王 楠 孫進(jìn)平 王文光

(北京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，北京 100191)

1 引言

近幾年來(lái)，多輸入多輸出(Multiple Input Multiple Output, MIMO)雷達(dá)因?yàn)槠洫?dú)特的工作體制受到了世界各國(guó)學(xué)者們的廣泛研究。不同于傳統(tǒng)的相控陣?yán)走_(dá)，MIMO雷達(dá)配備多個(gè)發(fā)射天線和接收天線，各發(fā)射天線和接收天線相互交叉組成發(fā)射-接收天線組。大量的理論和實(shí)踐研究表明，相比于傳統(tǒng)體制的雷達(dá)，MIMO雷達(dá)能夠提高目標(biāo)檢測(cè)性能[1]，改善角度分辨率[2]，提供更多的空間自由度和更好的空間覆蓋性[3]等。MIMO雷達(dá)根據(jù)天線空間構(gòu)型可以分為兩大類型：第一類為集中式MIMO雷達(dá)，其發(fā)射天線和接收天線距離很近，可以看作是在同一個(gè)地點(diǎn)。第二類是分布式MIMO雷達(dá)，其發(fā)射天線和接收天線距離很遠(yuǎn)，所有天線都不在同一個(gè)位置。本文主要討論分布式MIMO雷達(dá)的擴(kuò)展目標(biāo)檢測(cè)。

分布式MIMO雷達(dá)由于發(fā)射接收天線分布在不同的空間位置，因此具有良好的空間多樣性，可以提高目標(biāo)的探測(cè)性能[4]。文獻(xiàn)[5-7]在均勻雜波環(huán)境下，設(shè)計(jì)了基于采樣協(xié)方差矩陣(SCM)的檢測(cè)器，對(duì)待測(cè)單元的目標(biāo)進(jìn)行檢測(cè)。在SCM檢測(cè)器的基礎(chǔ)上，Chong等人設(shè)計(jì)了魯棒采樣協(xié)方差矩陣(RSCM)檢測(cè)器[8]，RSCM檢測(cè)器采用復(fù)合高斯分布模擬雜波環(huán)境。文獻(xiàn)[9]采用廣義對(duì)稱協(xié)方差模型，用以減少分布式MIMO雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)中的訓(xùn)練數(shù)據(jù)量。所有這些算法有一個(gè)共同的特點(diǎn)，都是假設(shè)分布式MIMO雷達(dá)處在均勻干擾信號(hào)的環(huán)境下的。然而在現(xiàn)實(shí)情況中，由于分布式MIMO雷達(dá)中每一個(gè)發(fā)射-接收天線組的地理位置不同，所以他們之間的環(huán)境特性是相互獨(dú)立的，如果都采用同樣的干擾信號(hào)協(xié)方差矩陣顯然是不合理的。

此外在高分辨率雷達(dá)系統(tǒng)應(yīng)用中，擴(kuò)展目標(biāo)的檢測(cè)一直是一個(gè)關(guān)鍵問題。文獻(xiàn)[10]提出了一種改進(jìn)的基于有序統(tǒng)計(jì)的廣義似然比檢驗(yàn)(OS-GLRT)的穩(wěn)健算法，用于稀疏分布的擴(kuò)展目標(biāo)檢測(cè)。文獻(xiàn)[11]考慮了高斯白噪聲下擴(kuò)展目標(biāo)的檢測(cè)，作者假設(shè)干擾信號(hào)協(xié)方差矩陣未知，利用先驗(yàn)信息和訓(xùn)練數(shù)據(jù)估計(jì)干擾信號(hào)的協(xié)方差矩陣，并采用GLRT和兩步GLRT檢測(cè)器對(duì)擴(kuò)展目標(biāo)進(jìn)行檢測(cè)。而文獻(xiàn)[12]在處理擴(kuò)展目標(biāo)信號(hào)的時(shí)候，將其看作多級(jí)子目標(biāo)信號(hào)進(jìn)行處理。雖然有關(guān)擴(kuò)展目標(biāo)檢測(cè)的文獻(xiàn)很多，但是在非均勻干擾信號(hào)環(huán)境下，有關(guān)分布式MIMO雷達(dá)擴(kuò)展目標(biāo)檢測(cè)的研究卻很少。

