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(哈爾濱工業(yè)大學(xué)機器人技術(shù)與系統(tǒng)國家重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150080)

0 引言

空間機械臂憑借其在復(fù)雜空間環(huán)境下高效可靠地執(zhí)行一系列高難度在軌任務(wù)的能力，在人類太空探索的進程中發(fā)揮著越來越重要的作用。冗余自由度機械臂由于具有靈活操作的優(yōu)勢，已成功應(yīng)用于絕大多數(shù)的空間機械臂系統(tǒng)。

軌跡規(guī)劃是機械臂運動控制的基礎(chǔ)，是指在運動學(xué)和動力學(xué)約束的基礎(chǔ)上，對機械臂的運動軌跡進行規(guī)劃。所謂運動軌跡，是指機械臂在運動過程中的位移、速度和加速度[1]。軌跡規(guī)劃的結(jié)果將直接影響機械臂的各項性能指標，考慮到空間機械臂的應(yīng)用環(huán)境，通常期望的空間機械臂性能指標為：1)時間消耗最短[2]，盡可能提高空間機械臂的工作效率；2)能量消耗最少[3]，滿足空間機械臂長時間在軌工作的要求；3)軌跡沖擊最小[4]，有利于提高運動軌跡的平滑性，保護機械結(jié)構(gòu)。實際應(yīng)用中，通常需要將以上幾個優(yōu)化目標綜合考慮，使機械臂的軌跡規(guī)劃達到整體最優(yōu)的效果。

文獻[5]使用三次多項式曲線連接相鄰的路徑點，通過基因環(huán)境雙演化免疫克隆算法(EGICA)，對機械臂的時間消耗和能量消耗指標進行綜合優(yōu)化。文獻[6]采用三次樣條曲線構(gòu)造機械臂的運動軌跡，將時間消耗和衡量軌跡沖擊性的關(guān)節(jié)脈動平方值組合成新的優(yōu)化目標，考慮機械臂的運動學(xué)約束條件，使用序列二次規(guī)劃方法(SQP)得到了優(yōu)化的運動軌跡。為實現(xiàn)啟停時刻的運動學(xué)參數(shù)可指定，文獻[7]采用七次B樣條曲線構(gòu)造機械臂的運動軌跡，但計算過程比較復(fù)雜。

在此，首先采用三次均勻B樣條曲線構(gòu)造速度和加速度都連續(xù)的空間機械臂關(guān)節(jié)軌跡。然后分別以機械臂運動的時間消耗、能量消耗和軌跡沖擊性作為3個相互獨立的優(yōu)化目標，以機械臂的關(guān)節(jié)位移、速度、加速度和關(guān)節(jié)力矩的限制作為約束條件，建立空間機械臂多目標綜合軌跡規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型。最后使用帶精英策略的非支配排序遺傳算法(NSGA- II)進行模型求解。

1 機械臂關(guān)節(jié)空間軌跡構(gòu)造

當考慮機械臂的性能指標優(yōu)化時，軌跡規(guī)劃通常在關(guān)節(jié)空間中進行。由于B樣條曲線可以分段處理，具有良好的局部支撐性，本節(jié)采用B樣條曲線來構(gòu)造空間機械臂的關(guān)節(jié)空間軌跡。

1.1 B樣條曲線理論基礎(chǔ)

k次B樣條曲線的表達式為[8]：

(1)

di(i=0,1,…,n)為曲線的控制頂點，又稱德布爾點。通常為了得到經(jīng)過給定路徑點(又稱型值點)Pj(j=0,1,…,m)，m=n+1-k的關(guān)節(jié)軌跡，需要反求出B樣條曲線的控制頂點。Ni,k(u)稱為k次規(guī)范B樣條基函數(shù)，其中每一個稱為規(guī)范B樣條，簡稱B樣條。它是由一個稱為節(jié)點矢量的非遞減的參數(shù)u的序列U：u0≤u1≤…≤ui+k+1所決定的k次分段多項式，也即k次多項式樣條。Ni,k(u)的雙下標中，k表示次數(shù)，i表示序號。B樣條有多種不同形式的等價定義，本文采用德布爾- 考克斯遞推公式[9]定義，其表達式為：

