瞿家明，周易文，王恒，黃希

(南通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南通 226019)

如果能夠在軸承運(yùn)行過程中及時(shí)檢測其性能退化的程度、跟蹤早期故障，可以有針對(duì)性地組織生產(chǎn)和設(shè)備維護(hù)，有效防止異常失效的發(fā)生。

針對(duì)滾動(dòng)軸承的狀態(tài)監(jiān)測和退化評(píng)估的研究集中在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[1]、支持向量機(jī)[2]、支持向量數(shù)據(jù)描述[3]、流形學(xué)習(xí)[4]等基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法，但這些方法均無法實(shí)時(shí)顯示數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的退化狀態(tài)階段。隱馬爾科夫模型(Hidden Markov Model,HMM)具有狀態(tài)隱含、觀測序列可見的雙重隨機(jī)屬性，很好地描述了設(shè)備運(yùn)行過程中的衰退狀態(tài)與觀測到的征兆信號(hào)(如振動(dòng)、轉(zhuǎn)速和位移等)之間的隨機(jī)關(guān)系，在滾動(dòng)軸承性能退化評(píng)估與預(yù)測中得到了廣泛應(yīng)用[5-7]。但HMM在定義和學(xué)習(xí)過程中需要預(yù)設(shè)設(shè)備所經(jīng)歷的狀態(tài)數(shù)，而實(shí)際應(yīng)用中由于缺乏相應(yīng)的先驗(yàn)知識(shí)，并不能準(zhǔn)確地給出模型的退化狀態(tài)數(shù)，限制了HMM的應(yīng)用場合[8]。

在滾動(dòng)軸承運(yùn)行過程中，狀態(tài)需要隨著監(jiān)測數(shù)據(jù)的更新而不斷更新，如何有效地利用監(jiān)測數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)運(yùn)行狀態(tài)數(shù)的自動(dòng)識(shí)別還需要深入研究。因此，提出了一種基于Dirichlet過程混合模型(Dirichlet Process Mixture Model，DPMM)的狀態(tài)識(shí)別算法，并通過實(shí)例驗(yàn)證其有效性和可行性。

1 DP混合模型

Dirichlet過程(Dirichlet Process，DP)是一種典型的非參數(shù)Bayes模型[9]，主要用于非參數(shù)問題中的先驗(yàn)分布，DP可以擬合任意類型的概率分布，且與多項(xiàng)式分布互為共軛分布，因此在觀測值的基礎(chǔ)上，DP后驗(yàn)分布便于分析與計(jì)算。近年來，DP模型已成為機(jī)器學(xué)習(xí)、文本處理和自然語言處理領(lǐng)域中的研究熱點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于各種聚類問題的研究中[10-12]。

1.1 DP的定義

假設(shè)G0是測度空間Θ上的隨機(jī)概率測度，參數(shù)α為正實(shí)數(shù)[12]。對(duì)于測度空間Θ的任意有限劃分A1,A2,…,Ar，若存在如下關(guān)系

(G(A1),G(A2),…,G(Ar))～

DDir(αG0(A1),…,αG0(Ar))，

(1)

則G服從由基分布G0和參數(shù)α組成的Dirichlet過程，即

G：GDP(α,G0)，

(2)

式中：DDir表示Dirichlet分布。

1.2 DP的構(gòu)造

在實(shí)際應(yīng)用中往往采用不同形式的構(gòu)造實(shí)現(xiàn)DP的應(yīng)用。截棍構(gòu)造(Stick-Breaking Construction，SBC)可以用于獨(dú)立構(gòu)造服從DP的隨機(jī)樣本[13]，其設(shè)有2個(gè)參數(shù)：聚集參數(shù)α、基礎(chǔ)分布G0。隨機(jī)概率質(zhì)量πk可以通過如下方式構(gòu)造：對(duì)長度為1的棒在比例β1處切割，并將切掉的這部分長度賦值給π1，而后對(duì)剩余長度為(1-β1)的棒在其比例β2處切割, 并將切掉的棒的長度賦值給π2，然后按照相同的方式對(duì)剩余的棒在比例βk處切割,并將切掉的棒的長度賦值給πk，記為πk：GEM(α)，如圖1所示。

