季元進， 任利惠， 周勁松

(同濟大學(xué) 鐵道與城市軌道交通研究院， 上海 201804)

Translohr有軌電車是一種采用中央鋼輪鋼軌導(dǎo)向的新型膠輪有軌電車系統(tǒng)，其中間的導(dǎo)向裝置由2個鋼制車輪斜置分布，在預(yù)壓彈簧的作用下使導(dǎo)向輪的踏面部分與鋼軌的兩側(cè)接觸，從而對車輛進行導(dǎo)向控制(見圖1)。導(dǎo)向輪安裝時將輪緣部分放置在鋼軌的下部，保留一定間隙，不影響車輛正常行駛，且可以有效防止脫軌[1-2]。

上海張江的Translohr有軌電車經(jīng)過一段時間運行后，導(dǎo)向輪的輪緣出現(xiàn)了明顯的磨損，同時在半徑25 m曲線上，導(dǎo)向軌的內(nèi)側(cè)軌腰部位出現(xiàn)嚴重的側(cè)磨現(xiàn)象[3-4]。文獻[3]結(jié)合實際線路的磨耗情況，用動力學(xué)建模的輪軌簡化等效力學(xué)模型，分析了不同速度、不同曲線下輪軌的接觸狀態(tài)。但是上述文獻的模型對輪軌簡化成多點彈簧，預(yù)先定義的輪軌接觸點并不能反應(yīng)出實際接觸點的位置，更不能反映出輪軌蠕滑狀態(tài)。為了更真實地研究Translohr有軌電車導(dǎo)向輪軌之間接觸狀態(tài)和磨耗規(guī)律，需要對Translohr有軌電車導(dǎo)向輪軌接觸關(guān)系進行更深入的分析。

目前對于輪軌幾何接觸的算法主要有2種：軸向切片法和跡線法。跡線法采用數(shù)學(xué)方法描述輪軌的幾何外型，依據(jù)空間位置的變化計算接觸點，這些點形成一個空間三維曲線，再利用二維方法即可求解[5]。軸向切片法是采用一定間隔的垂直于鋼軌截面的平面去切割車輪的外型，計算每個截面下輪軌的法向間隙，尋求所有截面下的最小間距即為此時的輪軌接觸點[6]。對于輪軌之間的多點接觸問題，Piotrowski等提出了輪軌接觸虛擬滲透理論來分析輪軌多點接觸問題，并研究了非剛體接觸條件下輪軌非橢圓接觸斑的方法[7]；還提出了條狀法，將接觸區(qū)域劃分為多個條狀單元，應(yīng)用Hertz接觸理論來計算多點接觸時輪軌法向力和切向蠕滑力[8]。舒興高等開發(fā)了一個輪軌2點接觸的精確數(shù)值解法，由輪軌接觸區(qū)域的滲透量來確定2點接觸的存在條件和影響系數(shù)[9]。曾宇清等利用輪對的旋轉(zhuǎn)體特性，推導(dǎo)了輪對在不同投影下底部輪廓的計算公式，給出了輪軌三維接觸幾何關(guān)系的求解方法[10]。任尊松等結(jié)合接觸跡法，采用輪軌接觸距離的一階和二階導(dǎo)數(shù)來判斷發(fā)生輪軌多點接觸的條件[11]。利用輪對切片投影法計算輪軌接觸點時，切片的間距直接影響到計算的精度，楊新文等利用接觸范圍不斷縮小的方法以精確找到接觸點[12]。

上述方法討論的輪軌外型，對于任意橫坐標都有惟一確定的縱坐標與其對應(yīng)，輪軌幾何外形之間具有確定的映射關(guān)系。對于Translohr有軌電車的導(dǎo)向輪軌，其幾何外形在橫向和垂向坐標上，并不具有上述一一對應(yīng)的映射關(guān)系，現(xiàn)有方法并不能直接應(yīng)用以解決這個非映射輪軌關(guān)系。

1 輪軌接觸幾何參數(shù)的計算

1.1 輪軌接觸求解思路

在輪軌空間幾何接觸的跡線法和軸向切片投影法中，都是將輪軌作剛性接觸處理，考慮車輪和鋼軌為剛體，沒有彈性。對于傳統(tǒng)輪軌系統(tǒng)的車輛，給定輪軌型面，對于每一組橫移量y和搖頭角α值，對應(yīng)惟一一組滿足剛性接觸條件的垂向位移z和側(cè)滾角φ值。自由度z、φ和其他接觸參數(shù)可通過文獻[6]所述的算法進行迭代計算得到，它們都是關(guān)于y、α的函數(shù)，與y、α具有明確的一一映射關(guān)系。因此以自由度y、α為變量，可以創(chuàng)建一個輪軌二維接觸數(shù)表。