(2)

該遞推公式表明，欲確定第i個k次B樣條，需要用到ui,ui+1,…,ui+k+1共k+2個節(jié)點，故稱區(qū)間[ui,ui+k+1]為Ni,k(u)的支撐區(qū)間。

1.2 三次均勻B樣條曲線構(gòu)造

為了得到速度和加速度連續(xù)的關(guān)節(jié)軌跡，在此，采用三次均勻B樣條曲線構(gòu)造空間機械臂的關(guān)節(jié)軌跡。所謂“均勻”是指節(jié)點矢量中的節(jié)點沿參數(shù)軸均勻或等距分布，所有節(jié)點區(qū)間長度一致Δi=ui+1-ui=Δ>0(i=0,1,…,n+k)，其中Δ為某一確定的常數(shù)[10]。由B樣條曲線方程可知,當k=3，i=0,1,2,3時,三次均勻B樣條曲線基函數(shù)分別為：

(3)

將式(3)代入式(1)可得用矩陣形式表示的三次均勻B樣條曲線方程為：

(4)

其中，u∈[0,1]。

空間機械臂關(guān)節(jié)軌跡的構(gòu)造過程是在多個給定的相鄰型值點之間分別插入一段B樣條曲線，又已知型值點的值為式(4)中Pi取u=0時的值，即：

di+4di+1+di+2=6Pi(i=0,1,…,n-2)

(5)

以上共n-1個方程，再補充2個條件[11]：

長江天鵝洲白鱀豚國家級自然保護區(qū)于 1992年經(jīng)國務(wù)院批準建立，轄長江89 km石首江段和天鵝洲故道，該區(qū)域生態(tài)環(huán)境的優(yōu)劣直接關(guān)系到生活于其中的保護動物如白鱀豚（Lipotes vexillifer）和江豚（Neophocaena asiaeorientalis）等棲息環(huán)境的好壞，進而影響其種群的正常繁衍和維系。本研究以湖北石首長江天鵝洲白鱀豚國家級自然保護區(qū)附近長江河段（89 km）為研究對象，采用多元統(tǒng)計方法，研究該河段浮游動植物群落結(jié)構(gòu)及季節(jié)變化，探討浮游動植物之間的相互關(guān)系，為該區(qū)域生態(tài)系統(tǒng)保護與研究工作提供基礎(chǔ)資料和科學(xué)依據(jù)。

d0=d1,dn-1=dn

(6)

由式(5)和式(6)即可求出三次均勻B樣條曲線的所有n+1個控制頂點di(i=0,1,…,n)。

2 多目標軌跡規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型

本節(jié)建立空間機械臂多目標軌跡規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型，包括目標函數(shù)和約束條件2部分內(nèi)容。

2.1 目標函數(shù)

所研究的空間機械臂有7個關(guān)節(jié)，假設(shè)對于機械臂的第n(n=1,2,…,7)個關(guān)節(jié)，分別給定m+1個關(guān)節(jié)軌跡的型值點Pnj(j=0,1,…,m)，這些型值點將機械臂每個關(guān)節(jié)的運動軌跡都分為m段。考慮空間機械臂在實際應(yīng)用中的需求，定義如下3個優(yōu)化目標[12]：

(7)

(8)

(9)

2.2 約束條件

在空間機械臂多目標軌跡規(guī)劃的過程中，考慮將機械臂的關(guān)節(jié)位移、速度、加速度和關(guān)節(jié)力矩的限制條件作為軌跡規(guī)劃的約束條件：

(10)

3 多目標綜合優(yōu)化問題求解

本節(jié)采用NSGA- II算法求解機械臂的關(guān)節(jié)軌跡，獲得空間機械臂的多目標綜合軌跡規(guī)劃問題的Pareto最優(yōu)解集。相比較傳統(tǒng)的加權(quán)系數(shù)法，采用這種方法進行綜合目標優(yōu)化問題求解可以獲得一個最優(yōu)解的集合，而不是單獨的一個優(yōu)化解，用戶可以根據(jù)使用需求在這個集合中選擇期望的最優(yōu)解。

