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(1.華南理工大學(xué)汽車零部件技術(shù)國(guó)家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室,廣東 廣州 510640；2.廣汽集團(tuán)汽車工程研究院，廣東 廣州 511495)

0 引言

軌跡跟蹤控制作為智能車車輛控制的一項(xiàng)重要技術(shù)，在滿足一定的舒適性、安全性和穩(wěn)定性的前提下，軌跡跟蹤控制系統(tǒng)的目的是，通過(guò)控制行駛車輛的速度和行駛方向，使其跟蹤規(guī)劃的曲線與路徑[1]。早期研究人員以經(jīng)典 PID 控制為基礎(chǔ)，提出了一種前饋加PID反饋復(fù)合成非線性PID控制的方法[2]。后研究人員為提高PID控制的魯棒性，采用了以具有學(xué)習(xí)功能的自適應(yīng)[3]、預(yù)瞄控制[4]、模糊控制[5]、基于道路勢(shì)場(chǎng)的車道偏離自動(dòng)校正自適應(yīng)控制[6]等方法優(yōu)化PID算法。雖然PID 控制可以處理智能車輛的軌跡跟蹤問(wèn)題，但是PID控制器的參數(shù)需要通過(guò)試湊的方法獲得，因此最優(yōu)控制難以實(shí)現(xiàn)。除此之外，基于模型預(yù)測(cè)的軌跡跟蹤算法也受到研究人員的關(guān)注。比如采用非奇異終端滑模技術(shù)設(shè)計(jì)了偏航率跟蹤控制律，實(shí)現(xiàn)對(duì)變道的理想跟蹤性能[7]；在模型預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)上，結(jié)合前饋- 反饋的方式實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤控制[8]。進(jìn)一步，研究人員提出了基于遺傳優(yōu)化的智能車軌跡跟蹤模糊控制[9]、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模的軌跡跟蹤控制[10]等智能化控制算法。然而，智能化控制器大大提高了其設(shè)計(jì)和運(yùn)用時(shí)復(fù)雜程度，且控制參數(shù)對(duì)車輛狀態(tài)參數(shù)識(shí)別精度和傳感器精度要求高，計(jì)算量大，不利于實(shí)時(shí)運(yùn)用。例如模糊控制器從一輛汽車移植到另一輛不同參數(shù)的汽車時(shí)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)制定的模糊規(guī)則必須重新建立，因而可移植性較差[11]。

在此，試圖尋找一個(gè)通用性強(qiáng)的，魯棒性好的方法。線性二次型最優(yōu)控制方法是一種模型參數(shù)物理意義清晰，易于移植、抗干擾能力強(qiáng)的優(yōu)化算法，基于此，提出了一種基于線性二次型最優(yōu)控制的速度自適應(yīng)最優(yōu)軌跡跟蹤控制算法。通過(guò)建立車輛運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，進(jìn)一步分析車輛軌跡跟蹤誤差模型，基于一階泰勒展開(kāi)對(duì)誤差模型進(jìn)行線性化處理，進(jìn)而設(shè)計(jì)線性二次型最優(yōu)控制器，并將算法運(yùn)用于實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，表現(xiàn)出了較強(qiáng)的抗干擾能力。

1 軌跡跟蹤算法

一般而言，智能車循跡控制分為2個(gè)步驟：路徑規(guī)劃及軌跡跟蹤。在此，關(guān)注第2個(gè)步驟，第1個(gè)步驟由更高的決策層生成。

智能車控制結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 智能車控制結(jié)構(gòu)

本文規(guī)劃的路徑作為軌跡跟蹤的輸入，其格式為一系列帶有時(shí)間信息的車輛狀態(tài)[(xt0,yt0,θt0)(xt1,yt1,θt1)…(xt,yt,θt)…(xtf,ytf,θtf)]。(xt,yt)為t時(shí)刻車輛的期望位置；θt為t時(shí)刻車輛期望的航向角，即車輛行駛方向與橫坐標(biāo)的夾角，順時(shí)針為正。

1.1 車輛模型

本文智能車平臺(tái)車輛狀態(tài)傳感器為載波相位差分(RTK)GPS，其輸出物理量為位置、速度和方向，因此選擇汽車運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，以揭示汽車在全局坐標(biāo)系中的位移與汽車速度、橫擺角和前輪轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系。

在一系列的假設(shè)條件下，可以用一個(gè)線性二自由度的二輪車模型來(lái)代替智能汽車模型[12]。通常的假設(shè)包括：省去汽車的轉(zhuǎn)向系統(tǒng)，以前輪轉(zhuǎn)角直接作為轉(zhuǎn)向輸入；不考慮懸架，即忽略汽車的俯仰和側(cè)傾運(yùn)動(dòng)；車輛縱向車速視作定值；輪胎處于線性區(qū)；忽略地面切向力對(duì)輪胎的影響等。車輛運(yùn)動(dòng)模型如圖2所示。

