王苑婷

【中圖分類號】 G63.2 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 2095-3089（2018）07-0-02

一、教材分析

直線的傾斜角和斜率是北師大版必修2第二章第一節(jié)的內(nèi)容。直線的傾斜角和斜率是解析幾何的入門課，突出解析幾何的本質(zhì)——幾何問題代數(shù)化，初步體會借助平面直角坐標系用代數(shù)研究幾何圖形的思想，擔(dān)負著開啟全章的重任。

本節(jié)課涉及了兩個概念——傾斜角和斜率。它們都是反映直線相對于x軸正方向的傾斜程度的，傾斜角是從“形”的角度刻畫直線的傾斜程度，而斜率是從“數(shù)”的角度刻畫直線的傾斜程度。二者聯(lián)系的橋梁是正切函數(shù)值，進一步可以用直線上兩點的坐標表示直線的斜率。傾斜角是幾何概念，它主要起過渡作用，是聯(lián)系新舊知識的紐帶，后續(xù)研究斜率、直線平行垂直都要用到這個概念；斜率不但是本節(jié)課的核心內(nèi)容，更是整個解析幾何的重要概念之一。

二、教學(xué)目標

1.知識與技能：（1）理解傾斜角和斜率的概念，掌握兩點的斜率公式；

（2）理解每條直線的傾斜角唯一，但不是每條直線都有斜率。

2.過程與方法：通過經(jīng)歷從具體實例抽象出數(shù)學(xué)概念的過程，初步感悟用代方法解決幾何問題的思想方法，滲透數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析和概括的能力。

3.情感態(tài)度與價值觀目標：體會幾何問題代數(shù)化的思想方法，通過合作探索，互相交流，享受獲取數(shù)學(xué)知識的喜悅。

三、教學(xué)重難點

重點：直線的傾斜角和斜率概念的理解，初步掌握過兩點的直線斜率公式。

難點：直線的傾斜角概念的形成，斜率公式的建構(gòu)。

四、教學(xué)方法

啟發(fā)引導(dǎo)法、講練結(jié)合。利用計算機等輔助教學(xué)，采用啟發(fā)和探究-建構(gòu)教學(xué)相結(jié)合的教學(xué)模式。

五、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題

從勉縣到略陽的道路要走很多的上山路，道路用直線來表示，由道路的陡峭程度引入課題“直線的傾斜角和斜率”。

給出操場上的蹺蹺板圖片。

設(shè)計意圖：從生活中真實的例子出發(fā)，引起學(xué)生興趣，同時也說明我們數(shù)學(xué)知識和生活聯(lián)系緊密，來源于生活也應(yīng)用于生活。這樣的引入比較自然，貫穿我們這節(jié)課的整個知識。

問題1 如果把蹺蹺板抽象成一條直線，那么蹺蹺板的運動過程中就形成了一系列的直線。那么這些直線有什么共同點和不同點呢？

學(xué)生1 共同點是 都經(jīng)過了中間的支撐點

學(xué)生2 不同點是 與地面的夾角不同

教師總結(jié)：（1）這些直線都經(jīng)過一點；（2）這些直線的傾斜程度不同。

選擇哪個量來描述直線的傾斜程度

設(shè)計意圖：探索描述直線的傾斜程度的幾何要素，由此引出傾斜角的概念。培養(yǎng)數(shù)學(xué)的直觀想象和數(shù)學(xué)抽象能力。

（二）新知探究

1.傾斜角的定義

在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線，如果把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為α，那么α就叫做直線的傾斜角.特別，當直線和x軸平行或重合時，規(guī)定直線的傾斜角為0o.