3.1 Pareto最優(yōu)解集的定義

首先給出幾項關(guān)于Pareto最優(yōu)解集的定義。

a. Pareto支配關(guān)系。以目標函數(shù)最小化問題為例，對于具有n個目標分量的最小化多目標向量F(X)=(f1(X)，f2(X),…,Fn(X))，任意給定2個決策變量xu,xv∈X(可行解集合)，當且僅當，?i∈{1,2,…,n}，fi(xu)

b. Pareto最優(yōu)解集。在整個解空間中均不被其他解支配的所有解構(gòu)成的集合，稱為Pareto最優(yōu)解集。Pareto最優(yōu)解具備一個特點：即無法在改進任意一個目標函數(shù)的優(yōu)化值時，不削弱其他至少一個目標函數(shù)的優(yōu)化值，即在保證不削弱其他的優(yōu)化目標的情況下，該目標是最優(yōu)的。

c. Pareto最優(yōu)前沿。對于組成Pareto最優(yōu)解集的所有Pareto最優(yōu)解，其對應(yīng)的目標空間中的目標函數(shù)向量所構(gòu)成的曲面稱作Pareto最優(yōu)前沿。

3.2 基于NSGA- II算法的Pareto最優(yōu)解集求解

2002年，Deb提出了帶精英策略的非支配排序遺傳算法(NSGA- II)[13]，成為一種廣泛應(yīng)用的多目標綜合優(yōu)化問題求解方法。NSGA- II采用快速非支配排序機制，驅(qū)使搜索過程快速收斂到Pareto最優(yōu)前沿；同時通過引入精英保留策略，擴大采樣空間，將父代種群與其產(chǎn)生的子代種群組合，共同參與競爭產(chǎn)生下一代種群，這樣更有利于種群中的優(yōu)良個體進入下一代，從而提高種群的整體水平；同時定義了擁擠度和擁擠度比較算子，保證Pareto最優(yōu)解集具有良好的多樣性。NSGA- II的算法流程如圖1所示。

圖1 NSGA- II算法流程

4 仿真驗證

本節(jié)對空間機械臂進行多目標軌跡規(guī)劃仿真驗證研究，首先給出空間機械臂各個關(guān)節(jié)的軌跡型值點和軌跡規(guī)劃的約束條件，然后考慮機械臂的時間消耗、能量消耗和軌跡沖擊性3個指標因素進行多目標綜合優(yōu)化。最后使用NSGA- II算法進行空間機械臂的多目標綜合優(yōu)化問題求解。

4.1 優(yōu)化問題的描述

本文研究對象為“3- 1- 3”構(gòu)型的七自由度的冗余空間機械臂，且所有關(guān)節(jié)均為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，其連體坐標系如圖2所示，其動力學(xué)參數(shù)如表1所示。假設(shè)給定空間機械臂執(zhí)行某次任務(wù)時的關(guān)節(jié)軌跡型值點和機械臂各個關(guān)節(jié)的運動學(xué)和動力學(xué)約束條件如表2所示。

采用三次均勻B樣條曲線構(gòu)造空間機械臂的關(guān)節(jié)軌跡，將以上機械臂各個關(guān)節(jié)的軌跡型值點代入式(5)和式(6)中，即可求得機械臂各個關(guān)節(jié)軌跡的控制頂點，將其列于表3中。然后可分別求得機械臂各個關(guān)節(jié)軌跡的位移、速度和加速度，進而通過逆動力學(xué)算法求得機械臂的各個關(guān)節(jié)力矩，由此可建立空間機械臂軌跡規(guī)劃的各項約束條件。

圖2 七自由度冗余空間機械臂連體坐標系

表1 七自由度冗余空間機械臂動力學(xué)參數(shù)