圖2 車輛運(yùn)動(dòng)模型

汽車前輪中心的坐標(biāo)與汽車橫擺角和前輪轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系表示為：

(1)

前后輪坐標(biāo)的關(guān)系為：

(2)

車輛后輪輪速的關(guān)系為：

(3)

(x,y)和(xf,yf)分別為后輪和前輪中心位置；θ為車輛當(dāng)前前進(jìn)方向與橫坐標(biāo)的夾角；δ為前輪轉(zhuǎn)角；L為車輛軸距；v為車輛前進(jìn)速度。

解以上方程組，可得

(4)

1.2 誤差模型

設(shè)此時(shí)車輛跟蹤直線y=0，如圖3所示。

圖3 誤差模型

車輛系統(tǒng)輸出為(x,y,θ)。

在給定期望位置和方向(xt,yt,θt)情況下，車輛運(yùn)行的位置和方向偏差表達(dá)為：

e=[exeyeθ]T=[x-xty-ytθ-θt]T

(5)

偏差逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。由于跟蹤y=0，所以有：

(6)

根據(jù)式(4)、式(5)和式(6)，車輛軌跡跟蹤誤差動(dòng)力學(xué)模型可以表達(dá)為：

(7)

為使方程解耦，在不同的速度工況下，我們?nèi)為不同的值，以實(shí)現(xiàn)不同速度下的自適應(yīng)軌跡跟蹤。重新定義狀態(tài)變量

X=[eyeθ]T

(8)

則動(dòng)力學(xué)方程為：

(9)

當(dāng)δ和θ較小時(shí)， 有：

(10)

由式(8)和式(10)，可以得到狀態(tài)方程為：

(11)

其中

可控性矩陣

因?yàn)関>0，Rank(BAB)=2可控性矩陣是非奇異的，所以系統(tǒng)是可控的。

1.3 速度自適應(yīng)線性二次型最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)線性二次型最優(yōu)控制的基本原理，用泛函數(shù)表示跟蹤控制律性能指標(biāo)為：

(12)

積分項(xiàng)XTQdt反映了軌跡跟蹤控制過(guò)程中動(dòng)態(tài)跟蹤誤差的累積，權(quán)矩陣Q能給不同的誤差狀態(tài)變量賦予不同的加權(quán)，這一項(xiàng)反映了系統(tǒng)的控制效果；而第二個(gè)積分項(xiàng)δTRdt中的R能給控制分量賦予不同的加權(quán)。二次型指標(biāo)式極小即在模型跟蹤過(guò)程中使跟蹤參數(shù)動(dòng)態(tài)跟蹤誤差、控制能量消耗綜合最優(yōu)。

其中

(13)

R=[r]

(14)

q1，q2為權(quán)重矩陣Q的元素；r為權(quán)重矩陣R的元素。考慮到在速度較低時(shí)，系統(tǒng)處在較穩(wěn)定的運(yùn)行狀態(tài)，車輛輪胎轉(zhuǎn)角可以較大，讓車輛在安全的前提下快速響應(yīng)恢復(fù)到平衡狀態(tài)；而在高速工況時(shí)，為了防止由于較大側(cè)偏、側(cè)傾現(xiàn)象的出現(xiàn)，從而導(dǎo)致車輛乘適性和安全性降低，車輛輪胎轉(zhuǎn)角應(yīng)當(dāng)保持在較小的范圍內(nèi)調(diào)整。

因此，對(duì)于方向盤(pán)控制能量指標(biāo)權(quán)重R，應(yīng)當(dāng)與車輛系統(tǒng)速度相適應(yīng)。本文取

r=kv

(15)

k為調(diào)整系數(shù);v為車輛速度。

利用龐德亞金極小值原理，可以使為最小值的最優(yōu)控制信號(hào)δ(t)=-KX(t)；其中最優(yōu)反饋矩陣K=R-1BTp。p是黎卡提方程(16)的解：

PA+ATP-PBR-1BTP-CTQC=0

(16)

控制規(guī)律為：

δ(t)=δf-KX(t)

(17)

δf為前饋量，本文取前饋量為：

δf=arctan(Lρ)

(18)

ρ為軌跡曲率。

軌跡跟蹤算法示意如圖4所示。

圖4 控制模型

2 仿真分析

在車輛受到高斯白噪聲干擾的情況下，分別在不同速度工況下(10 km/h，20 km/h，30 km/h)對(duì)比基于距離偏差的PID控制和本文的線性二次型最優(yōu)控制軌跡跟蹤算法，結(jié)果如圖5所示。兩者的軌跡跟蹤橫向偏差的均方差結(jié)果如表1所示。