本文首先根據(jù)雷達(dá)系統(tǒng)和工作環(huán)境的實(shí)際特性，建立先驗(yàn)信息矩陣，然后令各個(gè)發(fā)射-接收天線組的干擾協(xié)方差矩陣服從以先驗(yàn)信息矩陣為基礎(chǔ)的逆Wishart分布。最后根據(jù)傳統(tǒng)的Wald檢測(cè)器準(zhǔn)則，設(shè)計(jì)了一種基于知識(shí)輔助的Wald檢測(cè)器(KA-Wald)，以應(yīng)用于分布式MIMO雷達(dá)擴(kuò)展目標(biāo)檢測(cè)中。仿真結(jié)果表明，在小樣本的情況下，本文設(shè)計(jì)的KA-Wald檢測(cè)器在檢測(cè)性能上優(yōu)于傳統(tǒng)Wald檢測(cè)器，而與基于知識(shí)輔助的廣義似然比檢驗(yàn)(KA-GLRT)檢測(cè)器[13]相比，檢測(cè)性能相近，但是計(jì)算效率更高。

文中采用的符號(hào)以及含義主要有：(·)T表示轉(zhuǎn)置運(yùn)算。(·)H表示轉(zhuǎn)置共軛運(yùn)算。etr{·}表示exp{tr(·)}，tr(·)表示矩陣的跡運(yùn)算，exp{·}表示指數(shù)運(yùn)算。CN表示復(fù)高斯分布。CW-1表示逆Wishart分布。

2 信號(hào)模型

由于本文討論的是分布式MIMO雷達(dá)的運(yùn)動(dòng)擴(kuò)展目標(biāo)檢測(cè)，雷達(dá)結(jié)構(gòu)如圖1所示，所以首先做出如下假設(shè)：

圖1 分布式MIMO雷達(dá)結(jié)構(gòu)Fig.1 Distributed MIMO radar configuration

(1)分布式MIMO雷達(dá)中存在M個(gè)發(fā)射天線和N個(gè)接收天線；

(2)發(fā)射天線發(fā)射的信號(hào)波形相互正交；

(3)每個(gè)發(fā)射天線發(fā)射L個(gè)脈沖信號(hào)；

(4)擴(kuò)展目標(biāo)的散射點(diǎn)數(shù)為H，并且H≥1。

假設(shè)經(jīng)匹配濾波后第n個(gè)接收天線接收到第m個(gè)發(fā)射天線的信號(hào)為

Xmn=[xmn,1,xmn,2,…,xmn,H]

(1)

與傳統(tǒng)雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)類似，將目標(biāo)檢測(cè)問題轉(zhuǎn)化為如下二元假設(shè)問題：

m=1,2,…,Mn=1,2,…,Nk=1,2,…,K

(2)

其中，αmn=[αmn,1,…,αmn,H]T包含擴(kuò)展目標(biāo)各個(gè)散射點(diǎn)信號(hào)的幅度信息。Nmn=[nmn,1,…,nmn,H]表示待測(cè)單元的干擾信號(hào)(包含雜波和噪聲)，其列向量假定是滿足獨(dú)立同分布的零均值高斯復(fù)矢量，即

nmn,h～CN(0,Rmn)

(3)

(4)

pmn=[1,e-j2πfmn,…,e-j2π(L-1)fmn]T

(5)

其中，fmn表示運(yùn)動(dòng)目標(biāo)相對(duì)于m發(fā)射-n接收天線組的歸一化多普勒頻率。

對(duì)于分布式MIMO雷達(dá)來(lái)說，如果需要估計(jì)出所有發(fā)射-接收天線組的干擾協(xié)方差矩陣，那么需要的訓(xùn)練數(shù)據(jù)量就是傳統(tǒng)檢測(cè)算法所需訓(xùn)練數(shù)據(jù)量的M×N倍，這對(duì)于一個(gè)大型的分布式MIMO雷達(dá)系統(tǒng)(發(fā)射天線和接收天線很多)來(lái)說顯然是一個(gè)很大數(shù)據(jù)量。此外在非均勻干擾信號(hào)的環(huán)境下，可用訓(xùn)練數(shù)據(jù)的數(shù)量會(huì)大幅度減少，最終導(dǎo)致目標(biāo)檢測(cè)性能的下降[14]。因此，為了減少小樣本帶來(lái)的檢測(cè)性能損失，引入知識(shí)輔助模型，建立關(guān)于干擾信號(hào)的先驗(yàn)信息矩陣是很有必要的。

在選擇先驗(yàn)信息分布的時(shí)候，主要考慮兩個(gè)方面的要求。第一，先驗(yàn)分布要能夠反映發(fā)射-接收天線組干擾協(xié)方差矩陣Rmn的先驗(yàn)信息；第二，先驗(yàn)分布不能太復(fù)雜，為了能夠得到后驗(yàn)分布的解析表達(dá)式，通常選取具有共軛特性的先驗(yàn)分布。

