N＊，不等式bn≤k恒成立，求實數(shù)k的最小值。

（1）數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1=2，且a2，a3，a4+1成等比數(shù)列，

所以設等差數(shù)列的公差為d，即可得到(2+2d)2=(2+d)(3+3d)，解得d=2或d=-1。

當d=-1時，a3=0，與a2，a3，a4+1成等比數(shù)列矛盾，舍去，所以d=2。

所以an=a1+2(n-1)=2n，即數(shù)列{an}的通項公式an=2n。

（2）由（1）可得Sn=n(n+1)，所以：

這樣，我們就把一個復雜的數(shù)列問題轉化為一個簡單的函數(shù)問題，使解題過程變得容易。

四、不等式中運用函數(shù)思想

不等式在高考中占有很大的比例，而很多的不等式都是和函數(shù)相結合，使得題目的難度增加，這就要求學生在解題的過程中找準函數(shù)關系，例如：解關于x的不等式：x2+5ax+6a＞0。

分析：此不等式可以分解為：（x+2a）（x+3a）＞0，故對應的方程必有兩解。又因為二次項系數(shù)為1，大于0，所以本題只需討論兩根的大小即可。

解：原不等式可化為：（x+2a）（x+3a）＞0，

對應一元二次方程（x+2a）（x+3a）=0的兩根為-2a，-3a。

①-2a＞-3a→a＞0，所以不等式的解集為：（-∞，-3a）∪（-2a，+∞）。

②-2a=-3a→a=0，此時不等式為x2＞0，所以不等式的解集為（-∞，0）∪（0，+∞）。

③-2a＜-3a→a＜0，所以不等式的解集為：（-∞，-2a）∪（-3a，+∞）。

二次項系數(shù)正負確定的情況下，先看能否因式分解，若能因式分解，則自然不必去求對應的一元二次方程的求根判別式，因為分解之后，根已顯而易見，同樣，因為根中含有字母，故其大小也不確定，所以討論又勢在必行。

五、在解決實際問題時靈活運用函數(shù)思想，簡化解題過程

在人教版高中數(shù)學必修五《基本不等式》的教學中，有這樣一個例題：用籬笆圍一個面積為100m2的矩形菜園，問這個矩形菜園的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短是多少？

在解答這個問題時，求的其實是周長最短，實際上我們已經(jīng)可以知道xy=100，求當x和y分別為多少時，2（x+y）的值最小，即（x+y）的值最小。這樣，一個實際問題就被我們用一個方程表達出來了，使我們的解題思路清晰起來。

六、三角函數(shù)中運用函數(shù)思想

三角函數(shù)本身就是一種函數(shù)的類型，所以在進行三角函數(shù)的學習時，要注意的就是把函數(shù)的思想和三角的特點和公式相結合，達到高效率地解決問題，實現(xiàn)數(shù)學思想的內(nèi)化。

七、在函數(shù)最值問題中應用方程思想

最值問題可以和很多知識相結合，和代數(shù)、三角函數(shù)、一次函數(shù)等等，我們現(xiàn)在就以二次函數(shù)為例進行解釋說明：

已知a、b、c為正整數(shù)，方程ax2+bx+c=0的兩根為x1、x2（x1≠x2），且|x1|＜1，|x2|＜1，則a+b+c的最小值為？

依題意，可知Δ=b2-4ac＞0,x1+x2=0,＞0,從而可知 x1，x2∈（-1,0)，

又 a，b，c為 正 整 數(shù)，取 c=1，則 a+1＞ b a≥ b， 所 以a2≥b2＞4ac=4a a＞4，從而a≥5，所以b2＞4ac≥20。又b＜5+1=6，所以b=5，因此a+b+c有最小值為11。下面可證c≥2時，a≥3，從而b2＞4ac≥24，所以b≥5，又a+c＞b≥5，所以a+c≥6，所以a+b+c≥11。

綜上可得，a+b+c的最小值為11。

本題主要考查了一元二次方程的根的分布問題的求解，主要應用了方程的根與系數(shù)的關系及，還考查了一定的運算推理的能力.

函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學學習中是非常重要的，要想在高中這個重要的階段要求學生在數(shù)學上取得好的成績，那么，掌握函數(shù)與方程的數(shù)學思想就是一個重要的跳板，教師要在不斷地學習中為學生的進步做出研究，引導學生學會學習，提高學習效率。