上述跡線法和軸向切片投影法針對傳統(tǒng)鐵路輪軌關(guān)系一般性研究是適用的，但并不適合Translohr有軌電車。Translohr有軌電車的導(dǎo)向軌為倒V形狀，一般情況下，左右導(dǎo)向輪的踏面在預(yù)壓力的作用下與導(dǎo)向軌的2個斜面接觸(見圖2(a))，當橫向力較大時，一側(cè)導(dǎo)向輪的踏面和輪緣會與導(dǎo)向軌上斜面和下斜面接觸，另一側(cè)導(dǎo)向輪的踏面與導(dǎo)向軌上斜面接觸，呈現(xiàn)出三點接觸的狀態(tài)(見圖2(b))。另外，由于車輛的載荷由走行輪胎承受，施加在導(dǎo)向輪上的正壓力很小(約800 N)，當導(dǎo)向輪受到較大的激擾時可能跳起，即出現(xiàn)導(dǎo)向輪與導(dǎo)向軌不接觸的狀態(tài)(見圖2(c))，或者左右導(dǎo)向輪與導(dǎo)向軌2個下斜面同時接觸的現(xiàn)象(見圖2(d))。

Translohr有軌電車的導(dǎo)向輪相對導(dǎo)向軌存在垂向、橫向、側(cè)滾和搖頭4個自由度，造成兩者之間存在多種多點接觸狀態(tài)。使用假設(shè)剛性接觸處理這些接觸狀態(tài)是非常困難的。這是因為：假設(shè)剛性接觸中非獨立變量自由度為獨立自由度，輪軌之間的接觸狀態(tài)不再總是一種接觸狀態(tài)；即使當4個獨立自由度的值確定時，也會在輪軌上形成一個或多個接觸區(qū)，使用假設(shè)剛性接觸不能找到某一特定自由度組合下形成的輪軌接觸區(qū)的位置。

根據(jù)Translohr有軌電車導(dǎo)向輪軌的幾何外形特點，本文運用輪對切片投影法針對特殊輪軌型面接觸求解接觸點，通過坐標變換，將導(dǎo)向輪和導(dǎo)向軌非映射的輪軌幾何關(guān)系轉(zhuǎn)換成為映射關(guān)系。針對多點接觸問題，本文借鑒輪軌接觸滲透量方法，將輪軌接觸按照彈性接觸方法處理。對于法向力部分的求解采用Hertz理論，而切向部分則參考Kalker簡化理論模型，并應(yīng)用這一方法得到輪軌接觸多維度表。

1.2 輪軌接觸幾何參數(shù)計算

眾所周知，鋼軌在縱向上的外形輪廓是一樣的，類似Translohr的導(dǎo)向軌，在軌道坐標系Oxyz中，部分橫坐標y對應(yīng)2個縱坐標z，不利于后續(xù)插值計算接觸點的位置。如果將軌道坐標系繞x軸旋轉(zhuǎn)90°，這樣就可以把軌道坐標系Oxyz切換到右軌道坐標系Oxryrzr下，此時橫向和垂向是一一對應(yīng)的。

車輪與鋼軌定義有所不同，在車輪的坐標系Gwx″y″z″中(圖4)，作x″=0的平面切割車輪的輪廓，交線即為車輪的主輪廓線。再用平面x″=xi″(i=1,2,…,n)分別切割車輪的外形，于是可以畫出n個輪廓外形。

從圖4中可以看出，在輪對坐標系Gwx″y″z″中，切割車輪得到的輪廓線在靠近輪緣的位置，橫坐標并非只有惟一確定的一個縱坐標和其對應(yīng)，所以需要引入車輪坐標系Gwx′y′z′，則車輪坐標系與輪對坐標系關(guān)系為

( 1 )

由于車輪在輪廓線上任意點的縱坐標可以依據(jù)與主輪廓線上橫坐標相同的縱坐標求得

( 2 )

( 3 )

利用輪對軸向切片法計算輪軌接觸點時，縱向間距的選擇對計算接觸參數(shù)的影響至關(guān)重要。文獻[12]研究發(fā)現(xiàn)，為平衡計算的精度和計算工作量，在做縱向劃分時只需要考慮主軸前后八分之一直徑的范圍。

2 輪軌力的計算

2.1 輪軌法向力的計算

為求解三維彈性接觸問題，可根據(jù)上述4個獨立自由度值(y,α,z,φ)確定車輪外形與鋼軌外形的相對位置。為了描述車輪和鋼軌型面，將車輪和鋼軌離散成一些點，這些點可以通過樣條函數(shù)插值得到。通過求解車輪和鋼軌間距，確定輪軌可能接觸區(qū)的位置。在每個可能的接觸區(qū)，計算出車輪與鋼軌之間的法向最大壓縮量δ，見圖5。

