楊志強(qiáng) 朱秋明,2, 臺(tái) 鑫 劉 亮 陳小敏 廖志忠

(1. 南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，江蘇南京 211100；2. 英國(guó)赫瑞瓦特大學(xué)工程與物理科學(xué)學(xué)院，愛(ài)丁堡 EH14 4AS；3. 中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院，河南洛陽(yáng) 471009； 4. 中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第41研究所,山東青島 233006)

1 引言

無(wú)線信號(hào)在信道中傳播必然受到各種噪聲的干擾，進(jìn)而影響接收機(jī)信號(hào)接收的準(zhǔn)確性。研究不同傳播環(huán)境下噪聲對(duì)接收信號(hào)的影響，對(duì)無(wú)線通信系統(tǒng)的方案設(shè)計(jì)和性能評(píng)估必不可少。同時(shí)，如何在實(shí)驗(yàn)室環(huán)境下精確產(chǎn)生不同干擾噪聲，從而用于真實(shí)模擬噪聲對(duì)實(shí)際通信設(shè)備的影響變得越來(lái)越重要。鑒于實(shí)際中大部分噪聲服從高斯分布，因此如何產(chǎn)生統(tǒng)計(jì)特性好，尾巴精確度高和重復(fù)周期長(zhǎng)的高斯噪聲是近年來(lái)通信測(cè)試領(lǐng)域的研究重點(diǎn)之一[1-3]。

經(jīng)典的高斯噪聲模擬方法有基于逆變換的方法[5- 6]和基于舍棄的方法[7- 8]。需要指出的是，逆變換方法和舍棄法為非均勻隨機(jī)變量的通用產(chǎn)生方法，可以產(chǎn)生統(tǒng)計(jì)精確的高斯噪聲，但是硬件實(shí)現(xiàn)比較復(fù)雜。

中心極限理論方法是高斯隨機(jī)變量的特有產(chǎn)生方法，輸出統(tǒng)計(jì)特性略差，但原理簡(jiǎn)單且易于硬件實(shí)現(xiàn)[9-10]。諧波疊加(SoS，Sum of Sinusoids)方法[11-12]是中心極限理論方法的一種改進(jìn)，已被廣泛應(yīng)用于無(wú)線信道衰落的實(shí)時(shí)模擬。文獻(xiàn)[13]基于SoS方法提出一種非平穩(wěn)的萊斯衰落信道的仿真方法；文獻(xiàn)[14]結(jié)合FPGA硬件平臺(tái)，利用SoS方法實(shí)現(xiàn)了復(fù)合衰落的實(shí)時(shí)模擬；文獻(xiàn)[15]則基于SoS方法提出了瑞利衰落場(chǎng)景下的非平穩(wěn)MIMO信道衰落的實(shí)時(shí)仿真方法。需要指出的是，SoS方法不僅實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單靈活，而且還可以產(chǎn)生各種高斯色噪聲。本文基于課題組前期無(wú)線信道衰落模擬的研究基礎(chǔ)，提出基于SoS的方法產(chǎn)生高斯隨機(jī)變量，并借鑒Hadamard矩陣變換的思想將SoS方法產(chǎn)生的多路獨(dú)立高斯隨機(jī)變量進(jìn)行線性疊加，獲得統(tǒng)計(jì)性能更好、經(jīng)過(guò)周期擴(kuò)展的高斯噪聲，更加符合信道噪聲模擬的要求。

2 高斯噪聲模型及特性

高斯噪聲的幅值統(tǒng)計(jì)分布服從高斯分布，其概率密度函數(shù)(Probability Density Function，PDF)可表示為

(1)

式中，μ為均值，σ為標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)μ=0、σ=1時(shí)，該分布稱為標(biāo)準(zhǔn)高斯分布，即

(2)

對(duì)應(yīng)的累積分布函數(shù)為

(3)