圖1 SBC示意圖Fig.1 Diagram of SBC

隨機(jī)概率分布G構(gòu)造為

(3)

其中，隨機(jī)概率質(zhì)量πk通過以α為參數(shù)的β分布產(chǎn)生，隨機(jī)原子序列θk從基礎(chǔ)分布G0抽樣。

與SBC類似，中國餐館過程(Chinese Restaurant Process,CRP)構(gòu)造如下[13]：設(shè)中國餐館內(nèi)可以容納無限多張桌子，所有桌子上都貼上標(biāo)簽1,2,…,K，進(jìn)入餐館的顧客可以挑一張桌子坐下。θi被比作第i個(gè)進(jìn)入餐廳的顧客，而不同的φk值表示餐桌。第1個(gè)顧客以概率1就座于一張新桌子，第i個(gè)顧客以概率mn/(n-1+α)就座于一張已坐下mn個(gè)顧客的舊桌子，n為進(jìn)入餐館的顧客總數(shù)；或以概率α/(n-1+α)就座于一張新桌子，即K增加1，而φk:G0,θi=φk，如圖2所示，圓圈代表桌子，方框代表進(jìn)入餐館的顧客。

圖2 CRP構(gòu)造示意圖Fig.2 Construction diagram of CRP

從Dirichlet過程的構(gòu)造可以看出, 無論哪種方式, 均體現(xiàn)了其良好的聚類性質(zhì)。

1.3 DPMM

DP表現(xiàn)了良好的聚類性質(zhì)，但其只能將具有相同值的數(shù)據(jù)聚為一類，如果2組數(shù)據(jù)不相等，不管兩者間的相似性多強(qiáng)，利用DP均無法實(shí)現(xiàn)聚類，因此就需要引入DPMM[13]。在DPMM中，DP作為參數(shù)的先驗(yàn)分布存在，假設(shè)觀測數(shù)據(jù)為xi，其分布服從

(4)

式中：F(θi) 為觀測數(shù)據(jù)xi服從以θi為參數(shù)的分布；當(dāng)G服從Dirichlet分布時(shí)，該模型稱為Dirichlet過程混合模型。

2 基于DPMM的滾動(dòng)軸承狀態(tài)數(shù)識(shí)別算法研究

基于DPMM的滾動(dòng)軸承狀態(tài)數(shù)識(shí)別算法流程如圖3所示，其具體步驟如下：

圖3 基于DPMM的滾動(dòng)軸承狀態(tài)識(shí)別算法流程Fig.3 Flow chart of algorithm for state recognition of rolling bearing based on DPMM

1) 對(duì)軸承振動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行特征提??；

2) 隨機(jī)初始化DPMM的參數(shù)，即初始聚類數(shù)目N、迭代次數(shù)M和聚集參數(shù)α；

3) 構(gòu)造觀測序列，使其服從Gaussian分布或多項(xiàng)式分布；

4) 觀測序列分布參數(shù)服從Gaussian-Wishart分布或DP分布；

5) 通過截棍過程、中國餐館過程構(gòu)造獲得Dirichlet先驗(yàn)分布；

6) 通過Gibbs抽樣實(shí)現(xiàn)參數(shù)后驗(yàn)更新，當(dāng)某個(gè)類簇中元素個(gè)數(shù)為0時(shí)，N減1，繼續(xù)迭代步驟5～6，待聚類數(shù)目穩(wěn)定時(shí)停止迭代，獲得軸承最終運(yùn)行狀態(tài)數(shù)N。

將軸承觀測數(shù)據(jù)作為DPMM的輸入，記為o1,o2,…,on，則

(5)