問題2 那我們能不能簡單的說直線的傾斜角即是直線與x軸正方向的夾角？

學(xué)生1 可以，表示的是一樣的

學(xué)生2 不行，與x軸正方向的夾角有兩個呢

教師肯定學(xué)生的正確答案并給予鼓勵。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生通過圖形的觀察，更進一步明確傾斜角的概念，更好的探究傾斜角的范圍。

問題3 觀察如下四個圖中的直線，畫出它們的傾斜角，指出直線傾斜角的范圍？

學(xué)生1 傾斜角的范圍是[0°，180°]

學(xué)生2 傾斜角的范圍是[0°，180°）

教師強調(diào)傾斜角概念的中的規(guī)定，給出正確的范圍。

設(shè)計意圖：通過對圖形的觀察讓學(xué)生明確傾斜角的取值范圍是。

引入斜率的定義

再利用勉縣到略陽的路回顧坡度的概念

問題4 對于勉縣到略陽的路中所出面的斜坡的傾斜程度，不用直線的傾斜角來表示，在生活中可以用什么量來反映傾斜程度呢？

學(xué)生1 初中學(xué)的坡度與坡角

在水平方向上移動1km，在鉛直方向上升或下降的數(shù)值（km）

教師肯定學(xué)生的回答，并以能不能用坡度來定義直線的傾斜程度來引入斜率的知識

設(shè)計意圖：是讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)概念來源于生活，引導(dǎo)學(xué)生理解直線的傾斜程度除了用傾斜角表示外，還可以用傾斜角的正切值表示，體現(xiàn)了幾何向代數(shù)的轉(zhuǎn)化過程，并體驗從直觀到抽象的過程培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、聯(lián)想的能力。

2.斜率

為了用實數(shù)來刻畫傾斜角，我們把直線放在直角坐標系中

直線的斜率是什么呢，直線過坐標原點時，當橫坐標x從0到1增加一個單位時，縱坐標y從0變化到k，k就稱為這條直線的斜率。

（1）的直線的斜率

圖中點，當橫坐標x從0到1增加一個單位時，縱坐標y從0變化到k（k〉0），k為這直線的斜率，。

（2）的直線的斜率

圖中直線上的點，當橫坐標x從0到1增加一個單位時，縱坐標y從0變化到k（k<0），k為這直線的斜率.

問題5 在時，我們能不能也用傾斜角的正切值表示斜率呢？

學(xué)生1

學(xué)生2 不對，k是負值，應(yīng)該是。

教師總結(jié)：在以后的學(xué)習(xí)中我們可以知道當是鈍角時，依然成立。

設(shè)計意圖，通過學(xué)生自主探究，理解到時，也可以滿足，在探究中加強了學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力。

問題6 那的直線呢，是不是也可以寫成呢？

學(xué)生 不能吧，不存在呀

設(shè)計意圖：的值在初中時大家已經(jīng)知道是不能運算的，在這里提出來也是對舊知識的一個回顧，也是對傾斜角是直角的直線的斜率判斷。

（3）的直線的斜率

直線與x軸垂直，無斜率。

問題7 通過以上分析，大家總結(jié)一下，直線的斜率和傾斜角之間存在什么樣的關(guān)系？

學(xué)生1

學(xué)生2 當直線傾斜角不是直角時，

學(xué)生3 當直線傾斜角是直角時，此直線沒有斜率。。

所以傾斜角不是90o的直線，它的傾斜角的正切就是這條直線的斜率.即斜率

設(shè)計意圖：強化學(xué)生對傾斜角是直角時的直線斜率不存在這種特殊情況的理解。培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)能力。

問題8 我們剛才所說的直線都是過坐標原點的直線，那對不過坐標原點的直線，是否也適用？

學(xué)生 適用，可以平移到過坐標原點，它們的傾斜角是一樣的，那斜率也就是一樣的。

教師追問：

問題9 那傾斜角是900的直線呢？能說斜率相等嗎？

學(xué)生1 能，都是。

學(xué)生2 不能，這樣的直線叫做沒有斜率。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生明確傾斜角相等的直線，它們的斜率是相等的，同時再次強調(diào)傾斜角是900的直線沒有斜率。