Maio等人在文獻(xiàn)[15]中對(duì)非均勻干擾環(huán)境下協(xié)方差矩陣先驗(yàn)分布建模的研究結(jié)果表明，逆Wishart分布能夠反映實(shí)際的環(huán)境信息。因此本文采用逆Wishart分布作為每個(gè)發(fā)射-接收天線組干擾協(xié)方差矩陣Rmn的先驗(yàn)分布。

Rmn～CW-1(μ,(μ-L)Σ)

(6)

其中，Σ是一個(gè)L×L的半正定矩陣，包含了Rmn的先驗(yàn)信息。在實(shí)際檢測(cè)中，結(jié)合雷達(dá)工作參數(shù)、先驗(yàn)的地面散射系數(shù)、內(nèi)部雜波運(yùn)動(dòng)等信息可事先計(jì)算出Σ。μ>L，表示逆Wishart分布自由度。增加μ，可以增加干擾協(xié)方差矩陣中包含的先驗(yàn)信息，從而提高檢測(cè)性能(但這種檢測(cè)性能的提升不會(huì)隨著μ的增加而無(wú)限增大)。根據(jù)式(6)可知協(xié)方差矩陣Rmn的概率密度函數(shù)為

(7)

其中

(8)

這里Γ(·)表示伽馬函數(shù)。根據(jù)逆Wishart的統(tǒng)計(jì)特性可知

E[Rmn]=Σ

(9)

3 基于知識(shí)輔助的Wald檢測(cè)器

為方便推導(dǎo)KA-Wald算法的檢測(cè)表達(dá)式，采用如下參數(shù)表示：

(2)θsmn,h是一個(gè)L2維的實(shí)列向量，它由協(xié)方差矩陣Rmn的對(duì)角線元素和對(duì)角線以外元素的實(shí)部和虛部組成(重復(fù)的不包含)。

與傳統(tǒng)Wald檢測(cè)準(zhǔn)則類似，擴(kuò)展目標(biāo)的Wald檢測(cè)器可采用如下判決式

(10)

(11)

其中

[J-1(θmn,h)]θrmn,h,θrmn,h=

(Jθrmn,h,θrmn,h(θmn,h)-Jθrmn,h,θsmn,h(θmn,h)

(12)

根據(jù)實(shí)際的檢測(cè)問題可知

Jθrmn,h,θsmn,h(θmn,h)=02,L2

(13)

(14)

所以，式(12)可以簡(jiǎn)化為

(15)

(16)

推導(dǎo)KA-Wald檢測(cè)器的表達(dá)式主要分為兩步：

根據(jù)式(2)所示的二元假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ图跋嚓P(guān)假定，可知在H1假設(shè)條件下的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

f(xmn,h,ymn,h|Rmn,αmn,h)=

(17)

C1=(xmn,h-αmn,hpmn)(xmn,h-αmn,hpmn)H+S

(18)

(19)

根據(jù)式(7)和(17)可以推導(dǎo)出H1假設(shè)條件下αmn,h的似然函數(shù)。

f(xmn,h,ymn,h|αmn,h)=

|C1+(μ-L)Σ|-(K+μ+1)

(20)

f(Rmn|xmn,h,ymn,h,αmn,h)=

(21)

對(duì)式(21)取對(duì)數(shù)，并關(guān)于Rmn求導(dǎo)，令求導(dǎo)結(jié)果等于零，可以得到H1假設(shè)條件下Rmn的最大后驗(yàn)估計(jì)。

(22)

(23)

將式(22)帶入式(21)中就可以得到αmn,h的最大似然估計(jì)。

(24)

進(jìn)而得出

(25)

將式(23)和式(25)帶入式(16)，可得KA-Wald檢測(cè)器判決式為

(26)

為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化KA-Wald檢測(cè)器的表達(dá)式，令

(27)

其中，e=(S+(μ-L)Σ)-1/ 2pmn，z=(S+(μ-L)Σ)-1/ 2xmn,h。根據(jù)矩陣求逆定理，可得

(28)

從而得到KA-Wald檢測(cè)器的判決式為

(29)

4 檢測(cè)器對(duì)比

Yongchan Gao等人[13]最先提出分布式MIMO雷達(dá)的擴(kuò)展目標(biāo)檢測(cè)問題。通過建立先驗(yàn)信息矩陣，模擬不同發(fā)射-接收天線組的干擾信號(hào)特性，最后采用基于知識(shí)輔助的廣義似然比檢驗(yàn)(KA-GLRT)算法檢測(cè)擴(kuò)展目標(biāo)。KA-GLRT的檢測(cè)準(zhǔn)則為

(30)

KA-GLRT檢測(cè)器判決式為

(31)