假設(shè)觀測序列服從Gaussian分布O～Nd(μ,S)，其參數(shù)服從共軛分布Gaussian-Wishart分布μ,R～Wd(m,S)，每個(gè)分布都具有相同的超參數(shù)和各自的參數(shù)。其中，軸承數(shù)據(jù)任意分組，維數(shù)為d，均值為μ，均方差為S，相關(guān)系數(shù)為R；軸承數(shù)據(jù)服從分布參數(shù)的維數(shù)為v，均值為m，均方差為S，相關(guān)系數(shù)為r。

假設(shè)觀測數(shù)據(jù)服從Gaussian分布，即

(6)

多組數(shù)據(jù)似然函數(shù)為

p(O丨μ,R)=(2π)-nd/2|R|n/2·

(7)

參數(shù)服從Gaussian-Wishart分布，即

p(R)=2-vd/2π-d(d-1)/4|S|v/2|R|(v-d-1)/2·

(8)

(9)

(10)

根據(jù)Bayes公式，觀測數(shù)據(jù)及其分布參數(shù)的聯(lián)合概率可以表示為似然函數(shù)與參數(shù)先驗(yàn)的乘積，也可表示為后驗(yàn)分布與邊緣函數(shù)的乘積，即

p(μ,R,O)=p(O|μ,R)·p(μ,R)=

p(μ,R|O)·p(O)。

(11)

觀測數(shù)據(jù)和分布參數(shù)的聯(lián)合概率為

(12)

利用Gibbs采樣實(shí)現(xiàn)后驗(yàn)參數(shù)的更新

(13)

軸承觀測數(shù)據(jù)的邊緣概率為

(14)

由(12)，(13)和(14)式推導(dǎo)出后驗(yàn)分布公式為

(15)

(9)式與(15)式具有相同的分布形式，對(duì)比可知后驗(yàn)分布的更新意味著超參數(shù)(r,v,m,S)的更新。在(14)式中，需要計(jì)算Γ項(xiàng)的比率以及|S|和|S″|的值。為簡化計(jì)算，假設(shè)更新前后v不變，將(14)式進(jìn)行Γ項(xiàng)擴(kuò)展得

(16)

通過Gibbs采樣實(shí)現(xiàn)參數(shù)后驗(yàn)更新，在每個(gè)類簇中每次增加(或減少)1個(gè)觀測序列，利用Cholesky分解更新S的值，然后根據(jù)新的參數(shù)值計(jì)算每個(gè)類簇的似然概率。在迭代過程中，不斷更新每個(gè)類簇的均值和方差，若類簇中的值為空，則類簇總數(shù)減1，否則將繼續(xù)迭代更新。DPMM算法不依賴于訓(xùn)練樣本，而且隨著觀測數(shù)據(jù)的變化，模型結(jié)構(gòu)能夠自適應(yīng)調(diào)整，從而實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)聚類，自動(dòng)識(shí)別軸承的運(yùn)行狀態(tài)。

3 實(shí)例研究

為驗(yàn)證DPMM算法的有效性與可行性，對(duì)滾動(dòng)軸承狀態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)[14]進(jìn)行驗(yàn)證和分析，選擇負(fù)載0 kW，轉(zhuǎn)速1 797 r/min下SKF6205-2RS型軸承的振動(dòng)加速度數(shù)據(jù)。采用電火花加工對(duì)軸承進(jìn)行破壞，故障直徑分別為0.177 8，0.355 6，0.533 4和0.711 2 mm，軸承基本參數(shù)及其運(yùn)行狀態(tài)分別見表1和表2。將軸承正常狀態(tài)數(shù)據(jù)和4種人為制造的狀態(tài)數(shù)據(jù)分別取容量相同的樣本相互連接作為觀測數(shù)據(jù)。

表1 試驗(yàn)軸承技術(shù)參數(shù)Tab.1 Technical parameters of test bearing

表2 滾動(dòng)軸承運(yùn)行狀態(tài)劃分Tab.2 Partition of operation states of rolling bearing