問題10 通過斜率的定義，大家能不能得出，直線的傾斜角與其斜率的正負之間存在怎樣的規(guī)律呢？

學(xué)生1 傾斜角是銳角時斜率為正，是鈍角時斜率為負。

學(xué)生2 還有0°和90°，0°時為0，90°沒有斜率不能說正負。

教師總結(jié)：當傾斜角是0°時斜率為0，銳角時斜率為正，是鈍角時斜率為負。90°沒有斜率。教師繼續(xù)追問：

問題11 在上述兩個圖中做出斜率不同的幾條直線，觀察當在[0°，180°）內(nèi)變化時，斜率k隨道傾斜角的增大是如何變化的？

學(xué)生1 隨道傾斜角的增大而增大

學(xué)生2 傾斜角是直角時斜率不存在，所以銳角時增大，鈍角時減小。

學(xué)生3 傾斜角是直角時斜率不存在，，斜率是負的，時，斜率是正的，都是隨著傾斜角的增大而增大。

設(shè)計意圖：在分析過程中鍛煉學(xué)生的邏輯推理數(shù)學(xué)素養(yǎng)，和周密的思維習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析和概括的能力。

3.兩點間斜率的計算公式

問題12 如果給的角度是我們學(xué)習(xí)過的特殊的能求出正切值的角度，我們可以用通過求解，如果角度并不是能計算的特殊角呢？我們已經(jīng)知道兩點就能確定一條直線，那能不能在直線上找兩個點，利用它們的坐標去求解其斜率呢？給大家三分鐘的時間分小組討論一下，看看怎么解決？

學(xué)生 利用相似三角形可以得到

教師追問

問題13 這個式子有沒有約束條件呢？

學(xué)生1 分母不能為0

學(xué)生2

設(shè)計意圖：學(xué)生自主探究的過程，是自己獲取知識的過程，鍛煉了學(xué)生的自學(xué)能力，培養(yǎng)了學(xué)生邏輯推理能力。在知識上也更加明確兩點間斜率公式與傾斜角與所取的兩點無關(guān)。

教師總結(jié)：兩點間的斜率公式是，強調(diào)括號里的內(nèi)容。

（三）知識鞏固及課堂練習(xí)

例1 已知直線的傾斜角30°，求直線的斜率

如果換成45°，0°呢？

例2 直線PQ過點P（2，3），Q（6，5）求這條直線的斜率

如果換成過點A（-3，5），B（4，-2）呢？

（四）課堂小結(jié)

概括提煉（同學(xué)們這節(jié)課有何收獲？）

1.明確了確定直線位置的幾何要素。

2.理解了刻畫傾斜程度的量（幾何：傾斜角和代數(shù)：斜率），知道了求斜率的兩種方法（定義法、坐標法）。

3.經(jīng)歷了代數(shù)方法刻畫斜率的過程，體會到解析幾何就是用代數(shù)的方法來解決幾何問題。感受了數(shù)形結(jié)合與分類討論的數(shù)學(xué)思想。

（五）作業(yè)布置 P78A組1.2.3

六、教學(xué)反思

這節(jié)課我們要讓進一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象等核心素養(yǎng)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中潛移默化的提高自己觀察分析、歸納總結(jié)、運算等能力。

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能很好地理解直線的傾斜角和斜率的概念.直線是幾何圖形，方程是代數(shù)關(guān)系式，學(xué)生能夠清楚傾斜角和斜率是分別從幾何與代數(shù)兩個不同的角度來刻畫直線的傾斜程度，從而理解解析幾何中將幾何問題轉(zhuǎn)化代數(shù)問題進行研究的數(shù)學(xué)思想。學(xué)生知識的獲取中，通過我所設(shè)計的13個問題積極主動的思考探索，引導(dǎo)學(xué)生的思考步步深入，加深概念理解。讓學(xué)生逐步體會將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)方法來研究幾何問題的思想方法。

這節(jié)課是我們解析幾何的開始，所以學(xué)生對幾何問題代數(shù)化的思想并不是理解太深刻。這就要求在設(shè)計問題時層層深入，引導(dǎo)學(xué)生有信心的去學(xué)習(xí)每一個知識。