當已知法向最大壓縮量δ、接觸點處輪軌曲率半徑和材料彈性常數(shù)后，可利用Hertz接觸理論計算出產(chǎn)生此壓縮量對應(yīng)的法向力，法向力和壓縮量呈非線性關(guān)系，即

( 4 )

式中：P為輪軌法向力；Rwx、Rwy分別為車輪縱向和橫向曲率半徑；Rrx、Rry分別為鋼軌縱向和橫向曲率半徑；υ1，υ2分別為車輪和鋼軌的泊松比；E1、E2分別為車輪和鋼軌材料的彈性模量；G為材料剪切模量；m、n、K(e)是橢圓積分有關(guān)的參數(shù)，可以通過查表得到。

當出現(xiàn)如圖6所示的多點接觸情況時，以一個x軸向的切片為例，踏面的外形函數(shù)為F(y)，鋼軌的外形函數(shù)為G(y)，則定義接觸點函數(shù)C(y)為

C(y)=F(y)-G(y)

( 5 )

求解接觸點的個數(shù)及區(qū)域，接觸定義域為[a,b](a、b為鋼軌旋轉(zhuǎn)后的左右界限值)，因為踏面外形與鋼軌外形都是連續(xù)函數(shù)，則C(y)也是連續(xù)函數(shù)，對此鄰域內(nèi)任一點y(y≠y0)，均有C(y)C(y0)，則稱C(y0)是函數(shù)C(y)的一個極小值。求解函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)，找出導(dǎo)數(shù)值為0的點(駐點)。確定接觸點個數(shù)的充分條件是：(1)求解C(y)的所有的極值點；(2)極值點的函數(shù)值小于0。但是極值點所在的位置并不是接觸點所在的位置，因為滲透量是指法向最大壓縮量。因此求解函數(shù)C(y)所有的零點，即如圖6中所示的點(y1，0)、(y2，0)、(y3，0)、(y4，0)，再依據(jù)極值點的區(qū)域判斷接觸范圍為[y1，y2]和[y3，y4]。計算接觸范圍內(nèi)法向間隙C(y)最大值，輪軌法向力的求解方法與單點接觸一樣。

2.2 輪軌切向力的計算

2.2.1 輪軌蠕滑率

( 9 )

依據(jù)蠕滑率定義得到

(10)

2.2.2 輪軌蠕滑力

輪軌蠕滑力計算參考Kalker快速計算簡化理論模型[13-14]。假設(shè)接觸區(qū)中的任一點作用力和該點的彈性位移有關(guān)，定義3個柔度系數(shù)分別為Lx，Ly和Lz，其中切向力的2個分量可以表示為

(11)

2.2.3 接觸數(shù)表

三維模型的掃描區(qū)域大，如果進行實時數(shù)據(jù)交互的動力學(xué)仿真，則需要耗費大量時間。本文采用的方法是創(chuàng)建一個可供插值的多維數(shù)表，通過存在的4個自由度(包括y、α、z和φ)的所有組合計算出四維數(shù)表。進行數(shù)據(jù)插值時，輪對相對于軌道的位置與接觸斑處的壓縮量有直接對應(yīng)關(guān)系，壓縮量可由線性插值得到。而法向力是關(guān)于δ3/2的函數(shù)，橢圓半軸大小是關(guān)于δ1/2的函數(shù)，均與δ呈非線性關(guān)系，可將其分別轉(zhuǎn)為關(guān)于δ3/2和δ1/2的線性關(guān)系，有利于提高計算結(jié)果的精度。另外，為了更高效的插值計算，減小計算時間，也可以將左右導(dǎo)向輪踏面和輪緣接觸做成4個獨立的數(shù)表，依據(jù)輪對的y、α、z和φ，分別得到踏面和輪緣的接觸參數(shù)值。

3 算例

3.1 Translohr有軌電車的踏面和鋼軌廓型

圖9給出了Translohr有軌電車的輪軌外型。導(dǎo)向軌外形類似六邊形，其輪廓是由一段R100 mm、4段R5 mm、2段R65 mm的圓弧加直線段構(gòu)成。導(dǎo)向軌總寬度為49 mm，總高度為53.6 mm。導(dǎo)向輪的踏面主要由直線段、R50 mm和R5 mm曲線組成，車輪寬40 mm，輪緣高度為9 mm，輪緣厚度為7 mm。

本文采用基于MATLAB/SIMULINK建立的Translohr有軌電車的動力學(xué)模型，整體車輛共計15個剛體，每個剛體具有浮沉、點頭、橫移、搖頭和側(cè)滾5個自由度，共計75個自由度[15]。