其中，erf(·)表示誤差函數(shù)。

圖1(a)為標(biāo)準(zhǔn)PDF及其CDF的數(shù)值仿真曲線，考慮到精確的高斯仿真要求能夠精確覆蓋極低概率出現(xiàn)的區(qū)域，稱為尾巴精確度，用標(biāo)準(zhǔn)差σ來(lái)衡量[16]。我們利用對(duì)數(shù)形式給出了PDF曲線，如圖1(b)所示，該曲線可以清晰的展現(xiàn)尾巴區(qū)域的分布特性，如圖中陰影區(qū)域。實(shí)際中考慮到硬件模擬的條件及需求，一般要求硬件模擬信道噪聲的尾巴精確度達(dá)到3σ～5σ。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)高斯PDF及CDP曲線Fig.1 Standard Gaussian PDF and CDF curves

3 SoS產(chǎn)生方法及改進(jìn)

3.1 SoS原理

逆變換方法和舍棄法比較適合軟件仿真產(chǎn)生高斯隨機(jī)變量，而硬件實(shí)現(xiàn)比較復(fù)雜。中心極限理論方法是高斯隨機(jī)變量特有的產(chǎn)生方法，輸出統(tǒng)計(jì)特性略遜于前兩類，但原理簡(jiǎn)單且易于硬件實(shí)現(xiàn)。SoS方法是中心極限理論方法的一種改進(jìn)，已被廣泛應(yīng)用于無(wú)線信道衰落的實(shí)時(shí)模擬[13-15]，該方法實(shí)現(xiàn)原理如下

(4)

其中，N表示散射支路數(shù)目；fn表示各諧波頻率，φn表示各散射支路隨機(jī)分布的初始相位。則當(dāng)模型參數(shù)確定后，fn、φn為非零常數(shù)，而t可看成服從均勻分布的隨機(jī)變量。

由SoS方法可知，第n支路加權(quán)諧波可表示為

(5)

(6)

(7)

(8)

當(dāng)散射支路數(shù)N→時(shí)，根據(jù)文獻(xiàn)[18]可知

(9)

將式(9)代入式(8)中，并運(yùn)用文獻(xiàn)[18]可得

(10)

因此，當(dāng)N→時(shí)，SoS方法輸出變量的瞬時(shí)幅度服從均值為0，方差為1的高斯分布。

3.2 基于Hadamard矩陣的改進(jìn)

由于SoS方法輸出各支路為周期波形，因而疊加后產(chǎn)生的高斯隨機(jī)變量的周期為

(11)

式中，gcd(·)為表示各諧波頻率的最大公約數(shù)。利用可編程邏輯器件(Field-Programmable Gate Array，F(xiàn)PGA)硬件實(shí)現(xiàn)時(shí)，采用定點(diǎn)余弦查找表產(chǎn)生各支路諧波，此時(shí)，余弦表位寬Wcos、深度Dcos定點(diǎn)化角頻率位寬Dω對(duì)輸出序列的周期會(huì)產(chǎn)生影響，根據(jù)文獻(xiàn)[14]可知，當(dāng)2Dω>Dcos時(shí)，最終輸出序列的周期為

(12)

式中，ωi,i=1,2,…,N為諧波頻率定點(diǎn)化的結(jié)果。由于隨機(jī)變量重復(fù)周期較短，與真實(shí)環(huán)境下的信道噪聲不相匹配，且由于各諧波的加權(quán)系數(shù)相同，容易造成統(tǒng)計(jì)特性的整體偏差。

為了盡可能地模擬真實(shí)信道環(huán)境下的噪聲，本文借鑒Hadamard矩陣變換思想對(duì)傳統(tǒng)的SoS方法進(jìn)行改進(jìn)，改善輸出噪聲的統(tǒng)計(jì)特性和擴(kuò)展輸出噪聲的周期。設(shè)M行獨(dú)立同分布高斯隨機(jī)變量為

X=[x1,x2,…,xM]T

(13)

Hadamard矩陣為

H=[hi, j]M×M

(14)

為了減少硬件實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度，令H的元素為±1，且滿足

(15)

經(jīng)過(guò)Hadamard矩陣變換輸出的M行高斯隨機(jī)變量為

Y=[y1,y2,…,yM]T

(16)

三者滿足如下關(guān)系：

(17)

一旦矩陣H確定，則Y與X的關(guān)系就確定，yi與xi滿足以下關(guān)系

(18)

矩陣變換過(guò)程輸出為

(19)