在DPMM算法中，設(shè)初始聚類數(shù)N=100，聚集參數(shù)α=20，迭代次數(shù)M=300，取軸承峭度指標(biāo)作為觀測數(shù)據(jù)構(gòu)造觀測序列服從Gaussian分布，參數(shù)服從Gaussian-Wishart分布，通過SBC和CRP分別構(gòu)造DP過程。基于DPMM的滾動(dòng)軸承運(yùn)行狀態(tài)識(shí)別結(jié)果如圖4所示，經(jīng)過300次的迭代，聚類結(jié)果趨于穩(wěn)定且收斂到5，與已知的滾動(dòng)軸承狀態(tài)數(shù)(表2)相一致，說明DPMM模型能夠有效識(shí)別滾動(dòng)軸承運(yùn)行狀態(tài)，為軸承退化評(píng)估與壽命預(yù)測提供了一種新方法。

圖4 基于峭度指標(biāo)的軸承運(yùn)行狀態(tài)數(shù)識(shí)別結(jié)果Fig.4 Recognition result of number of operation states of bearing based on kurtosis index

聚集參數(shù)α不同取值時(shí)的聚類結(jié)果如圖5所示，從圖中可以看出，無論參數(shù)α的初始值如何選取，該模型聚類結(jié)果均能收斂到相同的值。進(jìn)一步分析特征值的選擇對(duì)識(shí)別結(jié)果的影響，取軸承均方根作為觀測數(shù)據(jù)，其他參數(shù)不變，基于DPMM的運(yùn)行狀態(tài)數(shù)識(shí)別結(jié)果如圖6所示。

圖5 不同α值的聚類結(jié)果Fig.5 Clustering results of differentα

根據(jù)圖4及圖6的結(jié)果，對(duì)峭度指標(biāo)和均方根分別獲得滾動(dòng)軸承運(yùn)行狀態(tài)數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，獲得其概率直方圖(圖7)，從圖中可以看出，狀態(tài)數(shù)聚類為5的概率最大，可以認(rèn)為最終狀態(tài)數(shù)為5。

圖6 基于均方根的軸承狀態(tài)數(shù)識(shí)別結(jié)果Fig.6 Recognition result of number of states of bearing based on RMS

圖7 狀態(tài)數(shù)聚類結(jié)果概率直方圖Fig.7 Probability histogram of clustering results of number of states

綜合分析可得：構(gòu)造方法不影響結(jié)果的穩(wěn)定性，參數(shù)α不同取值時(shí)均能快速實(shí)現(xiàn)聚類，結(jié)果穩(wěn)定。DPMM算法對(duì)于參數(shù)的預(yù)設(shè)沒有要求，也不依賴滾動(dòng)軸承特征值、聚集參數(shù)等初始參數(shù)的選擇，具有很強(qiáng)的適應(yīng)性和穩(wěn)定性。

4 結(jié)束語

故障診斷算法中退化狀態(tài)數(shù)的確定一直以來依靠的是設(shè)備維護(hù)的經(jīng)驗(yàn)。這對(duì)于算法實(shí)現(xiàn)設(shè)備退化過程描述和觀測數(shù)據(jù)的處理帶來了一定的困難。DPMM拋開傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)，利用數(shù)據(jù)自身的特性進(jìn)行聚類，為進(jìn)一步分析設(shè)備退化過程以及每個(gè)階段的退化研究提供了一種新的方式。

初始參數(shù)的選擇是模型訓(xùn)練的難點(diǎn)，其影響著模型收斂的速度和準(zhǔn)確性。DPMM引入了Bayes聚類算法，從另一個(gè)角度實(shí)現(xiàn)了參數(shù)需要人為預(yù)先設(shè)定的問題，從數(shù)據(jù)分析的角度也有利于模型的收斂速度和準(zhǔn)確性，解決了模型參數(shù)預(yù)設(shè)的問題。另外，DPMM能夠隨著數(shù)據(jù)變化實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)調(diào)整，避免了故障診斷過程中數(shù)據(jù)變化而模型不變進(jìn)而可能出現(xiàn)的預(yù)測錯(cuò)誤，具有一定的研究價(jià)值。