從圖5和表1分析可知，在同一工況下，基于線性二次型最優(yōu)控制的軌跡跟蹤算法具有比PID控制更小的均方差值，明顯具有更加穩(wěn)定和精確的軌跡跟蹤能力；并且隨著速度的增大，兩者的均方差值比越來(lái)越大，可見(jiàn)基于線性二次型最優(yōu)控制的速度自適應(yīng)軌跡跟蹤具有更優(yōu)良的速度適應(yīng)能力。

根據(jù)化曲為直的極限思想，曲線軌跡可以分解為多條直線段，將直線線性二次型最優(yōu)控制軌跡跟蹤控制算法拓展運(yùn)用于曲線時(shí)，跟蹤當(dāng)前位置切向的直線，并使用式(18)進(jìn)行前饋補(bǔ)償。圖6是車輛跟蹤圓弧曲線的仿真軌跡。由圖6可知，本文的算法對(duì)于曲線軌跡跟蹤也有著較好的效果。其跟蹤橫向偏差均方差為0.011 m，基本實(shí)現(xiàn)了穩(wěn)定精確的軌跡跟蹤。

圖5 線性二次最優(yōu)控制和PID直線跟蹤效果

表1 線性二次型最優(yōu)控制和PID跟蹤算法均方差對(duì)比

圖6 曲線跟蹤仿真

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

本文的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)為某自主品牌改裝的實(shí)驗(yàn)樣車，如圖 7 所示。車內(nèi)搭載一個(gè)北斗星通載波相位高精度差分GPS接收機(jī)，兩路天線輸入信號(hào)獨(dú)立跟蹤，全天候提供毫米級(jí)載波相位觀測(cè)值和厘米級(jí) RTK 定位精度。最高采樣頻率10 Hz，最高定位精度0.01 m，速度精度0.03 m/s，航向精度 0.06°。由于實(shí)驗(yàn)在開(kāi)闊場(chǎng)地進(jìn)行，從而保證解算得到的位置和航向角具有很高的精度、較好的抗干擾性和穩(wěn)定性。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)方向盤(pán)傳感器最小分辨率0.1°，范圍為±500°。

圖7 試驗(yàn)車平臺(tái)

3.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

首先進(jìn)行了10 km/h，20 km/h，30 km/h直道軌跡跟蹤測(cè)試，用于測(cè)試算法在小曲率直道不同速度下行駛時(shí)的表現(xiàn)效果；然后對(duì)S形曲線進(jìn)行了 20 km/h的彎道軌跡跟蹤測(cè)試，用于測(cè)試算法在較大曲率彎道低速行駛時(shí)的表現(xiàn)效果?？紤]到如果控制效果較差會(huì)給實(shí)車實(shí)驗(yàn)時(shí)帶來(lái)一定危險(xiǎn)性，本文并未實(shí)施PID控制軌跡跟蹤實(shí)車實(shí)驗(yàn)。

直道軌跡跟蹤效果如圖8所示。其不同速度工況下的跟蹤均方差和誤差絕對(duì)值平均值如表2所示。

表2 直道跟蹤方差和誤差均值

從表2分析可知，軌跡跟蹤均方差和誤差絕對(duì)值均值均保持在厘米數(shù)量級(jí)的水平，算法表現(xiàn)出了良好的魯棒性和精確的軌跡跟蹤能力。從圖8分析可知，在低速工況時(shí)，車輛軌跡跟蹤在較小范圍內(nèi)波動(dòng)，表現(xiàn)出了快速的響應(yīng)和收斂能力；隨著速度的不斷增加，雖然波動(dòng)的幅度逐漸增加，但仍保持在小范圍內(nèi)，波動(dòng)趨緩，保證了高速運(yùn)動(dòng)時(shí)的乘適性和安全性。

圖9是車輛在S形曲線以20 km/h的速度跟蹤行駛時(shí)的軌跡曲線，其跟蹤的橫向偏差均方差值為0.136 m，可見(jiàn)算法對(duì)于曲線工況也有較好的應(yīng)用效果，在大曲率跟蹤時(shí)表現(xiàn)出穩(wěn)定的跟蹤性能。

圖8 直線路段跟蹤曲線

圖9 S形路段跟蹤曲線

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)在仿真和真實(shí)道路環(huán)境下進(jìn)行了軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果表明， 算法能夠適用于小曲率直道跟蹤和大曲率曲線跟蹤等不同場(chǎng)景，并且表現(xiàn)出了穩(wěn)定和精確的跟蹤能力；由于算法對(duì)不同速度工況下做了最優(yōu)反饋的自適應(yīng)調(diào)節(jié)，因此在大部分工況特別是高速下表現(xiàn)出安全穩(wěn)定的軌跡跟蹤性能。