李秀梅

摘 要 學(xué)生們在解決極坐標(biāo)方程在解決與焦點(diǎn)有關(guān)的圓錐曲線問題時(shí)，需靈活運(yùn)用極坐標(biāo)方程與圓錐曲線問題。

關(guān)鍵詞 高考；圓錐曲線；極坐標(biāo)方程

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）31-0219-01

近五年高考全國卷每年出一道大題考查極坐標(biāo)、參數(shù)方程或絕對值不等式，大部分學(xué)生選擇極坐標(biāo)參數(shù)方程，解題方法都是把極坐標(biāo)參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)求解，不僅解題過程繁瑣，也失去了考查極坐標(biāo)參數(shù)方程的目的。其實(shí)極坐標(biāo)方程在解決直角坐標(biāo)系下與焦點(diǎn)有關(guān)的圓錐曲線問題中有廣泛的應(yīng)用。

一、圓錐曲線的極坐標(biāo)方程

橢圓、雙曲線、拋物線可以統(tǒng)一定義為：平面內(nèi)到一個定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離與到一條定直線（準(zhǔn)線）的距離的比等于常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡。以橢圓的左焦點(diǎn)（雙曲線的右焦點(diǎn)、拋物線的焦點(diǎn)）為極點(diǎn)，過點(diǎn)F作相應(yīng)準(zhǔn)線的垂線，垂足為K，以FK的反向延長線為極軸建立極坐標(biāo)系。

橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程為： 。其中p是定點(diǎn)F到定直線的距離，p>0，當(dāng)0

當(dāng)e>1時(shí)，方程表示雙曲線，若ρ>0，方程只表示雙曲線右支，若允許ρ<0，方程就表示整個雙曲線；當(dāng)e=1時(shí)，方程表示開口向右的拋物線。

二、圓錐曲線極坐標(biāo)方程的應(yīng)用

（一）焦點(diǎn)弦問題

【典例1】（2008年海南卷）過橢圓 的焦點(diǎn) 作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求 的面積。

簡解：首先極坐標(biāo)方程中的焦點(diǎn)弦長公式 求弦長，然后利用公式 直接得出答案。

注：用直角坐標(biāo)求弦長過程比較煩雜（請參考高考解析）。

【典例2】（2009理科12文12）已知橢圓 的右焦點(diǎn)為 ，右準(zhǔn)線為 ，點(diǎn) ，線段AF交C于點(diǎn)B，若 ，則 =（ ）

A. B. C. D.

解析：選取右焦點(diǎn) 為極點(diǎn)，由題意知： = 設(shè)AF與X軸所成的角為 ，由極坐標(biāo)方程可得 ，又因?yàn)?所以， ，解得 ，所以 。

（二）定值問題

【典例1】經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)作兩條相互垂直的弦AB和弦CD，求證 為定值。

證明：以橢圓的左焦點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，此時(shí)橢圓的極坐標(biāo)方程為 ，又設(shè) 則代入可得 ， ，則

注：此公式對拋物線也成立，但對雙曲線不成立，注意使用的范圍。

【典例2】（2007重慶理改編）中心在原點(diǎn) 的橢圓 ，點(diǎn) 是其左焦點(diǎn)，在橢圓上任取三個不同點(diǎn) 使 。證明： 為定值，并求此定值。

解析：以點(diǎn) 為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為： ，設(shè)點(diǎn) 對應(yīng)的極角為 ，則點(diǎn) 與 對應(yīng)的極角分別為 、 ， 、 與 的極徑就分別是 、 與

因此 ，而在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們知道 ，因此 為定值。

點(diǎn)睛：在極坐標(biāo)系中 、 、 分別對應(yīng)一個極角，而在解析幾何中，焦半徑對應(yīng)多個參數(shù)的二次關(guān)系，這就是極坐標(biāo)解圓錐曲線問題的優(yōu)點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]語數(shù)外學(xué)習(xí).中學(xué)數(shù)學(xué)月刊.