本文采用SoS方法實(shí)時(shí)產(chǎn)生M行獨(dú)立同分布高斯隨機(jī)變量代替預(yù)存式的高斯隨機(jī)變量，每個(gè)高斯隨機(jī)變量由N路諧波疊加，MN個(gè)諧波的頻率各不相同，則矩陣變換后輸出的高斯隨機(jī)變量的周期可表示為

(20)

本文每隔τ,τ

(21)

式(21)的結(jié)果可看作是M行獨(dú)立同分布高斯隨機(jī)變量的線性疊加，此方法避免了矩陣變換過(guò)程導(dǎo)致各行高斯變量之間獨(dú)立性變差，可以改善輸出噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，同時(shí)又能擴(kuò)展輸出噪聲的周期，其周期遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于式(20)給出的周期。

4 數(shù)值仿真及分析

為了驗(yàn)證本文SoS改進(jìn)方法產(chǎn)生高斯隨機(jī)噪聲的性能，我們?cè)O(shè)定N分別為4，16，64，并利用上述方法進(jìn)行仿真，輸出數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為108。實(shí)際輸出高斯噪聲序列的統(tǒng)計(jì)幅值分布如圖2所示，從圖可以看出，當(dāng)N很小時(shí)，幅值統(tǒng)計(jì)分布與理論高斯分布之間的誤差較大，尾巴精確度較低，當(dāng)N增大時(shí)，兩者之間的誤差變小，且尾巴精確度提高，當(dāng)N→時(shí)，輸出噪聲的幅值統(tǒng)計(jì)分布趨向理論高斯分布。圖3則仿真比較了改進(jìn)前后兩種方法輸出的幅值統(tǒng)計(jì)性能，仿真中假設(shè)每路SoS方法的諧波數(shù)目為16，共產(chǎn)生4路獨(dú)立同分布的高斯噪聲，仿真輸出數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為108。從圖可以看出，改進(jìn)后方法的幅值統(tǒng)計(jì)分布性能優(yōu)于傳統(tǒng)SoS方法，尾巴精確度也有所提高。

圖2 不同N時(shí)的幅值統(tǒng)計(jì)分布Fig.2 Statistical distribution of amplitude at different N

圖3 傳統(tǒng)與改進(jìn)SoS方法統(tǒng)計(jì)分布比較Fig.3 Comparison of statistical distribution between traditional and improved SoS Method

另外，為了方便觀測(cè)比較不同方法輸出高斯噪聲的周期，我們?nèi)≈C波數(shù)目N=16，高斯噪聲數(shù)目M=4，余弦表深度Dcos=212和寬度Wcos=14，定點(diǎn)化頻率位寬Dω=14。從圖4(a)、(b)給出了改進(jìn)前后兩種方法輸出的周期長(zhǎng)度，由圖可看出，傳統(tǒng)的SoS方法重復(fù)周期較短，而改進(jìn)的SoS方法的重復(fù)周期得到了很好地?cái)U(kuò)展，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于傳統(tǒng)方法。

圖4 傳統(tǒng)與改進(jìn)SoS方法重復(fù)周期比較Fig.4 Repeated cycle comparison between traditional and improved SoS method

5 結(jié)論

傳統(tǒng)高斯噪聲產(chǎn)生方法輸出統(tǒng)計(jì)分布比較精確，但是硬件實(shí)現(xiàn)也比較困難。基于SoS的產(chǎn)生方法，原理簡(jiǎn)單且易于硬件實(shí)現(xiàn)，已被廣泛應(yīng)用于無(wú)線信道衰落的實(shí)時(shí)模擬。本文推導(dǎo)了SoS方法輸出隨機(jī)變量幅度的理論分布，并針對(duì)其存在輸出統(tǒng)計(jì)精度差和重復(fù)周期短的問(wèn)題，利用Hadamard矩陣變換思想對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)。數(shù)值仿真表明，改進(jìn)后方法輸出的幅值統(tǒng)計(jì)分布性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)SoS方法，尾巴精確度有所提高，重復(fù)周期也大大擴(kuò)展，比較適合于硬件實(shí)時(shí)模擬產(chǎn)生高斯噪聲。