對(duì)比文獻(xiàn)[13]提出的KA-GLRT檢測(cè)器，本文所提KA-Wald檢測(cè)器的主要優(yōu)點(diǎn)在于：

(1)KA-GLRT檢測(cè)器的數(shù)學(xué)推導(dǎo)比較復(fù)雜，因?yàn)镵A-GLRT算法采用的是傳統(tǒng)廣義似然比檢驗(yàn)的檢測(cè)準(zhǔn)則，所以在推導(dǎo)檢測(cè)器表達(dá)式的時(shí)候，需要推導(dǎo)H1條件和H0條件下關(guān)于αmn,h的似然函數(shù)和協(xié)方差矩陣Rmn。而KA-Wald檢測(cè)器只需要推導(dǎo)H1條件下關(guān)于αmn,h的似然函數(shù)和協(xié)方差矩陣Rmn，即KA-Wald算法需要估計(jì)的未知參數(shù)更少，推導(dǎo)過程更加簡(jiǎn)單。

(2)對(duì)比式(29)和式(31)左邊可以看出，KA-Wald檢測(cè)器中檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算比KA-GLRT檢測(cè)器更為簡(jiǎn)潔，實(shí)際應(yīng)用中所需運(yùn)算量更小，計(jì)算效率更高。

5 仿真結(jié)果及分析

本章主要通過10/Pfa次獨(dú)立仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)比較：(1)傳統(tǒng)Wald檢測(cè)器與KA-Wald檢測(cè)器的檢測(cè)性能；(2)KA-GLRT檢測(cè)器和KA-Wald檢測(cè)器的檢測(cè)性能和計(jì)算效率。

假設(shè)分布式MIMO雷達(dá)的發(fā)射天線數(shù)為M=2，接收天線數(shù)為N=2。發(fā)射天線發(fā)射脈沖數(shù)L=20。參數(shù)自由度μ=24。虛警率為Pfa=10-2。脈沖重復(fù)頻率為PRF=500 Hz，信號(hào)載頻為fc=1 GHz。目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度為108 km/h。目標(biāo)所有的散射點(diǎn)信號(hào)幅度相同。先驗(yàn)信息矩陣Σ為指數(shù)形矩陣，矩陣的第i行j列元素等于ρ|i-j|，實(shí)驗(yàn)選取單元延遲相關(guān)系數(shù)ρ=0.9。

圖2是KA-Wald檢測(cè)器和傳統(tǒng)Wald檢測(cè)器在不同訓(xùn)練樣本下的檢測(cè)性能曲線。從圖2中可以看出，在小樣本的情況下，KA-Wald檢測(cè)器的檢測(cè)性能要優(yōu)于傳統(tǒng)Wald檢測(cè)器。這是因?yàn)镵A-Wald檢測(cè)器引入了先驗(yàn)信息矩陣，有效地補(bǔ)償了非均勻干擾信號(hào)環(huán)境下有限訓(xùn)練樣本數(shù)量帶來(lái)的性能損失問題，使得檢測(cè)器可以利用較少的訓(xùn)練數(shù)據(jù)獲取較好的檢測(cè)性能。

圖2 檢測(cè)率隨信噪比變化曲線(H=2)Fig.2 Probability of detection versus SNR (H=2)

圖3是KA-GRLT檢測(cè)器和KA-Wald檢測(cè)器在不同訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)下的檢測(cè)性能，圖4則表示兩種算法在不同訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)下的計(jì)算效率。

圖3 目標(biāo)檢測(cè)概率隨SNR變化曲線Fig.3 Probability of detection versus SNR

從圖3中可以看出，(1)KA-Wald檢測(cè)器和KA-GLRT檢測(cè)器的目標(biāo)檢測(cè)率都隨著信噪比的增加而提高，且上升趨勢(shì)相同；(2)KA-Wald檢測(cè)器和KA-GLRT檢測(cè)器在信噪比相同的情況下，都是訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)越多，目標(biāo)檢測(cè)概率越高；(3)KA-Wald檢測(cè)器和KA-GLRT檢測(cè)器都可以在少量訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)情況下，獲得良好的目標(biāo)檢測(cè)性能；(4)在同樣的檢測(cè)環(huán)境下(信噪比、樣本數(shù)據(jù)、擴(kuò)展目標(biāo)散射點(diǎn)數(shù))，KA-Wald算法的目標(biāo)檢測(cè)率與KA-GLRT算法幾乎保持一致，這說明本文設(shè)計(jì)的KA-Wald檢測(cè)器在檢測(cè)性能上與KA-GLRT檢測(cè)器相近。

圖4 目標(biāo)計(jì)算效率統(tǒng)計(jì)圖Fig.4 Calculation efficiency

6 結(jié)論