表2 機械臂各關(guān)節(jié)軌跡的型值點和約束條件

表3 機械臂各關(guān)節(jié)軌跡的控制頂點

4.2 NSGA- II算法的設(shè)計

針對以上所描述的空間機械臂多目標綜合軌跡規(guī)劃問題，設(shè)計NSGA- II算法進行計算求解：以機械臂通過各段軌跡的運行時間作為決策變量，各決策變量之間相互獨立；以機械臂各個關(guān)節(jié)的位移、速度、加速度和關(guān)節(jié)力矩作為約束條件；以機械臂某段軌跡的時間消耗、能量消耗和軌跡沖擊性作為3個相互獨立的優(yōu)化目標。采用浮點數(shù)編碼方式，采用算數(shù)交叉算子和高斯變異算子，設(shè)計NSGA- II算法的主要運行參數(shù)如表4所示。

表4 NSGA- II算法的主要參數(shù)設(shè)計

4.3 多目標綜合優(yōu)化結(jié)果及分析

本節(jié)使用NSGA- II算法對空間機械臂多目標綜合優(yōu)化問題進行求解(為了排除機械臂運動速度極端慢的不合理情況，除機械臂自身的運動學(xué)和動力學(xué)約束外，另外設(shè)定機械臂的總運動時間最多不超過100 s的條件)?？紤]機械臂的時間消耗、能量消耗和軌跡沖擊3個優(yōu)化目標，采用NSGA- II算法計算求解獲得的Pareto最優(yōu)前沿如圖3所示。

圖3 空間機械臂軌跡規(guī)劃的Pareto最優(yōu)前沿

圖3中，Pareto最優(yōu)前沿上的A點代表時間消耗最小，但能量消耗和軌跡沖擊性最大的解；B點代表時間消耗最大，但能量消耗和軌跡沖擊性最小的解。另外，圖3清晰地展現(xiàn)了時間消耗、能量消耗和軌跡沖擊性3個性能指標的相關(guān)關(guān)系：能量消耗指標和軌跡沖擊性指標呈正相關(guān)關(guān)系，它們共同與時間消耗指標呈負相關(guān)關(guān)系。

由于空間機械臂的多個性能指標相互之間存在矛盾，采取折中的策略，即選取Pareto最優(yōu)前沿上A點和B點之間的C點作為空間機械臂多目標綜合優(yōu)化問題的工程解，該點的性能指標值為：運行時間為52.887 s；關(guān)節(jié)平均加速度為2.113 (°)/s2；關(guān)節(jié)平均脈動為0.555 (°)/s3。對應(yīng)的機械臂關(guān)節(jié)軌跡時間變量取值為：Δt1=7.528 s；Δt2=10.428 s；Δt3=11.273 s；Δt4=13.317 s；Δt5=10.341 s。由以上求解結(jié)果即可獲得機械臂各個關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度曲線，結(jié)合逆動力學(xué)計算方程，也可獲得機械臂各個關(guān)節(jié)的力矩變化曲線。將以上結(jié)果用圖4表示，其中圖上的虛線表示機械臂的對應(yīng)約束條件所限定的最大值。

圖4 機械臂關(guān)節(jié)位移- 速度- 加速度- 力矩變化曲線

5 結(jié)束語

對七自由度冗余空間機械臂進行了多目標綜合軌跡規(guī)劃研究，主要研究結(jié)論有：

a.通過三次均勻B樣條曲線可以構(gòu)造速度和加速度都連續(xù)的空間機械臂關(guān)節(jié)空間軌跡，且具有較高的計算效率。

b.采用NSGA- II算法求解冗余自由度空間機械臂多目標軌跡規(guī)劃問題，可以獲得良好的Pareto最優(yōu)解集，并且機械臂各個關(guān)節(jié)的位移、速度、加速度和力矩變化都處于安全區(qū)間內(nèi)，且不存在突變的情況，這在工程上是安全可靠的。

c.用戶根據(jù)使用需求在Pareto最優(yōu)解集內(nèi)選取工程解，可以獲得滿足期望的機械臂運動軌跡，并且此時機械臂的多個性能指標能夠達到綜合最優(yōu)的狀態(tài)。