3.2 輪軌力計算結(jié)果

本文數(shù)表的輸入是y、α、z和φ，輸出是每個車輪上的接觸點個數(shù)、每個接觸區(qū)中心點處的坐標、接觸角、法向力、接觸斑處的壓縮量、接觸橢圓的大小以及接觸斑處的曲率半徑。根據(jù)參考文獻[3]簡化模型的結(jié)果，輪對的橫向位移不超過160 mm。若以輪對質(zhì)心作為參考坐標，則橫向計算范圍較大，增加計算量。輪軸的質(zhì)心高度是500 mm，為了減少計算范圍，將輪對參考坐標系移動到鋼軌10 mm以上的頂部。此時，輪軸橫向位移不超過3 mm，可確定y的范圍為-3～3 mm。車輛通過R25 m曲線時，輪對最大搖頭角0.14 rad，確定α范圍為-0.15～ 0.15 rad。輪對最大側(cè)滾角為0.32 rad，確定φ的范圍為-0.4～0.4 rad。最大垂直位移小于1 mm，確定z的范圍從0～1 m。4自由度的組合數(shù)目為60×30×10×80。

按照上述流程創(chuàng)建Translohr導(dǎo)向輪軌的接觸狀態(tài)和輪軌力數(shù)表。圖10～圖12給出了垂向位移為3 mm，側(cè)滾角為-0.15 rad，橫向位移為-3～3 mm，搖頭角度為-0.15～0.15 rad時接觸狀態(tài)和輪軌力的計算結(jié)果。圖10是左側(cè)車輪接觸狀態(tài)數(shù)表，表中0代表沒有接觸點，1代表存在1個接觸點，2代表存在2個接觸點。圖11是左側(cè)輪緣部分輪軌法向力數(shù)表，可看出處于對應(yīng)表1中2個接觸點的位置時，才會存在輪緣部分接觸。其他情況下，輪緣部分的輪軌法向力為零。圖12為左側(cè)踏面部分輪軌法向力數(shù)表，可看出對應(yīng)圖10中存在接觸點時，就有踏面部分接觸；沒有接觸點時，踏面部分的輪軌法向力為零。

3.3 輪軌力計算結(jié)果的應(yīng)用

將上述輪軌力的計算結(jié)果代入到參考文獻[3]的動力學(xué)仿真模型，仿真分析車輛曲線通過性能。

圖13給出了車輛通過R25 m曲線的仿真結(jié)果(車速20 km/h)。從圖中看出：在出緩和曲線段時，內(nèi)側(cè)導(dǎo)向輪在踏面、輪緣、鋼軌之間都存在接觸力，說明出現(xiàn)同時接觸狀態(tài)，而外側(cè)導(dǎo)向輪僅僅只在踏面部分存在接觸力，說明處于踏面接觸狀態(tài)。仿真得到的輪軌接觸狀態(tài)與實際線路R25 m曲線處觀察到的磨耗現(xiàn)象是一致的。

圖14給出了車輛通過R40 m曲線的仿真結(jié)果(車速30 km/h)，從圖中看出，2個導(dǎo)向輪都只是在踏面部分存在接觸力，說明處于踏面接觸狀態(tài)，此時不會出現(xiàn)側(cè)磨現(xiàn)象。仿真得到的輪軌接觸狀態(tài)與實際線路R40 m曲線處觀察到的磨耗現(xiàn)象是一致的。

4 結(jié)論

針對Translohr有軌電車的導(dǎo)向輪軌在橫向和垂向坐標上并非一一映射的特殊關(guān)系，提出求解非映射輪軌力的計算方法。首先通過坐標變換，將導(dǎo)向輪和導(dǎo)向軌非映射的輪軌幾何關(guān)系轉(zhuǎn)換成為映射關(guān)系，然后采用彈性輪軌接觸的滲透量法求解導(dǎo)向輪和導(dǎo)向軌多點接觸問題。為了便于動力學(xué)仿真，建立了Translohr有軌電車的導(dǎo)向輪和導(dǎo)向軌的多維度接觸狀態(tài)表格。應(yīng)用上述方法得到導(dǎo)向輪和導(dǎo)向軌的多維度接觸狀態(tài)表格，仿真計算車輛在不同半徑曲線上的輪軌接觸狀態(tài)。得到結(jié)果顯示輪軌接觸狀態(tài)與實際觀察到的磨耗規(guī)律是一致的。

本文提出的非映射輪軌力計算方法能夠解決Translohr有軌電車導(dǎo)向輪軌三維多點接觸問題，該方法同樣可擴展到其他復(fù)雜外形非映射關(guān)系下的輪軌關(guān)系求解問題。